高中数学函数专题(共20页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学函数专题1已知在实数域R上可导的函数对任意实数都有若存在实数，使，求证：（1）；（2）上是单调函数证明：（1）又,（2）即在R上是单调递增函数.2已知抛物线C的方程为为焦点，直线与C交于A、B两点，P为AB的中点，直线过P、F点。（1）求直线的斜率关于的解析式，并指出定义域；（2）求函数的反函数；（3）求与的夹角的取值范围。（4）解不等式。解：（1） （2）（3）（4），原不等式为 当时，；当时，显然，时，；当时，。3已知二次函数有最大值且最大值为正实数，集合，集合.（1）求和；（2）定义与的差集：且.设，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的三组

2、值，使，并分别写出所有满足上述条件的（从大到小）、（从小到大）依次构成的数列、的通项公式（不必证明）；（3）若函数中，（理）设、是方程的两个根，判断是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。（文）写出的最大值，并判断是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。解：（1）有最大值，.配方得，由.，。（2）要使，。可以使中有3个元素，中有2个元素，中有1个元素.则.中有6个元素，中有4个元素，中有2个元素。则.中有9个元素,中有6个元素,中有3个元素.则.（3）（理），得.，当且仅当时等号成立.在上单调递增。.又，故没有最小值。（文）单调递增，又，

3、没有最大值。4已知函数是奇函数。(1)求m的值；（2）判断在区间上的单调性并加以证明；（3）当时，的值域是，求的值.解:（1）m=1（2）由（1），任取，. .上是减函数；当0a1时，要使的值域是，则，而a1，上式化为又当x1时，.当.因而，欲使的值域是，必须，所以对不等式，当且仅当时成立. .5|AB|=|xB-xA|表示数轴上A、B两点的距离，它也可以看作满足一定条件的一种运算。这样，可以将满足下列三个条件的一个x与y间的运算p(x,y)叫做x,y之间的距离：条件一，非负性p(x,y)0，等号成立当且仅当x=y；条件二，交换律p(x,y)=p(y,x);条件三，三角不等式p(x,z)p(x

4、,y)+p(y,z).试确定运算s(x,y)=是否为一个距离？是，证明；不是，举出反例。解：要说明s(x,y)是否为距离，只要验证它是否满足三条即可s(x,y)=0等号成立当且仅当|x-y|=0,即x=y ，第一条满足s(x,y)=s(y,x) ，第二条也满足s(x,z)=函数f(x)=1-(或)在x0上单调增，且|x-z|x-y|+|y-z|(8分）s(x,z)=+=s(x,y)+s(y,z) （10分）总之，s(x,y)是距离6已知曲线相交于点A，以其上一动点P（x0,y0）为切点的直线l与y轴相交于Q点.（）求直线l的方程，并用x0表示Q点的坐标；（）求(）解：（）由正弦定理得：7设、为

5、常数，：把平面上任意一点（，）映射为函数（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数； （2）证明：当时，这里t为常数； （3）对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？答案：（1）假设有两个不同的点（，），（，）对应同一函数，即与相同，即对一切实数x均成立。特别令x=0，得a=c；令，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立.故不存在两个不同点对应同函数。（2）当时，可得常数a0，b0，使由于为常数，设是常数.从而。（3）设，由此得（，）在映射F下，的原象是（m，n），则M1的原象是消去t得，即在映射F下，M1的原象 是以原

6、点为圆心，为半径的圆。8试构造一个函数，使得对一切有恒成立，但是既不是奇函数又不是偶函数，则可以是9设ABC=,且AB=,符合此条件的(A,B,C)共有(注:A,B,C顺序不同为不同组) (A) A.500组 B.75组 C.972组 D.125组10电信局为了配合客户的不同需要，设有A，B两种优惠方案.这两种方案应付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）(.注：图中MNCD)试问：（I）若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？ （II）方案B从500分钟后，每分钟收费多少元？（III）通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？解：设这两种方案的应付话费与通话

7、时间的函数关系分别为则由已知及图象可得（I）通话时间2小时，按方案A，B各付话费116元和168元；（II）因为，所以方案B从500分钟后，每分钟收费0.3元；（III）由图象知，当时，由可得即当通话时间在（，方案B比方案A优惠.11、(04河南)若求函数的单调区间.解：（I）当a=0时，若x0，则0,则0.所以当a=0时，函数f(x)在区间（，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数.（II）当由所以，当a0时，函数f(x)在区间（，）内为增函数，在区间（，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数；（III）当a0，解得0x,由2x+ax20，解得x.所以当a0时，函数f(x)在区间（，

8、0）内为减函数，在区间（0，）内为增函数，在区间（，+）内为减函数.12、(04河南文)已知在上是减函数，求的取值范围.解：（）当（）时，是减函数.所以，当是减函数；（II）当时，=由函数在R上的单调性，可知当时，）是减函数；（）当时，在R上存在一个区间，其上有所以，当时，函数不是减函数.综上，所求的取值范围是（13、若函数在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)上为增函数，试求实数的取值范围.解：函数的导数 令，解得 为增函数.依题意应有 当所以 解得所以a的取值范围是5，7.14、已知函数,.(i)求函数的最大值；(ii)设,证明:.（）解：函数的定义域为. 令 当 当 又 故当且仅当x

9、=0时，取得最大值，最大值为0. （）证法一： 由（）结论知由题设 因此 所以 又综上 证法二：设 则 当 在此内为减函数.当上为增函数.从而，当有极小值因此 即 设 则 当 因此上为减函数.因为 即 15、求函数在0,2上的最小值.解：令 化简为 解得当单调增加；当单调减少.所以为函数的极大值.又因为 所以 为函数在0，2上的最小值，为函数在0，2上的最大值.16、已知函数在处取得极值.（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程.（1）解：，依题意，即 解得。 。 令，得。若，则，故在上是增函数，在上是增函数。若，则，故在上是减函数。所以，是极大值；是极小值。

10、（2）解：曲线方程为，点不在曲线上。设切点为，则点M的坐标满足。因，故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有化简得，解得。所以，切点为，切线方程为。17、10、已知函数是R上的奇函数，当时取得极值.（1）求的单调区间和极大值；（2）证明对任意，不等式恒成立.（1）解：由奇函数的定义，应有，即 因此， 由条件为的极值，必有，故解得，因此，当时，故在单调区间上是增函数当时，故在单调区间上是减函数当时，故在单调区间上是增函数所以，在处取得极大值，极大值为（2）解：由（1）知，是减函数，且在上的最大值在上的最小值所以，对任意的，恒有18、(04重庆)某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨

11、）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入成本）解：每月生产x吨时的利润为 ，故它就是最大值点，且最大值为： 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.19、14、已知在区间-1，1上是增函数.（）求实数的值组成的集合；（）设关于的方程的两个非零实根为.试问：是否存在实数，使得不等式对任意及-1，1恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（）f(x)= ，f(x)在-1，1上是增函数，f(x)0对x-1，1恒成立，即x2-ax-20对x-1，1恒成立. 设(

12、x)=x2-ax-2，方法一： (1)=1-a-20， -1a1， (-1)=1+a-20.对x-1，1，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f(-1)=0以及当a=-1时，f(1)=0A=a|-1a1.方法二： 0， 0x1，x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根， x1+x2=a， 从而|x1-x2|=.x1x2=-2，-1a1，|x1-x2|=3.要使不等式m2+tm+1|x1-x2|对任意aA及t-1，1恒成立，当且仅当m2+tm+13对任意t-1，1恒成立，即m2+tm-20对任意t-1，1恒成立. 设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2)，方法一： g(-1)=m2-m-

13、20， g(1)=m2+m-20，m2或m-2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1|x1-x2|对任意aA及t-1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或m-2.方法二：当m=0时，显然不成立；当m0时， m0， m0. 则0,从而f(x)在(0,+)上单调递增; 若x0,则0,从而f(x)在(-,0)上单调递减. (当a0时,令=0,得x(ax+2)=0,故x=0或 若x0,则0,从而f(x)在(-,0)上单调递减. 若0x0.从而f(x)在(0, )上单调递增; 若x 则0.从而f(x)在(+)上单调递减.() (当a=0时, f(x)在区间0,1上的最大值是f(1)=1. (当时, f

14、(x)在区间0,1上的最大值是f(1)=. 当a-2时, f(x)在区间0,1上的最大值是.22、如图，已知曲线C1：=x3(x0)与曲线C2:y=-2x3+3x(x0)交于点O、A.直线x=t(0t1)与曲线C1、C2分别相交于点B、D.（）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t)；（）讨论f(t)的单调性，并求f(t)的最大值. y=x3，解：（）由 得交点O、A的坐标分别是（0，0），（1，1）. y=-2x3+3x，f(t)=SABD+SOBD=|BD|1-0|=|BD|=(-3t3+3t)，即f(t)=-(t3-t)，(0t1).（）f(t)=-t2+.令f(t)=0 解得t=.当0t0，从而f(t)在区间（0，）上是增函数；当t1时，f(t)0，从而f(t)在区间（，1）上是减函数.所以当t=时，f(t)有最大值为f()=.专心-专注-专业