2022年我的网刊高考导数常见问题及解答.pdf

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1、高考导数常见问题及解答一点小感想 :导数自 03 年开始在高考中出现后，便成为一个新的高考必考知识，并且很多省市都保持着一个小题一个大题的分值，与数列解析几何等并重，这也说明导数这一教材新知识的重要性。 导数在高考中考察主要是以运用导数为主，体现了导数在解决函数相关问题甚至一些其他问题时的工具作用。主要考察点有切线、单调性、极值最值这几个基本内容，另外在这几个基本内容的基础上，也考察了导数在一些不等式、图象问题上的灵活运用。本文中作者举例介绍一些导数常考的题型及代表性的解法.解法及评注大部分为个人观点,望交流指正 . 作者：重庆南开中学：吴剑q：一三六一五三五七题型一、切线导数的几何意义：/0

2、()fx即为曲线)(xfy在点P（)(,00 xfx）处的切线的斜率。如图，切线问题一般要注意到三个等量关系（1）切线斜率0()kfx。 （2）切点 P 满足曲线方程。 （3）切点 P 满足切线方程。例一、32( )2f xxbxcx在点( 1,( 1)Pf处的切线方程为670 xy，求 b，c的值。解 ：2( )32fxxbxc，由P 点坐标要满足切线方程可得( 1)1f， 带入 到32( )2f xxbxcx有bc（1） ，又6( 1)f，即326bc（2） ，由（ 1） （2）解得3bc评注 :这是一个比较基础的运用导数几何意义的问题，求当中的变量， 那么就要抓住已有的三个等量关系。例二

3、、 已知1ln()yxyxa与相切，则a=_。解：设切点为00(,1)xx，(ln()xa=1xa则由题意有00011(1)1ln()(2)xaxxa由（ 1）有01xa代入（ 2）有010 x，则解得2a，01x评注 :此题只说了直线与曲线相切，并没有提到切点。但是要用相切的条件必须要有切点横坐标才行，所以一开始就设出切点直接套用三个等量关系是此题的关键精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 例三、 求过原点且与曲线32( )32fx

4、xxx相切的切线方程。错解：2( )362fxxx，(0)2,(0)0ff，故切线方程为2yx。评注 :这是一个很容易出错的概念，很多老师以及一些教参上都直接利用错解的方法。 过 P 点做曲线的切线与曲线在P 点处的切线是两个完全不同的概念。如图，过P 点做切线， P 点不见得一定是切点，有可能切点是 Q 点，也就是说满足条件的切线有图中的12,l l。但是 P 点处的切线就是以P 为切点那条切线，就只能是图中的1l解：设切点为320000(,32)xxxx，则该点处的切线方程为322000000:(32)(362)()lyxxxxxxx，因为其要过原点，则将原点带入有322200000000

5、0(32)(362)(0)(23)0 xxxxxxxx则00302xx或，带入到l的方程中得到切线方程为124yxyx或例 4、1*()nyxnN在点(1,1)处的切线与x 轴交点横坐标为(,0)nx， 求12.nx xx的值。解：(1)nynx，则(1,1)处的切线方程为1(1)(1)ynx令 y=0 有1nnxn，则12.nx xx=1 21.2 311nnn题型二、单调性与极值例一、 已知定义在(0,)上的函数 f（x）满足( )( )0 xfxf x，则当0ab时（）A、( )( )af af bB、( )( )bf bf aC、( )( )af bbf aD、( )( )af bbf

6、 a解：由( )( )0 xfxf x可得2( )( )0 xfxf xx，即( )0f xx，则函数( )f xx在(0,)上是减函数。又0ab，则( )( )f af bab即( )( )af bbf a。故答案为C 评注 :此题是一个常见的抽象函数单调性问题，题目中所给式子的结构与某一函数求导后的结构非常相似，所以构造出函数( )f xx后即可得到其单调性，与之类似的还有以下几题（1）( )( ),( )fxf xfx则当 x0时_(0)xe f精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页

7、，共 16 页 - - - - - - - - - - （2）设函数fx在R上的导函数为fx，且22fxxfxx，下面的不等式在R上恒成立的是( ) A.0fxB.0fxC. fxxD.fxx例二、 已知321( )32bf xxxx在 R 上有极值点，则b 的取值范围是 _。此题在学生中易产生一种错解。2( )1fxxbx， 则 要 存 在 极 值 点 ， 即 是2( )10fxxbx要 有 根 ， 故204b。错因分析：对于 可导函数 ，0 x是极值点0()0fx，但0()0fx却不能得到0 x一定是极值点。就此题而言，若2b，则22( )21(1)fxxxx，虽然此时(1)0f，但是在1

8、,1xx时，导数值均是正数，函数增，故这不是极值点。当2b时，同理可知不满足。正解：22bb或评注 ：高考中的导函数一般以二次函数居多，所以这题可以为我们可以得到这样一个判断方法：( )0fx有解，且不能是重根。故此题可直接列式204b。例三、 已知2( )(2ln )(0)f xxax ax，讨论 f（x）单调性和极值的情况。解：注意到该函数定义域为(0,)22222( )1axaxfxxxx，（1） 当280a时，222( )0 xaxfxx， 且( )0fx的解为重根， 故函数在(0,)增，此时函数在(0,)无极值。（2）当280a时，令( )0fx可解得228822aaaaxx或，(

9、)0fx可解得228822aaaax，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 故减区间为2288(,)22aaaa，增区间为2288(0,(,)22aaaa)当282aax时，函数取得极大值，当282aax函数取得极小值。评注 ：该题是非常常见的单调性问题，考察中大都不给出具体函数求单调区间，而是带一个参数在中间需要分类讨论。并且在导函数多为二次函数的情况下，将含参数的二次不等式讨论综合到函数单调性里面，也体现了旧知识在新知识中的运用。

10、其次，解这类题还要注意到函数自身的定义域，不要只故解不等式而忘记了0 x这个条件。变式一、若( )fx在（1，2）单调递减，求实数a 的取值范围解法 1：由上题可知，只有280a时，函数才具有减区间，又( )fx要在（ 1，2）递减，则2288(1,2)(,)22aaaa，故228123822aaaaa解 法2：( )f x要 在 （ 1 ， 2 ） 递 减 ， 即222( )0(1,2)xaxfxx在恒 成 立 ， 即2220 xaxxax，则max2()xax，故3a评注 ：法 1 是先求出单调区间再利用集合的关系解不等式组得到参数范围。法2 是利用了导数在区间中的符号建立起一个二次不等式

11、恒成立问题，大大的简化了计算过程，这里注意到用的是( )0fx，是因为只要( )0fx的解是孤立的， 那么( )0fx都能得到函数严格单减。而导数是二次函数时，( )0fx的解肯定不会连续出现。变式二、若( )fx在（1，2）不单调，求实数a 的取值范围解：( )f x在（ 1，2）不单调，即是( )f x在（ 1，2）内有极值点。即220(1,2)xax在内有解，且不是重根。即2(1,2)xax在内有解。通过2yxx在(1,2)的图象可得，(22,3)a评注 ：该题设问灵活， 需要学生去分析不单调的本质含义，得到最后方程根的分布问题。另外，在解决二次方程根的分布问题时，如果能够多注意分离参数

12、的方法，那比起传统的根的分布的讨论来得更加简洁和迅速。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 例四、 若函数)1,0()(log)(3aaaxxxfa在区间)0 ,21(内单调递增， 则 a 的取值范围是（）A)1 ,41B)1 ,43C),49(D)49, 1(解：231( )(3)log e afxxaxax，题有32301(3)log e0 axaxxaxax在)0,21(恒成立。由3104xaxa当1a时，231(3)log e

13、0axaxax34a当1a时，231(3)log e0axaxax0a，矛盾综上：3,1)4a，故答案为B 评注 ：此题运用了例三中法2 的方法，使得这个问题得到简化。并且此题要注意真数为正30 xax这一隐含条件。另外此题利用符合函数单调性的方法也可以解决，在这里不做解答。题型三、函数图像交点个数问题：例一、216ln 1,( )10,fxxxg xxb有三个不同的交点，求b 的取值范围。解：( ),( )f xg x图像要有 3 个公共点，即216ln 110,xxxb有 3 个不同的解即216ln 110 xxxb有 3 个不同的解。设2( )16ln 110h xxxx，则224316

14、( )21011xxh xxxx当1,13,xU时，0hx当1,3x时，0hx所以h x的单调增区间是1,1 , 3,h x的单调减区间是1,3所以h x的极大值为116ln 29h，极小值为332ln 221h又当1x，( )h x，当, ( )xh x故可得到( )h x的草图，如下，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 由题意可得，方程要有3 个不同的解，也就是要求( )h x的图像与yb要有 3 个不同交点，图中可得 b 的的

15、取值范围应该介于两极值之间，故(32ln 221,16ln 29)b评注：此题可能会有同学按照题目意思直接先求导得到( )f x的草图，再利用直线( )10g xxb平行移动去看与( )f x图像的极限位置，由于我们得到的只是( )f x的草图，所以并不能够精确的反映出什么时候可以交3 个点。而解法中也是利用的图像，但是先利用方程思想变成一个方程解的个数问题，然后再将方程进行同解变形，最后再转变为两个图像交点个数的问题。只是直线变成一条于x 轴平行的动直线yb，这样再看交点情况只要有( )h x的单调性极值的情况，而不需要精确的图像。然而要实现这一步，需要先将参数分离到方程的一边，另一边构成一

16、个不含参数的函数。另外，注意到那两个极限的说明很有必要，这样才能够体现出函数在一些没意义的点处的走势（以下几例同） 。比如该例题，1x就是函数( )h x的一条渐近线。变式一、216ln 1,( )10,fxxxg xxb图像只有一个交点，求实数b 的范围。解：由图可知，(,32ln 221)(16ln 29,)bU变式二、216ln 110,xxxb有 3 个不同实数根，求实数b 的取值范围。解：将原方程整理成为216ln 110,xxxb同例题解法。例二、32( )3xf xxaxa的图象与 x 轴只有一个公共点，求a 的取值范围。解：即是方程3203xxaxa只有一个解，即32(1)3x

17、xa x显然， x=1 不是方程的根，故方程可同解变形为3231xxax。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 令323( )1xxg xx，该问题等价于( )g x的图像于ya的图像只有一个公共点。222 (33)( )9(1)x xxg xx，当(,0),( )0,(0,1)(1,),( )0 xg xxg xU可知，( )g x在(,0)单减，在(0,1),(1,)单增，且由,( ),1 ,( ),1 ,( )xg xxg xx

18、g x可得到草图如下：由图可知，(0)00aga评注：本题采用例一的方法，分离参数。例三、 已知20,( )21ln(1)af xaxxx，l是曲线( )yf x在(0,(0)Pf处的切线。（1）求l的方程；（2）若切线l与曲线( )yfx有且只有一个公共点，求a 的值。解： （1）1( )221fxaxx，则(0)1,(0)0ff，故:1lyx（2）由题意，即方程2221ln(1)1ln(1)0axxxxaxxx只有一个根。令21( )ln(1),( )211g xaxxxg xaxx12(1)21ax xax注意到(0)0g，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -

19、- - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - - （1）若1102a，则( )g x在( 1,0)，1(1,)2a增，在1(0,1)2a减。又由于(0)0g，则在1(0,1)2a内，( )0g x，而在1(1,)2a内，当x时，( )0g x，故由零点存在定理可得在1(1,)2a肯定还有一根，与题目矛盾。(2) 若1102a， 则( )g x在1( 1,1)2a,(0,)增 ， 在1(1,0)2a减 。 同 样 注 意 到(0)0g，则在1(1,0)2a内，( )0g x，由当1x时，( )0g x，则在1(

20、 1,1)2a肯定还有一根。(3)若111022aa时，( )g x在( 1,0)减，在(0,)增，又(0)0g故此时只有一个根0 x综上，12a评注：此例没有利用前两例的分离参数的方法主要时因为分离后得到的新函数不容易得到其草图，并且此例函数的导数能够直接求得并且能够因式分解得到极值点，进而对函数的单调性取值正负等进行讨论。题型四、函数最值及一些不等式的证明例一、求函数( )234f xxx的最值解：定义域为 3,4，11( )324fxxx，令111305324xxx则13( 3)7,(4)2 7,()355fff，故最大值为35，最小值为7。评注：求函数最值是导数的一大运用，此例也可以采

21、用均值不等式、柯西不等式、三角带换等方法去做，但是思维量大，学生需要有意识的运用导数，充分发挥其在函数问题中的工具作用。例二、 已知a是实数，函数( )()fxx xa，求( )f x在区间2,0上的最小值。解：函数定义域为0,)，3( )2xafxx，（1）0a时，( )f x在0,2增，则min( )(0)0fxf（2）0a时，( )f x在(0,),(,)33aa，此时需要对3a与区间2, 0的位置进行讨论。当2063aa时，min2( )()333aaafxf当263aa时，min( )(2)2(2)fxfa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢

22、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 综上：当0a时，min( )0fx当06a时，min2( )33aafx当6a时，min( )2(2)fxa评注：此例的函数中含有一参数，但是求最值的方法还是不变，只是涉及到单调区间和所给区间的关系进行讨论。例三、 求证：当0 x时，2ln(1)2xxx证明：原不等式即为2ln(1)02xxx， （0 x）令2( )ln(1)2xg xxx，则只要说明( )g x在(0,)的值都大于0 即可，因为22214( )1(2)(1)(2)xg xxxxx，所以函数( )g x在(

23、0,)，且( )g x连续，故( )(0)0g xg，( )0g x。所以2ln(1)2xxx评注：这类带有对数，指数或者三次函数的不等式证明，往往可以利用本例的想法操作。具体方向为， 要证明( )() ( ),或f xg xxA成立，即是证( )( )0(0),或f xg xxA成立。 则只要求的新函数( )( )在f xg xxA内的最小值 (或最大值 )，只要最值满足不等式即可（以下几例同此法）。这也是导数知识与不等式知识的一个结合。例四、 已知定义在正实数集上的函数21( )22f xxax，2( )3lng xaxb，其中0a设两曲线( )yf x，( )yg x有公共点，且在该点处

24、的切线相同（1）将 b 表示成 a的式子；（2）求证：( )( )f xg x（0 x） 。解： （1）设( )yf x与( )(0)yg x x在公共点00()xy，处的切线相同( )2fxxa，23( )ag xx，由题意00()()f xg x，00()()fxgx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 即22000200123ln232，xaxaxbaxax由20032axax得：0 xa，或03xa（舍去）即有22222152

25、3ln3ln22baaaaaaa。（2）设221( )( )( )23ln(0)2F xf xg xxaxaxb x，则( )Fx23()(3 )2(0)axaxaxaxxx故( )F x在(0)a，单减，在()a， 单增，于是函数( )F x在(0)， 上的最小值为222222222min1555( )( )23ln3ln3ln(3ln)02222FxF aaaaabaaabaaaaaa故当0 x时，有( )( )0f xg x，即当0 x时，( )( )f xg x例五、( )ln,0,0f xxx ab，求证：( )( )()ln 2()f af babf ab证明：要证明的不等式即为l

26、nln()ln 2()ln()aabbababab不妨假设0ab，令( )lnln()ln 2()ln()h aaabbababab22( )ln1ln1ln0ah aaabab故( )h a在 ,)b不减。则( )( )0h ah b，命题得证评注：此例的形式可以利用琴森不等式进行证明。实际上换个角度，既然此题叫证明对于任意的正数,a b都成立，那么不妨把其中一个字母作为变量，就是函数不等式的典型例子例六、 证明对任意的正整数n，不等式23111ln1nnn都成立解：设1,(0,1x xn，则原不等式即是23ln(1)xxx，(0,1x令32( )ln(1),h xxxx则323(1)( )

27、1xxh xx在0,上恒正，( )h x在0,上单调递增，当0,x时，恒有( )(0)0h xh. 即当0,x时，有32ln(1)0,xxx23ln(1)xxx，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 则原不等式成立。评注：此题看似一个与自然数n 有关的不等式，但是不等式左右两边并没有出现前n 项和主要的式子，而是几个关于n 的初等函数，那么这样的不等式可以尝试利用函数观点去求证。例七、 已知0,1aa，求证2()1nnaaana证明

28、：设2( )(1)1xxaaaf xxax，注意到(1)1f那么只要能够证明( )f x在1,)单增，则原不等式即得证。22ln()()( )1xxxxaa aaxaafxax下证( )0fx在1,)成立。(1)当1a时，只需证( )ln()()xxxxh xa aaxaa为正。2( )lnln()()ln()(ln) ()xxxxxxxxh xaa aaxaaa aaaaax当1a，很明显( )0h x，则( )h x单增，则( )(0)0h xh故( )0fx(2)当01a时，只需证( )ln()()xxxxh xa aaxaa为负由（ 1）的过程易得。故此时( )0fx综上：2( )1x

29、xaaaf xax在1,)单增，故( )(1)1f xf，所以2()1xxaaaxa原不等式得证。评注：此题反复利用导数证明不等式，注意当中的那两个特殊的端点值。例八、 已知 p 是(0,1)内一给定常数，求证：5739pppp证明：构造函数( )(6)(6) ,16ppg xxxx1111( )0(6)(6)ppg xpxx，所以( )g x减，则(1)(2)gg即5739pppp精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 评注：此题是

30、一自主招生考题，最初的想法本想把p 作为变量，来构造函数证明，但是发现几个底数都不同，后来观察底数的关系都是以6 作为中间数，所以想到构造那个函数利用导数得到其单调性。读者可以继续证明51525359112733pppppppp。例六以后这几个问题表面上感觉和导数无关，其实稍做分析都是带有函数背景的问题，这样就为导数的运用提供了大环境。学生也应该在其中多体会导数的工具作用以及在各章节中的渗透。题型五：几个不等式恒成立。谈到不等式的恒成立，大家并不陌生， 参数分离、 讨论最值、 数形结合等等都是常用的方法，但是由于导数背景下一些函数的多样性和复杂性决定了某些题目中以前的一些不等式恒成立的方法在这

31、里不好直接用，下例举几个高考常见的问题给出一个通法。例一、 已知不等式12axx对任意(0,1)x恒成立，求实数a 的取值范围。解：在12axx两边取对数 , 得1ln 2lnaxx,由于01,x所以有1ln 2lnaxxQ令1( )lnf xxx，则22ln1( ),lnxfxxx令( )0fx有10 xe，故( )f x在1(0, )e增，1(,1)e减。那么当(0,1)x时 , max1( )( )f xfee, 故ln 2ae,即ln 2ae评注：本题采用了一个基本方法，参数分离，在解决这类问题时守选的想法，分离后得到的函数需要通过求导才能得其最值。并且在该题中要把位于指数的参数分离出

32、来必须要通过取对数。练习：当*nN时，不等式lnln11nknnn恒成立，则常数k的取值范围是_。例二、 已知22( )2(21)lnln(21)g xxxaxx，( )0g x在1,)恒成立，求实数 a的取值范围。法一：先找充分条件 ,再验证必要性 . 解：注意到(1)g=0，22242( )2(22)()2(1)21(21)xxag xxaxxxxx，（1）当( )0g x在(1,)恒成立时，即242xxa0恒成立（因为10(21)xxx） ，此时2a。且( )g x连续，则( )g x在1,)单增，故( )(1)0g xg，满足条件（2）下证当2a时不满足条件。精品资料 - - - 欢迎

33、下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 令2114114( )0420(,)44aag xxxax因为1141141,144aa（2a） 。则( )g x在114(1,)4a单减，则当114(1,)4ax时( )(1)0g xg不满足( )0g x在1,)恒成立。综上： a的取值范围是(,2。评注：如果该题也采取例一的方法分离参数的话，会出现求函数222(21)( )lnln(21)xxf xxx的问题， 这个函数求导后的复杂性是可以预见的，另外求导后也无法求

34、出导数的0 点，进而没法找出其最值点，若单用中学阶段学习的导数知识，是无法求出这个函数的最值的。但是这类题都有一个共同点，也是该类问题命题的背景，就是在区间1,)的端点处不等式左右两边恰好相等（该题中的(1)g=0） ，所以这里就有一个想法，如果函数在1,)内单调增的话那是肯定满足条件的，所以就有了情况（1）得到充分条件即为(,2a，但这只是充分条件， 很多人在解这类题时只管得到a 的范围，而没有注意还需要说明其必要性。也就是说是不是只有情况(1)才是满足题目条件？所以才有（2）的说明，实际上就是对（1）中的范围同时也是必要条件的说明，若a不在这个范围内就可以导出矛盾。同法可以解决以下两个高考

35、把关题，读者可以自己练习。（06 全国 1 理）1( )11axxf xex在0,1x恒成立， 求 a 的取值范围。（答案(,2）（08 全国 2 理）设函数sin( )2cosxf xx如果对任何0 x，都有( )f xax，求a的取值范围法二、先找必要条件,再验证充分性 . 引 理 (洛 必 达 法 则 )( )0,( )0,( ),( )f ag af xg x在 定 义 域 内 可 导. 且( ),( )fag a存在,( )0g a则( )( )lim( )( )xaf xfag xg a( )( )( )( )( ): limlimlim( )( )( )( )( )( )( )1

36、( )limlim( )( )( )xaxaxaxaxaf xf xf af xf axapfg xg xg axag xg af xf afag xg axag axa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - - (该证明过程系本人结合教材定义给出，有问题还请指出。) 下以 08 年全国 2 卷为例介绍法二的运用. 设函数sin( )2cosxf xx如果对任何0 x，都有( )f xax，求a的取值范围解：原不等式即为sin2cosxa

37、xx，当0 x时即为 0=0，对于一切的a 都成立。所以要考虑0 x的情况。故原问题可化为sin(2cos )xaxx对于一切0 x恒成立。（1）则必须先满足0sinlim(2cos )xxaxx，由洛必达法则可得00sincos1limlim(2cos )2cossin3xxxxaxxxxx13a（2）另一方面，当13a时，令sin( )32cosxxg xx，222221cos (2cos )sin12cos1cos2cos1( )03(2cos )3(2cos )(2cos )xxxxxxg xxxx则( )g x单增，则( )(0)0g xg，故sin32cosxxx，显然，当13a能

38、使得原不等式恒成立。综上， a 的取值范围是1 ,)3评注： 该解法与法一正好相反，先找出a 的必要条件，再验证其充分性，并且这里用的是分离参数解决不等式恒成立的想法。此法中那个0 x时的极限和法一中提到的端点值有异曲同工之处，正是法一评注中说到的这类题的共同点所致。另外验证充分性的方法很多，这里用了一个函数不等式的思想。还可以去多次求导验证函数sin(2cos )xxx为减函数。该解法同样可以解决例二，并且该解法的优越性在于比较轻松的解决了必要性的说明，而笔者发现这类问题必要性的说明往往是比较麻烦的。但是这里用到了一个现行教材里没有给出的结论，洛必达法则，即上述引理,所以在解答时建议附上一个

39、简要的证明。值 得 一 提 的 是 ， a 取 值 的 端 点 值13恰 好 是( )f x在x=0处 的 切 线 斜 率 ， 如 图 ：该图中发现，当13a时，直线肯定在曲线上方了，那么精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 满足题目要求是显而易见的。如果一旦13a，则肯定直线就会有在曲线下方的部分，这和例二中必要性的说明不谋而合，我想这也正是这类题的出题背景，即以曲线的切线为背景。如果知道了这个背景，那么我们利用法二在解决这类问题

40、时就有了统一的方向。例三、（10 年全国 2 理）设函数1xfxe设当0 x时，1xfxax恒成立，求实数 a 的取值范围。解：分析两边函数正负情况易得0a当0 x时即为 0=0，对于一切的a 都成立。故考虑0 x的情况(1)原问题化为1(1)xxxeaxe对于0 x恒成立，则那么既然要恒成立，那就该首先满足011lim(1)2xxxxeaxe故这里就得到a 的必要条件为102a(2)下面证明12a是充分条件。当12a时, 将不等式整理为( )1022xxxxg xee，注意到(0)0g下证1( )0222xxxeg xe又由于(0)0g,故只需证1( )222xxxeg xe是增函数即可(

41、)02xxgxeQ,( )gx单增 ,则( )(0)0g xg故( )g x单增 ,则( )(0)0g xg则112(1)xxxexe成立,那么当12a时,显然该不等式也成立. 综上 :a 的取值范围是10,2评注： 该题为 10 年全国 2 的压轴题。当时大家都反映标准答案完全是云里雾里，思路不好找，并且感觉拼凑痕迹很明显，属于知道答案而写的答案。所以这里用这类问题的通法来解决这个题。下面大家不妨再利用该法练习以下两题（1） （10 年全国新课标）设函数2( )1xf xexax。若当0 x时( )0fx恒成立，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 求a的取值范围。（2） （11 年武汉 4 月调研考试）当0 x时，不等式23ln(1)xxxax恒成立，求实数 a的取值范围。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - - -