实变函数与泛函分析基础第三版答案(共32页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上 第七章习题解答1、设为一度量空间，令 ，问的闭包是否等于。解答：在一般度量空间中不成立，例如：取的度量子空间，则中的开球的的闭包是，而2、设是区间上无限次可微函数全体，定义，证明：按构成度量空间。证明：（1）显然且有，特别当时有有。（2）由函数在上单调增加，从而对有即三角不等式成立。3、设是度量空间中的闭集，证明必有一列开集包含，而且。证明：设为度量空间中的闭集，作集： ，为开集，从而只要证；可实上，由于任意正整数，有，故：。另一方面，对任意的，有 ，令 有。所以（因为闭集）。这就是说， 综上所证有：。4、设为度量空间上的距离，证明也是上的距离。证明：首先由为度量空

2、间上的距离且，因此显然有且的充要条件是，而的充要条件是，因此的充要条件是。其次由函数在上单调增加有即三角不等式成立。所以也是上的距离。5、证明点列按题2中距离收敛于的充要条件为的各阶导数在上一致收敛于的各阶导数。证明：由题2距离的定义：则有：若上述距离收敛于，则。所以对任何非负整数有：。由此对任何非负实数有。从而对任何非负整数，的各阶导数在上一致收敛于的各阶导数。反之：若对每个，的各阶导数在上一致收敛于的各阶导数，则对每个有，则有：从而对任意的非负实数有：。又由于从而；，于是有：。从而取时 于是有。从而点列按题2中距离收敛于。7、设及是度量空间中两个集，如果，证明必有不相交开集及分别包含及。证

3、明：记。，以为半径作点的邻域，令，则是开集且。同理可作开集，使得。余证，如若不然即，则存在，由及的作法可知，必有，使得，即，。从而有另一方面，从而有，由于，故得矛盾。因此。9、设是可分距离空间，为的一个开覆盖，即是一族开集，使得对每个，有中的开集，使，证明必可从中选出可数个集组成的一个开覆盖。证明：因是可分距离空间，所以在中存在可数稠密子集。因是的一个开覆盖。因此，存在中的开集，使得且是的内点。存在，使，因在中稠密，从而可在上取出中的点，再取有理数，使得（此处的有理数与均有关系）于是，由的任意性从而满足该条件的开集的全体覆盖。又由于的和均为可数故这种开集的全体至多可数。10、设是距离空间，为中

4、的子集，令，证明是上的连续函数。证明：，则由可得同理可得：。因此当即时有。所以在处连续，由在上的任意性得在上连续。14、Cauahy点列是有界点列。证明：设是度量空间中的中的Cauahy点列，则有。特别取，则对任意的有，则 ，即点列的直径，从而点列是有界集。其次对于，取，则即是中的有界集。又集，所以有界。设是赋范空间，是中的Cauahy点列点列，则时有，今取，则，使得。，取，则，有。所以点列有界。18、设为完备度量空间，是到中的映射，记，若，则映射有唯一不动点。证明：因，由级数收敛之必要条件有，于是对于，时有。于是时，。从而从后，映射是到的压缩映射。又由于是完备的，所以映射有唯一不动点。 第八

5、章习题解答 1.举例说明有界线性算子的值域不一定是闭线性子空间.解 设是满足收敛的数列全体组成的空间.若.定义如下:对,则对,.由有界线性算子的定义知,是有界算子,且,其中,所以.设,则.令,则,故不是闭集.证毕.2.求上线性泛函的范数.解 由得.设则,且,因而, 故.3. 设无穷阵,满足,作到中算子如下:若,则.证明:.证 设,则若,因此.对,使得.设,其中,则,且.若,则,因此.由于是任意的,故.因而.4. 设,在中定义线性算子,其中.证明:是有界线性算子,并且.证 设,由于.又对,使得.设,其中,则,而.则.由的任意性,得,所以.证毕.5. 设是维向量空间,在中取一组基是矩阵,.作到中的

6、算子如下:当时,其中.若规定向量的范数为.证明上述算子的范数满足. 证 若,则,所以.对任意的,于是,所以, .因此.证毕.6. 设赋范线性空间到赋范线性空间的线性算子,若的零空间是闭集,是否一定有界?解答 令P ,其中P 是上多项式函数全体,它是的一个子空间.是P 到P 的微分算子.若,则是常值函数,而常值函数全体是一个闭子集.而由第一节例9可知,是非有界的.7.作中算子如下:当时,其中.证明:是有界算子.证 若,则,所以,为有界算子,且.证毕.8. 按范数成赋范空间,问的共轭空间是什么?解 记按范数组成的赋范线性空间为,按范数组成的赋范线性空间为.下面证明.定义到的映射,对,其中,对,于是

7、.反之,对,定义:对,则.因此是从到上的映射.(也就是说,是满射)若,则,故;若,令,则.因此,从而.于是是到的同构映射,在同构的意义下,.9. 设表示极限为0的实数列全体,按通常的加法和数乘以及,构成Banach空间,证明:. 证 令,则.对,定义.则有,且.事实上:记,则且.,由于,因此,令,因而,且. 另一方面,对,定义上线性泛函若,则,因此,又因为,因此,且,所以. 由以上证明可知,是到上的同构映射,而在同构的意义下, =.证毕. 第九章习题解答1. 设是内积空间中的点列,若,且对,有,证明: .证 ,所以,.2. 设是一列内积空间,令,当时,规定,其中,证明:是内积空间,又当都是Hi

8、lbert空间时,证明也是Hilbert空间. 证 若. .所以,是内积空间.又由第7章第22题知,是完备的,因此是Hilbert空间.3. 设是维线性空间,是的一组基,证明成为上内积的充要条件是存在正定方阵,使得.证 必要性 若是上内积.设.对,且当时,因此是正定方阵.充分性 若是正定方阵,则对令.下面证明是中内积.,因是正定方阵,可得且当时,. .因此是上内积.证毕.4. 设是实内积空间,若,则.当是复内积空间时,这个结论是否仍然成立?解 当是实内积空间且时,由,所以,即. 在复内积空间上此结论不成立.例如,但. 5. 证明:内积空间中两个向量垂直的充要条件是:对一切数,成立. 证 必要性

9、 若,则对任意复数,有,因此,. 充分性 若对一切数,有.不妨设,令,则由,得,即,所以.证毕.6. 设是Hilbert空间,且,证明是中包含的最小闭子空间.证 设中包含的最小闭子空间为,若,则存在,使.设,则,所以,即.又是中的闭子空间,且,则,从而,故.7. 设是中的规范正交系,说明两元函数列是中的规范正交系.若完全,则两元函数列也是完全的.证 (因为较繁,略)8. 设为内积空间中的规范正交系.证明:到的投影算子为.证 记,则是的闭子空间.对,其中.因为是的完全规范正交系,因此,又,因此.由投影算子的定义.证毕.9. 设为可分Hilbert空间,证明中任何规范正交系至多为可数集.证 如果有

10、一个规范正交系是不可数集,则对任意的,有.因为可分,则存在的可数稠密子集.因为不可数,则及,使,并有.这与矛盾.10. 设是内积空间,是它的共轭空间,表示上线性泛函,若到的映射是一一到上的映射,则是Hilbert空间.证 设是中的Cauchy列.由可得是中的Cauchy列.因为是完备的,因此有,使.设,其中.设,则所以是完备的内积空间,即是Hilbert空间.11. 设和是Hilbert空间,是到中的有界线性算子,N 和R 分别表示算子的零空间和值域,证明N R , N R , R 的闭包N , R 的闭包= N .证 (1)设N ,则.如果R ,则有,所以R ,即N R ,如果R ,则对,由

11、的任意性可得,即N ,也就是说N R ,故等号成立.(2) 由(1)可得,N R .用代替,可得N R R . (3) 首先,由R R 的闭包,可知R 的闭包R ,从而R 的闭包( R 的闭包)R N (由(2)的结论可知最后的等号成立); 又设R (N ),其中R 的闭包,R 的闭包.对,所以,即N ,这样,即,于是R 的闭包,故R 的闭包N .(4)将(3)中的结论用代替,由可得R 的闭包= N .证毕.12. 设是Hilbert空间中的有界线性算子,.证明.证 若,则.因此.由第1节的引理1,与线性相关.设,由可得,即.因而,即等式成立.证毕.(该定理证明了满足条件的线性有界算子的不动点

12、集与的不动点集相等)13. 设是Hilbert空间,是的闭子空间,证明:.证 设,其中,因为,所以,又对,因而. 又对,所以.若,则.若,则令,因而.故.证毕.13题的几何意义如图 14. 设是复Hilbert空间,为的闭子空间,则为上某个非零连续线性泛函的零空间的充要条件是是一维子空间.证 必要性 若是非零连续线性泛函的零空间,则,对,使,因此,即是一维子空间.充分性 若是由非零元生成的一维子空间.令,则,即,所以是非零连续线性泛函的零空间.证毕.15. 设为Hilbert空间上的正常算子,为的笛卡儿分解,证明:(1) ; (2) .证 (1) 由及得.(2) .证毕.16. 证明:是实内积

13、空间上自伴算子时,的充要条件为对所有,成立.证 必要性 时, 对所有,当然成立;充分性 若对,.则对,由的任意性,知.又由的任意性,得.证毕. 17. 设是Hilbert空间中如下定义的算子:,证明是酉算子.证 对,有.因此,若定义,则,即.而,因此,同理可得,即是酉算子.证毕.18. 设是平面上有界可测集,表示上关于平面测度平方可积函数全体,对每个,定义,证明是正常算子.证 设,定义上算子,对,.于是,对,由的任意性得,即是正常算子.证毕. 第十章习题解答 1. 设赋范线性空间,是中个线性无关向量,是一组数,证明:在上存在满足下列条件:(1);(2)的线性连续泛函的充要条件为:对任何数,.证

14、 必要性 若线性连续泛函满足(1)和(2),则.充分性 若对任意数,有,则令,对任意的,定义上的线性泛函.因,故是有界线性泛函.由泛函延拓定理,存在上的线性连续泛函,使,且满足(1);(2).证毕.2. 设是赋范线性空间,是的子空间,又.证明存在满足条件:当时,; ;.证 令.在上定义泛函,则(1)当时,;(2);(3)对任意的,则,故;又对,由的任意性,可得,而,所以.综上讨论知.由泛函延拓定理,存在上的线性连续泛函,使且,故结论成立.3. 证明:无限维赋范线性空间的共轭空间也是无限维的.证 设是中的一列线性无关向量.记.因是线性无关的,故,由上述习题2知,使,在上为零,.只需证明是中的线性

15、无关的向量.事实上:若,使得,则有,因为,所以,又.类似可证.这样我们证明了中有无限多个线性无关的向量,因此是无限维的.4. 证明Banach空间自反的充要条件是自反.证 若是Banach空间,则存在一个从到的自然的等距同构映射,若,则称是自反的,其中是这样定义的,若.为方便起见,记到的自然的等距同构映射为,到的自然的等距同构映射为.我们要证明.若.对任意,定义若.对,因,因此,这就证明了.反之,若,而.则存在,使在上恒为零,而.但,必有,使.对,所以,此与矛盾.因此必有.证毕.5. 设是一列数,证明存在上有界变差函数,使成立的充要条件是对一切多项式成立,其中为常数.证 充分性 在的线性子空间

16、上定义线性泛函.由条件可知在上是有界的.因为在上稠密,所以,可将连续地延拓到(不妨仍记为),这样是上的连续线性泛函,且.必要性 若存在有界变差函数,使.定义上的有界线性泛函,则对每一多项式,有,令,则得到结论.证毕. 6. 设为中单向移位算子,即若,则,求.解 若,则,所以.7. 举例说明一致有界性定理中空间完备的条件不能去掉.解 设为的线性子空间,除有限多个外其余皆为零.若,定义到的线性映射:,则,对任一,当时,有,因此,以上例子说明一致有界性定理中的完备性条件不能去掉.8. 证明:在完备度量空间中成立闭球套定理,即若,且,则存在唯一的;反之,若在度量空间中成立闭球套定理,则是完备度量空间.

17、证 设是完备度量空间,为一列闭球套.因为,所以,对,当时,有,因而是Cauchy列.设.因为,所以,当时,又为闭集,所以.因此. 下面证明.若,则,所以.反之,若满足闭球套定理,是Cauchy列,则存在,当时,记.存在,当时,记.存在,当时,记.这样得到一列闭球,对任意的和,有,所以.于是,由假设存在,且.因为是Cauchy列,.因此为完备度量空间.证毕.9. 设是一复数列,若对任何,级数都收敛,证明:,其中的定义见第八章题9.证 对每一个,定义.因为,所以,且.设满足,则.由题设条件,对任意收敛,从而有界,由一致有界性定理,有界,设,即,令,得,也就是说.证毕.10. 设是上的可测函数,若对

18、一切,函数在上的可积,则,其中.证 令则显然为上的有界可测函数,若,定义上的泛函,则是上的有界线性泛函,且.又因为,由勒贝格控制收敛定理知,.由一致有界性定理,存在,使得,即.因为,由Levi定理,得,所以,.证毕.11. 证明盖尔范德()引理:设是Banach空间,是上泛函,满足条件:时,当时,.证明:必有,使对一切,成立.证 先证对任意的是中的闭集.事实上,若,则,所以,即是闭集.记,则,由Baire纲定理,存在某,使在某一小球中稠密.因为是闭集,故.对中的任意,和在中,所以,因此,这样,取,则.证毕.12. 设B ,其中是Banach空间,是赋范线性空间,若对每个都收敛,令.证明:是是到

19、中有界线性算子,并且.证 因为对每个收敛,从而有界.由一致有界定理,存在. 若定义,则易证是线性的,且,所以是有界的,且.证毕.13. 设是可分的Banach空间,是中有界集,证明中每个点列含有弱*收敛子列.证 设,由的有界性知,存在.设是中的可数稠密子集.考察有界数列.由Weierstrass定理,存在收敛子列.同理也有收敛子列.一般地,若已有子列收敛,考察,由数列的有界性知,存在收敛子列.我们用对角线法则,取泛函列在稠密子集上点点收敛.事实上,由定义,对任意,是收敛的,而是的子列,因此也是收敛的,即在上点点收敛.由第十章第5节的定理1知, 弱*收敛.证毕.14. 证明:空间中点列弱收敛于的

20、充要条件是存在常数,使得,并且对任何的,成立. 证 充分性 若,使,且对,成立,则设是上任一有界线性泛函,由第十章第2节的Riesz表示定理,存在有界变差函数,使.因为,由勒贝格控制定理,即,因此弱收敛于.必要性 设弱收敛于.因为弱收敛点列必为有界点列,因此, ,使.对,定义上泛函.因,所以是上有界线性泛函.弱收敛于,即,即.证毕.15. 设是赋范线性空间,为的闭子空间,若中有点列弱收敛于,那么必有.证 若,则,由本节的第2题知,存在,满足条件:(1)在上恒为零; (2); (3).由于,所以,此与矛盾.证毕.16. 证明:中点列,弱收敛于的充要条件为,且对每个.证 充分性 设,对,设,对,确

21、定,使.然后确定,使当时,有,这样,因此,弱收敛于.必要性 若弱收敛于,则由一致有界性定理,.对任一,令,则,且.因,所以.17. 设是线性空间,和是上两个线性范数.若按及都完备,并且由点列按收敛于0,必有按也收敛于0.证明存在正数和,使. 证 定义Banach空间到Banach空间的线性映射.由题设在原点是连续的.对.若按收敛于,则,由题设条件得,即,这说明在任一非零点也连续,因此是有界的.又是到上的一对一的映射,由逆算子定理,也是有界的,故,令,则.证毕. 18. 设是Banach空间到赋范线性空间中的线性算子,令,证明:总有在中稠密. 证 因为又是第二纲集,所以,必有在某一球内稠密. 对

22、于任一和都在中,所以存在,使,不妨设,其中.于是,即.而,选取,则.即对点列,使得.即在中稠密.证毕.19. 用闭图像定理证明逆算子定理.证 设为Banach空间到Banach空间上的一对一的有界性线性算子.的图像,若,则.设,则.因为连续,所以,即.这样,.于是,我们证明了在中是闭集,故是闭算子.再由闭图像定理,是有界的,证毕.20. 设为定义在复Hilbert空间上的有界线性算子,若存在常数,使,则称为正定的.证明:正定算子必有有界逆算子,并且.证 对为实数,由第九章第5节定理1得.又由于,因此若,则,从而.这样是一一映射.由第九章习题11知,R 的闭包=N = N ,所以的值域是稠密的.

23、对R ,使,因而是中的Cauchy列,故当时,.又,因此是中Cauchy列.设,于是.因此是Hilbert空间上的一一到上的有界线性算子,由逆算子定理,有有界逆算子.因为对任意的,因此对任意的,即.因此,从而.由的任意性得.证毕.第十一章 线性算子的谱1 设。证明，且其中没有特征值。证明 当时，常值函数1不在的值域中，因此不是满射，这样。反之若，定义算子。则由于，且因此是C0，1中有界线性算子。易验证，所以。总之， 若，则对任意，可推得。由于，必有，所以A无特征值。证毕。2 设，证明。证明 对任意。因为常值函数1不在的值域中，因此。这样。反之，若，定义。类似第1题可证是有界线性算子，且。即。因

24、此。证毕。3 设， 试求。解 对任意，若，定义，显然，因此的内点都是A的点谱，由于是闭集，则。对任意，显然，因此，所以。这样我们就证明了。4 设F是平面上无限有界闭集，是F的一稠密子集，在中定义算子T：则都是特征值，中每个点是T的连续谱。证明 对任意n，其中1在第n个坐标上。由题设，因此是T的特征值。又由于是闭集，所以。若，则。定义算子，若，易验证，且。因此。若，且，使。则对任意n，。由于，则，。这样x=0，因此不是特征值，而是连续谱。证毕。5 设为线性算子的特征值，则的n次根中至少有一个是算子A的特征值。证明 设是的特征值，的n次根为。存在，使，则。若，则就是A的特征值，否则必有某i，而，则

25、是A的特征值。证毕。6 设A为Banach空间X上的有界线性算子，又设为X上一列有界线性算子，且，证明当n充分大后，也以为正则点。证明 。当n充分大时，这样 是可逆的。此可逆性由本章2定理1可证，又也是可逆的。因此当n充分大后，也可逆。证毕。7 设A是为Banach空间X上的有界线性算子，则当时，。证明 当时幂级数收敛，因此级数必按算子范数收敛。这就证明了，。 证毕。8 设A为X上的有界线性算子，则。其中与的意义同第7题。证明 在等式两边左乘右乘得。因此，证毕。9 设A是Hilbert空间H上的有界线性算子，A*为A的共轭算子，证明证明 先证若T是Hilbert空间H上的有界线性算子，若T可逆

26、，则T*也可逆，且。事实上，对任意，。这样对任意成立，因此恒成立，进而。同理。这一证明了T*也可逆，且。现在设，则可逆，因此也可逆，从而。同理若，则，这就证明了。证毕。10 设是 到的全连续算子，是到的有界线性算子，则是到的全连续算子。证明 设 是 中有界点列。因为全连续，所以中必有收敛子列。我们记之为。又因为有界，所以也收敛，因此有收敛子列。这就证明了是全连续算子。证毕。11 设A是上线性算子，记，其中，证明A是全连续的。证明 若，定义：则是有界秩算子，且所以。由本章3定理2，A是全连续算子。证毕。12 的符号同第11题。作上算子U。证明U是上全连续算子且。证明 若，则。令，则是有限秩算子，

27、且 所以。这样U是有限秩算子的极限，U必是全连续算子。由于全连续算子的非零谱都是特征值，因此要证，只要证U无非零特征值。倘若，。即 。则，由此可得。因此不是U的特征值。证毕。13设 ， 求A的特征值和特征函数。（提示：记 ）解 记。设为对应特征值的特征函数，则，即。若，则。代入c的表达式：，解得。因此非零特征值，特征函数为，其中为任意非零常数。若，则，特征函数为中任意非零函数。14 积分算子的核为， 其中 为线性无关的函数组，则其非零特征值相应的特征向量e有形式 ， 是常数。若记 ，则可由下式决定：。证明 。若为A的特征值，为对应的特征向量，则。即，其中。将代入表达式得。即，。证毕。15 在1

28、4题中，若。试求特征值和特征函数。解 采用14题的符号，因为，所以，。这样决定的方程组。变为 ，。因此就是此积分算子的全体非零特征值。对应每一个，其相应的特征函数为。显然由张成的有限维线性子空间M的正交补空间中任一非零函数都是相应于0的特征函数。16 若，求积分算子K 的特征值和特征函数。 解 。令 可验证。因此积分算子K有两个非零特值。其中相应于特征函数为，相应于特征函数为。如15 题，0相应的特征函数为中非零函数。17 解方程。解 。设为的完全规范正交系，则由本章5定理1，方程解为 。但，因此所以是积分方程的解。本题及第16题也可以用待定系数法直接解得。18 解方程。 解 。设为的完全规范正交系，由本章5定理1，因此为本积分方程的解。专心-专注-专业