2022年其他不等式的解法.pdf

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1、课题：其他不等式的解法教学目标： 1、掌握简单的分式不等式、绝对值不等式的解法；2、能对简单的绝对值不等式给出几何解释，并结合图形解决简单的绝对值不等式；3、介绍简单的高次不等式的解法；4、体会化归、等价转换的数学思想方法。教学重点：简单的分式不等式、绝对值不等式的解法. 教学难点：不等式的同解变形. 教学过程：一、分式不等式的解法1、引入某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和自动扶梯长度相同） ，如果甲的上楼速度是乙的2 倍，他俩同时上楼，且甲比乙早到楼上，问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍。设楼梯的长度为S,甲的速度为V,自动扶梯的运行速度为v0, 于

2、是甲上楼所需时间为sv，乙上楼所需时间为sv 0 + v2. 由题意，得svsv 0 + v2. 整理的1v22 v 0 + v. 由于此处速度为正值，因此上式可化为2v0+v2v0。所以，甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2 倍. 2、分式不等式的解法例 1 解不等式：x + 13 x - 22. 解： （化分式不等式为一元一次不等式组）x + 13 x - 22x + 13 x - 2-20- 5 ( x - 1 )3 x - 20 x - 13 x - 20 x - 1 0或x - 1 03 x - 2 0 x 23或x 1x 2323x0ab0,ab0ab2x + 13 x - 2-20

3、- 5 ( x - 1 )3 x - 20 x - 13 x - 20 (3x 2)(x 1)023x0(0(0) ；（2）f ( x )g ( x )0（ 0）f ( x ) g ( x ) 0 (0 )g ( x )0说明 解不等式中的每一步往往要求“ 等价 ” ，即同解变形，否则所得的解集或“ 增” 或“ 漏”.由于不等式的解集常为无限集，所以很难像解无理方程那样，对解进行检验，因此同解变形就显得尤为重要。例：解不等式1232xx解：由1232xx得12032xx，即55032xx因为两个数的商与积同号，所以（-5x+5）(3x-2)0 即 5(x-1)(3x-2)0 213x所以原不等

4、式的解集为) 1 ,32(一般地，解形如axbkcxd的分式不等式的一般解法是：先移项通分，转化为解形如0a xbcxd的分式不等式，然后再进一步转化为解一元二次不等式。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 例、解不等式x + 8x 2+ 2 x + 32. 解：由x + 8x 2+ 2 x + 32.得023282xxx整理得03223222xxxx由于一元二次方程0322xx的根的判别式=-80，因此对于任何实数x，分母322xx

5、的值都大于零。于是原不等式与不等式02322xx的解集相同。解不等式02322xx，得212xx或，所以原不等式的解集为),21(2,。例、当 m 为何值时，关于x 的方程 m(x-1)=3(x+2) 的解是正数？ m 为何值时，方程的解是负数？解：原方程可以化为（m-3）x=m+6 如果 m=3,原方程无解如果 m3,那么原方程的解是63mxm（1）方程的解是正数，即603mm解集为(, 6)(3,)（2）方程的解是负数，即603mm解集为（ -6，3）当 m(, 6)(3,)时，原方程的解是正数；当 m（-6，3）时，原方程的解是负数。练习 p402.3(1) 二、含绝对值的不等式的解法1

6、、复习绝对值概念的几何意义. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - |x|=(0)0(0)(0)x xxx x它表示实数x 在数轴上所对应的点到原点的距离。因此，求不等式)0( , aax的解集就是求在数轴上到原点的距离小于a 的点所对应的实数 x 的集合。2、设 a,b R+，且 aa. （2）|x|b. （3）a|x|b. （4）|f(x)|g(x) 我们可以获得含绝对值的不等式的如下重要结论：设 0aaxa. （2）|x|b-b

7、xb. （3）a|x|b-bx-a 或 axa,aR=x|xa,xR （2）x|x|b,b R=x|-bxb,bR 三、例题应用例 1、解不等式 |2x-3|5 解： -52x-35 -22x8 -1x4 解：234xx或234xx2340 xx或2340 xx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - .（x-4）(x+1)0 或2( 3)4491670 x4 或 x-1 或不等式无解原不等式的解集是(, 1)(4,)U小结：1、形如 |

8、f(x)|0) 的解法，先转化为-af(x)a(a0) 的解法，先转化为f(x)a 或 f(x)32原不等式的解集是5433(,)(,)3322UU例4、解不等式 |2x-1|-x|x+3|+1 分析：要去掉第一个绝对值的符号需讨论x12与12x两种情形； 要去掉第二个绝对值的符号需讨论x-3 与3x两种情形。这样，要同时去掉两个绝对值的符号，需分113, 3,22xxx这三种情况加以讨论。解：当 x-3 时， 1-2x-x32这与 x-3 矛盾，原不等式无解当132x时,1-2x-x-34-34x12当12x时， 2x-1-xx+3+1 即-1-34 例5、解不等式 |x+1|x-3| 解：

9、 |x+1|,|x-3|均非负，两边平方，得22(1)(3)xx222169xxxx8x8 x1 原不等式的解集是x|x1 小结 ;若|f(x)|g(x)|) 的解法，可先转化为22( )( )fxgx(或22( )( )fxgx)，然后求它们的解集。练习 P42 （1）|x1 + x|x1 + x.(-1x4.(x4) （3）x25|x|+60.(x-3 或 2x3) （4）|2 x - 3x + 2|1.(x-2 或 2x5) （5）|x 2|2x+1( 数形结合 )(x13) （6）|3x 1|x+2(数形结合 )(-12x5.（分类讨论） （x3）精品资料 - - - 欢迎下载 - -

10、 - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - （8）|x+3|-|2x 1|x2+1(x2) 四、高次不等式例 1、解不等式0322322xxxx解法一：3211312103202322xxxxxxxxx或或或312103202322xxxxxxx或3211xx或解法二：（列表法）原不等式可化为0) 1)(3()2)(1(xxxx列表注意：按根的由小到大排列解三：（标根法）作数轴；标根；画曲线，定解小结：在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的各因式在此区间内

11、的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的列表法和标根法，几乎可以使用在所有的高次不等式，其中最值得推荐的是“标根法”)1,(（-1，1） （1， 2） （2，3）), 3(x+1 - + + + + x-1 - - + + + x-2 - - - + + x-3 - - - - + (x-1)(x-2)(x-3)(x+1) + - + - + -1 0 1 2 3 4 -2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 例 2、解不等式6

12、2323xxx解：原不等式化为0)2)(2)(3(xxx原不等式的解为232xx或例 3、解不等式0)2)(54(22xxxx解：022xx恒成立原不等式等价于0542xx即-1x5 例 4、解不等式0)2)(1()1()2(32xxxx解：原不等式等价于0)2)(1)(1(xxx且1,2 xx原不等式的解为21221|xxxx或或若原题目改为0)2)(1()1()2(32xxxx呢？例 5、解不等式80)4)(1)(2)(5(xxxx解：原不等式等价于080)2)(20(22xxxx即：0120)(22)(222xxxx0)10)(12(22xxxx0)2411)(2411)(3)(4(xx

13、xx3241124114xx或例 6、解不等式1116xx解：原不等式等价于01)3)(5(xxx原不等式的解为：513xx或例 7、k 为何值时，下式恒成立：13642222xxkkxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 解：原不等式可化为：0364)3()26(222xxkxkx而03642xx原不等式等价于0)3()26(22kxkx由0)3(24)26(2kk得 1k0，不合题意_ x_ +_ 3_ -_ 2_ +_ 1_

14、-_ 4_ +精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - M 的取值范围是2171,(2、设集合,32RxxxA，, 012RxppxxxB若AB，求实数p的取值范围。()60 x小结：1、解分式不等式和含绝对值不等式关键在于同解变形.通过同解变形将其转化为熟悉的不等式来加以解决，这种通过等价变形变“ 未知 ” 为“ 已知 ” 的解决问题的方法是教学的重点也是难点，需在课堂教学中有所强调. 2、有关含绝对值不等式的解法应基于初中有关绝对值性质的基础上展开教学.除了从代数角度加以解释外，可多考虑一下绝对值的几何含义，帮助学生从不同角度对不等式进行理解，数形结合的思想可做适当的渗透. 3、掌握简单的高次不等式的解法；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -