2016年八下《三角形的证明》难题30题-(解析版)(共6页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2016年八下三角形的证明难题30题 （解析版）1如图，已知在ABC中，CD是AB边上的高线， BE平分ABC，交CD于点E，BC5，DE2，则BCE的面积等于（ ） A10 B7 C5 D4【答案】C.作于F，平分故选C.2已知：如图，在RtABC中，ACB=90，AB，CM是斜边AB上的中线，将ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么A的度数是（ ）A30 B40 C50 D60【答案】A.试题解析：CM是斜边AB上的中线，CM=AM=AB，A=MCA（设为）；由翻折变换的性质得：DCM=MCA=；CDAB，DCA+A=90，即3=90，

2、A=30故选A.3如图，OP平分AOB，PAOA于A，PBOB于B，下列结论不一定成立的是（ ）APA=PB BPO平分APB COA=OB DAB垂直平分OP【答案】D.试题解析：点E是AOB的平分线上一点，ECOA，EDOB，DE=CE，DOE=COE，EDO=ECO=90，在DOE和COE中DOECOE，DEO=CEO，OD=OC，OE平分DEC，OE垂直平分DC，只有选项D错误；选项A、B、C都正确；故选D4如图,已知OP平分AOB，AOB=， PCOA于点C， PDOB于点D， EPOA,交OB于点E ,且EP=6若点F是OP的中点，则CF的长是( )A6 B C D【答案】D分析：

3、根据PE=6，根据RtPDE可得PD=3，根据角平分线的性质可得PC=PD=3，根据RtOPC可得OP=6，根据直角三角形斜边上的中线的性质可得CF=3.5如图，ADBC，ABC的角平分线BP与BAD的角平分线AP相交于点P，作PEAB，垂足为E若PE=3，则两平行线AD与BC间的距离为 （ ）A3 B5 C6 D不能确定【答案】C试题解析：作PFAD于F，PGBC于G，AP是BAD的角平分线，PFAD，PEAB， PF=PE=3， BP是ABC的角平分线，PEAB，PGBC， PG=PE=3， ADBC， 两平行线AD与BC间的距离为PF+PG=6， 故选C6如图，分别以ABC的三边为边在B

4、C的同侧作正BCE、正ABF和正ACD，已知BC=3，高AH=1，则五边形BCDEF的面积是（ ）A B C6 D【答案】A正ABF和正BCE，AB=BF，BC=BE，ABC=FBE=60-EBA，ABCFBE，同理，正ACD和正BCE，AC=DC，BC=EC，ACB=DCE=60-ECA，ABCDEC，ABCFBEDEC，SABC=SFBE=SDEC=31=，又SBCE=33sin60=，五边形BCDEF的面积=SBCE+SFBE+SDEC=+=3+故选A7如图，ABC的面积为1第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1

5、，B1，C1，得到A1B1C1第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到A2B2C2，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2015，最少经过（ ）次操作A6 B5 C4 D3【答案】C试题分析：先根据已知条件求出A1B1C1及A2B2C2的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可解：ABC与A1BB1底相等（AB=A1B），高为1：2（BB1=2BC），故面积比为1：2，ABC面积为1，SA1B1B=2同理可得，SC1B1C=2，SAA1C=2，SA1B1C1=SC1B1C+S

6、AA1C+SA1B1B+SABC=2+2+2+1=7；同理可证A2B2C2的面积=7A1B1C1的面积=49，第三次操作后的面积为749=343，第四次操作后的面积为7343=2401故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2015，最少经过4次操作故选C8如图，ABC中，BAC=60，BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DEAB交AB的延长线于E，DFAC于F，现有下列结论：DE=DF；DE+DF=AD；DM平分ADF；AB+AC=2AE；其中正确的有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】C试题分析:由角平分线的性质可知正确；由题意可知EAD=FAD=30，故此可知ED=

7、，DF=，从而可证明正确；若DM平分ADF，则EDM=90，从而得到ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故错误；连接BD、DC，然后证明EBDDFC，从而得到BE=FC，从而可证明解：如图所示：连接BD、DCAD平分BAC，DEAB，DFAC，ED=DF正确EAC=60，AD平分BAC，EAD=FAD=30DEAB，AED=90AED=90，EAD=30，ED=AD同理：DF=DE+DF=AD正确由题意可知：EDA=ADF=60假设MD平分ADF，则ADM=30则EDM=90，又E=BMD=90，EBM=90ABC=90ABC是否等于90不知道，不能判定MD平分ADF故错误DM是BC的垂直

8、平分线，DB=DC在RtBED和RtCFD中，RtBEDRtCFDBE=FCAB+AC=AEBE+AF+FC又AE=AF，BE=FC，AB+AC=2AE故正确故选：C9如图，A=15，AB=BC=CD=DE=EF，则DEF等于（ ）A90 B75 C70 D60【答案】D解：AB=BC=CD=DE=EF，A=15，BCA=A=15，CBD=BDC=BCA+A=15+15=30，BCD=180（CBD+BDC）=18060=120，ECD=CED=180BCDBCA=18012015=45，CDE=180（ECD+CED）=18090=90，EDF=EFD=180CDEBDC=1809030=6

9、0，DEF=180（EDF+EFC）=180120=60故选D10在ABC中，ABC=120，若DE、FG分别垂直平分AB、BC，那么EBF为（ ）A75 B60 C45 D30【答案】B解：DE、FG分别垂直平分AB、BC，AE=BE，BF=CF，A=ABE，C=CBF，A+C+ABC=180，ABC=120，A+C=60，ABE+CBF=60，EBF=12060=60，故选B11如图：ABC中，ACB=90，CAD=30，AC=BC=AD，CECD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：ECA=165，BE=BC；ADBE；=1其中正确的是（ ）A B C D【答案】D解：CAD

10、=30，AC=BC=AD，ACD=ADC=（18030）=75，CECD，DCE=90，ECA=165正确；CECD，ECA=165（已证），BCE=ECAACB=16590=75，ACDBCE（SAS），BE=BC，正确；ACB=90，CAD=30，AC=BC，CAB=ABC=45BAD=BACCAD=4530=15，ACDBCE，CBE=30，ABF=45+30=75，AFB=1801575=90，ADBE证明：如图，过D作DMAC于M，过D作DNBC于NCAD=30，且DM=AC，AC=AD，CAD=30，ACD=75，NCD=90ACD=15，MDC=DMCACD=15，在CMD和CN

11、D中，CMDCND，CN=DM=AC=BC，CN=BNDNBC，BD=CD正确所以4个结论都正确故选D12如图，在ABC中，AB=AC，BAC=50，点D在AC上，作直线BD，过C作CEBD，若BCE=40，则ABD的度数是（ ）A10 B15 C25 D65【答案】C解：在ABC中，AB=AC，BAC=50，ABC=ACB=（180A）=65，CEBD，BCE=40，DBC=BCE=40，ABD=ABCDBC=25故选C13如图，RtABC中，ACB=90，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EFAB于F，下列结论：ACD=B；CH=CE=EF；AC=AF；CH=HD其中正确的结论

12、为（ ）A B C D【答案】B解：B和ACD都是CAB的余角，ACD=B，故正确；CDAB，EFAB，EFCD，AEF=CHE，CEH=CHE，CH=CE=EF，故正确；角平分线AE交CD于H，CAE=BAE，在ACE和AEF中，ACEAFE（AAS），AC=AF，故正确；CH=CE=EFHD，故错误故正确的结论为故选B14如图，ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BFAE于点F若BP=4，则PF的长（ ）A2 B3 C1 D8【答案】A解：ABC是等边三角形，AB=ACBAC=C在ABD和CAE中，ABDCAE（SAS）ABD=CAEAPD

13、=ABP+PAB=BAC=60BPF=APD=60BFP=90，BPF=60，PBF=30PF=故选；A15如图，已知：MON=30，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3在射线OM上，A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4均为等边三角形，若OA1=1，则A6B6A7的边长为（ ）A6 B12 C32 D64【答案】C解：A1B1A2是等边三角形，A1B1=A2B1，3=4=12=60，2=120，MON=30，1=18012030=30，又3=60，5=1806030=90，MON=1=30，OA1=A1B1=1，A2B1=1，A2B2A3、A3B3A4是等边三角形，11=10

14、=60，13=60，4=12=60，A1B1A2B2A3B3，B1A2B2A3，1=6=7=30，5=8=90，A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：A6B6=32B1A2=32故选：C16如图，已知ABC中ABAC，BD、CD分别平分EBA、ECA，BD交AC于F，连接AD.（1）当BAC50时，求BDC的度数；（2）请直接写出BAC与BDC的数量关系；（3）求证：ADBE.【答案】（1）（2）；（3）证明见解析.解：（1）分别平分（2）（3）过点D作,垂足分别为点N、K、M.BD、CD分别平分

15、， ，AD平分, ，17在ABC中，MP，NO分别垂直平分AB，AC（1）若BC=1Ocm，试求出PAO的周长（不用写过程，直接写出答案）（2）若AB=AC，BAC=110，试求PAO的度数（不用写过程，直接写出答案）（3）在（2）中，若无AB=AC的条件，你运能求出PAO的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由【答案】（1）10cm；（2）40；（3）能，理由见解析.解：（1）MP，NO分别垂直平分AB，AC，AP=BP，AO=CO，PAO的周长=AP+PO+AO=BO+PO+OC=BC，BC=1Ocm，PAO的周长10cm；（2）AB=AC，BAC=110，B=C=（180-110）=

16、35，MP，NO分别垂直平分AB，AC，AP=BP，AO=CO，BAP=B=35，CAO=C=35，PAO=BAC-BAP-CAO=110-35-35=40；（3）能理由如下：BAC=110，B+C=180-110=70，MP，NO分别垂直平分AB，AC，AP=BP，AO=CO，BAP=B，CAO=C，PAO=BAC-BAP-CAO=BAC-（B+C）=110-70=4018如图，在ABC中，CDAB于点D,AC=4,BC=3,DB=,(1)、求CD、AD的长(2)、判断ABC的形状，并说明理由。【答案】(1)、CD=，AD=；(2)、直角三角形，理由见解析解：(1)、CDAB，BC=3，BD

17、= CDB=CDA=90 在RtCDB中，由勾股定理可得：CD=在RtADC中，AC=4，CD=，由勾股定理可得：AD=，ABC为直角三角形在ABC中，AC=4，BC=3，AB=AD+BD=+=5 由勾股定理的逆定理可得：ABC为直角三角形.19如图，以点D为中线把正方形ABCD的边DC顺时针旋转度（0360）得DE，连接AE、BE（1）当=30时，求证：ABE是等腰三角形；（2）除30外，当等于多少时，ABE是等腰三角形？请直接写出的值【答案】（2）是等腰三角形时，的值还可能是或或解：(1)如图1，四边形ABCD是正方形，是等边三角形，是等腰三角形；（2）如图2，当时，则是等腰三角形；如图3

18、，当时，则是等腰三角形；如图4，当时，是等腰三角形.故是等腰三角形时，的值还可能是或或20如图，ABC中，AB=AC, BAC=45，BDAC，垂足为D点，AE平分BAC，交BD于F，交BC于E，点G为AB的中点，连接DG，交AE于点H，（1）求ACB的度数；（2）HE=AF解：(1）AB=AC， ACB=ABC，BAC=45，ACB=ABC=（180BAC）=（18045）=67.5；(2)连结HB，AB=AC，AE平分BAC，AEBC，BE=CE，CAEC=90，BDAC，CBDC=90，CAE=CBD， BDAC，D为垂足，DABDBA=90，DAB=45，DBA=45，DBA=DAB

19、，DA=DB， 在RtBDC和RtADF中，RtBDCRtADF (ASA)，BC=AF，DA=DB，点G为AB的中点，DG垂直平分AB，点H在DG上，HA=HB， HAB=HBA=BAC=22.5，BHE=HAB HBA =45，HBE=ABCABH=67.522.5=45，BHE=HBE，HE=BE=BC，AF=BC，HE=AF.21如图1，把一张长方形的纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在E处，BE交AD于点F.(1)求证：FB=FD;(2)如图2，连接AE，求证：AEBD;(3)如图3，延长BA，DE相交于点G，连接GF并延长交BD于点H，求证：GH垂直平分BD。解：（1）长方形AB

20、CD，ABDC=DE，BADBCDBED=90，在ABF和DEF中，ABFEDF（AAS），BF=DF.（2）ABFEDF，FA=FE，FAE=FEA， 又AFE=BFD，且2AEF AFE =2FBDBFD =180，AEF=FBD，AEBD， （3）长方形ABCD，AD=BC=BE，AB=CD=DE，BD=DB，ABDEDB（SSS），ABD=EDB，GB=GD， 在AFG和EFG中，GAFGEF=90，FA=FE，FGFG，AFGEFG（HL），AGF=EGF，GH垂直平分BD. 22在ABC中，AB=AC，BGAC于G，DEAB于E，DFAC于F(1)、如图1，若D是BC边上的中点，A

21、=45，DF=3，求AC的长；(2)、如图2，D是线段BC上的任意一点，求证：BG=DE+DF；(3)、在图3，D是线段BC延长线上的点，猜想DE、DF与BG的关系，并证明【答案】(1)、AC=6；(2)、 (3)、DEDF=BG；解：(1)、如图1，连结AD则ABC的面积=ABD的面积+ACD的面积，即ABDE+ACDF=ACBG， AB=AC，DE+DF=BG， D是BC边上的中点，AD平分BAC，DE=DF=3，BG=6， A=45，AGB是等腰直角三角形， AB=BG=6，AC=6；(2)、如图2，连结AD则ABC的面积=ABD的面积+ACD的面积，即ABDE+ACDF=ACBG， A

22、B=AC，DE+DF=BG；(3)、DEDF=BG，如图3，连接AD，则ABC的面积=ABD的面积ACD的面积， 即ABDEACDF=ACBG，AB=AC，DEDF=BG 23如图，点E是AOB的平分线上一点，ECOA，EDOB，垂足分别是C，D（1）ECD和EDC相等吗？说明理由（2）OC和OD相等吗？说明理由（3）OE是线段CD的垂直平分线吗？说明理由【答案】(1)、ECD=EDC， (2)、OC=OD， (3)、OE是线段CD的垂直平分线； 解：(1)、EDC与ECD相等OE是AOB的平分线，ECOA，EDOB， EC=ED，CED是等腰三角形， EDC=ECD；(2)、OC与OD相等E

23、COA，EDOB，ODE=OCE=90 在RtODE和RtOCE中，OE=OE（公共边），DE=CERtODERtOCE（HL） OD=OC(3)、OE是线段CD的垂直平分线EC=ED，E点在线段CD的垂直平分线上 OC=OD，O点在线段CD的垂直平分线上，OE是线段CD的垂直平分线24已知：在ABC中，AC=BC，ACB=90，点D是AB的中点，点E是AB边上一点（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明（1）证明：点D是AB中点，AC=BC，ACB=

24、90，CDAB，ACD=BCD=45，CAD=CBD=45，CAE=BCG，又BFCE，CBG+BCF=90，又ACE+BCF=90，ACE=CBG，在AEC和CGB中，AECCGB（ASA），AE=CG，（2）解：BE=CM证明：CHHM，CDED，CMA+MCH=90，BEC+MCH=90，CMA=BEC，又ACM=CBE=45，在BCE和CAM中，BCECAM（AAS），BE=CM25如图，ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且APB=ABC（1）如图1，若BAC=60，点P恰巧在ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；（2）如图2，若BAC=60，探究PA，PB，PC的数量关系

25、，并证明；（3）如图3，若BAC=120，请直接写出PA，PB，PC的数量关系【答案】(1)、BP=4；(2)、PA+PC=PB，证明过程见解析；(3)、PA+PC=PB，证明过程见解析.解：(1)、AB=AC，BAC=60，ABC是等边三角形，APB=ABC，APB=60，又点P恰巧在ABC的平分线上，ABP=30PAB=90BP=2AP，AP=2，BP=4(2)、结论：PA+PC=PB在BP上截取PD，使PD=PA，连结ADAPB =60，ADP是等边三角形，DAP =60，1=2，PA=PD，又AB=AC，ABDACP，PC=BD，PA+PC=PB(3)、结论：PA+PC=PB26如图1

26、，已知ACB=DCE=90，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，CAE=45，求AD的长（2）如图2，已知ACB=DCE=90，ABC=CED=CAE=30，AC=3，AE=8，求AD的长【答案】（1）9；（2）解：（1）如图1，连接BE，ACB=DCE=90，ACB+ACE=DCE+ACE，即BCE=ACD，又AC=BC，DC=EC，在ACD和BCE中，ACDBCE，AD=BE，AC=BC=6，AB=6，BAC=CAE=45，BAE=90，在RtBAE中，AB=6，AE=3，BE=9，AD=9；（2）如图2，连接BE，在RtACB中，ABC=CED=30，tan30=，ACB=DCE=90

27、，BCE=ACD，ACDBCE，=，BAC=60，CAE=30，BAE=90，又AB=6，AE=8，BE=10，AD=27如图，已知ABC中，CD为ACB的平分线，AECD交BC的延长线于E，EFAE交AC的延长线于F（1）求证：AC=CE；（2）若AC=5，求AF解：（1）CD为ACB的平分线，BCD=ACD，AECD，ACD=EAC，BCD=AEC，EAC=AEC，AC=CE（2）EFAE，AEC+FEC=90，EAC+F=90，AEC=EAC，FEC=F，EC=CF，AC=CE，AC=CE=CF，AF=2AC=10 28（1）如图1，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=B

28、C=CD=DE，已知EDM=84，求A的度数；（2）如图2，点B、F、D在射线AM上，点G、C、E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，求A的度数【答案】（1）A=21；（2）A=；解：（1）AB=BC=CD=DE，A=BCA，CBD=BDC，ECD=CED，根据三角形的外角性质，A+BCA=CBD，A+CDB=ECD，A+CED=EDM，又EDM=84，A+3A=84，解得，A=21；（2）AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，设A=x，则AFG=ACB=x，CGF=CEF=CBF=CDF=2x，ECD=CED=EFD=EDF=3x，而A+CED+EDF=180，故，

29、即A=；29如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）请求出何时PBQ是直角三角形？【答案】（1）不变，CMQ=60；（2）当第秒或第秒时，PBQ为直角三角形解：（1）不变，CMQ=60ABC是等边三角形，等边三角形中，AB=AC，B=CAP=60又点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/sAP=BQ，ABQCAP（SAS），BAQ=ACP，CMQ=ACP+CAM=BAQ+

30、CAM=BAC=60；（2）设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4t）cm，当PQB=90时，B=60，PB=2BQ，即4t=2t，t=，当BPQ=90时，B=60，BQ=2BP，得t=2（4t），t=，当第秒或第秒时，PBQ为直角三角形30如图，点O是等边ABC内一点，AOB=100，BOC=以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD（1）当=150时，试判断AOD的形状，并说明理由；（2）当AOD是等腰三角形时，求的度数【答案】（1）OCD是等边三角形，理由见解析；（2）当为130、100、160时，AOD是等腰三角形解：（1）OCD是等边三角形，OC=CD，ABC是等边三角形，BC=AC，ACB=OCD=60，BCO=ACD，在BOC与ADC中，BOCADC，BOC=ADC，BOC=150，ODC=60，ADO=15060=90，ADO是直角三角形；（2）COB=CAD=，AOD=200，ADO=60，OAD=40，要使AO=AD，需AOD=ADO，200=60，=130；要使OA=OD，需OAD=ADO，60=40，=100；要使OD=AD，需OAD=AOD，200=40，=160所以当为130、100、160时，AOD是等腰三角形专心-专注-专业