2022年几何概型教学设计.pdf

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1、贵州师范大学设计（论文）题目“几何概型”教学设计与研究专业数 学 与 应 用 数 学班级数 学 （1）班姓名臧尔辉学号120703010050 指导教师姜 文老师精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - “几何概型”教学设计与研究摘要 : 几何概型从教学重点、难点，和生活中的例子相结合起来，让学生更很好的掌握好知识，锁具的例子在学生的能力范围内，并且新颖，从而能让学生很快的投入思考和学习。在情景引例中教学设计的目的明确，概念形成有条有理。

2、关键词: 几何概型教学设计课堂教学教学内容：人教版数学必修3第三章第 3.3.1节几何概型。学情分析：这部分是新增加的内容， 介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义，所以教科书中选的例题都是比较简单的， 随机模拟部分是本节的重点内容。几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个。本节的教学需要一些实物模型为教具,如教科书中的转盘模型、例2 中的随机撒豆子的模型等， 教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性。 几何概型也是一种概率模型， 它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个； 它的

3、特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关。教材的地位与作用：概率的初步知识在初中已经介绍， 在选修模块的系列2 中还将继续学习概率的其他内容，因此，本章在高中阶段概率的学习中，起了承前启后的作用。本章的核心是运用数学方法去研究不确定现象的规律，让学生初步形成用科学的态度、辩证的思想、随机的观念去观察、分析研究客观世界的态度，并获取认识世界的初步知识和科学方法；这对全面系统地掌握概率知识， 对于学生辩证思想的进一步形成具有促进的作用。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -

4、 - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 教学目标：知识与技能了解几何概型的意义， 会运用几何概型的概率计算公式，会求简单的几何概型事件的概率。过程与方法 : 通过游戏、案例分析，学习运用几何概型的过程， 初步体会几何概型的含义，体验几何概型与古典概型的联系与区别。情感、态度与价值观 : 通过对几何概型的研究， 感知生活中的数学， 体会数学文化， 培养学生的数学素养。教学重点：几何概型的特点，几何概型的识别，几何概型的概率公式。教学难点：将现实问题转化为几何概型问题，从实际背景中找几何度量。教学过程：一、复习引入1、古典概型的两个基本

5、特征是什么？2、如何计算古典概型的概率？在提出问题的同时 , 要引领学生回顾知识 . 二、创设情景，引入新课1 、问题情境 1 问题引入引例 1北京奥运会圆满闭幕，某玩具厂商为推销其生产的福娃玩具，扩大知名度，特举办了一次有奖活动：顾客随意掷两颗骰子，如果点数之和大于10，则可获得一套福娃玩具，问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 设计意图：复习巩固古典概型的特点及其概率公式，为几何概型的引入做好

6、铺垫.引例 2厂商为了增强活动的趣味性，改变了活动方式，设立了一个可以自由转动的转盘（如图1）转盘被等分成8 个扇形区域 . 顾客随意转动转盘，如果转盘停止转动时，指针正好指向阴影区域，顾客则可获得一套福娃玩具. 问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少？设计意图：1以实际问题引发学生的学习兴趣和求知欲望；2以此为铺垫，通过具体问题情境引入课题；3简单直观，符合学生的思维习惯和认知规律.问题提出后， 学生根据日常生活经验很容易回答：“由面积比计算出概率为1/4. ”提问：为什么会想到用面积之比来解决问题的呢？这样做有什么理论依据吗？学生思考， 回答： “上一节刚学习的古典概型的概率就是由事件所包含

7、的基本事件数占试验的基本事件总数的比例来解决的，所以联想到用面积的比例来解决. ”教师继续 提问： 这个问题是古典概型吗？通过提问， 引导学生回顾古典概型的特点：有限性和等可能性. 发现这个问题虽然貌似古典概型，但是由于这个问题中的基本事件应该是“指针指向的位置”，而不是“指针指向的区域”，所以有无限多种可能，不满足有限性这个特点，因此不是古典概型.也就是说，我们不能用古典概型的概率公式去解决这个问题，刚才我们的解答只是猜测. 到这里， 我们自然而然地需要一个理论依据去支持这个猜测，从而引入几何概型的概念. 中黄心的概率有多大？2、学生活动（分组讨论）分析上述三个题目，回答问题：1)如图，甲乙

8、两人玩转盘游戏, 规定当指针指向 B区域时 , 甲获胜 , 否则乙获胜。 求甲获胜的概率 ? 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 显然，它无法用古典概型解答， 虽然它发生的可能性是相同的，但试验可能的结果是无穷的。但在图（1）中，显然甲获胜的概率为1/2 ；以转盘（ 2）为游戏工具时，甲获胜的概率为3/5 。事实上，甲获胜的概率与阴影所在扇形区域的圆弧的长度（面积）有关，而与阴影所在区域的位置无关。2) 如图, 记“剪得两段的长都不

9、小于1 m”为事件 A.把绳子三等分 , 于是当剪断位置处在中间一段上时, 事件 A 发生. 由于中间一段的长度等于绳长的31, 于是事件 A发生的概率 P(A)=31。3) 如 图 , 记 “ 射 中 黄 心 ” 为 事 件 B, 由 于 中 靶 心 随 机 地 落 在 面 积 为411222 cm2 的大圆内 , 而当中靶点落在面积为4112.2 2 cm2 的黄心内时, 事件 B发生, 于是事件 B发生的概率 P(B)=22122412 .1241=0.01. 设计目的：通过具体事例，让学生抽象出几何模型。通过与古典概型进行比较，找出本节课所要研究的模型几何概型，弄清它与古典概型的不同之

10、处，从而引出几何概型的概念、基本特点、概率计算公式，之后要加以说明，以便学生理解与记忆 .帮助学生弄清其形式和本质，明确学习的目的。2概念形成记引例2 中的事件为“指针指向阴影区域”，通过刚才的分析，我们发现事件包含的基本事件有无数个，而试验的基本事件总数也是无数个. 如果我们仿照古典概型的概率122cm精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 公式，用事件包含的基本事件个数与试验的基本事件总数的比例来解决这个问题，那样就会出现“无数比无

11、数”的情况，没有办法求解.因此，我们需要一个量，来度量事件和，使这个比例式可以操作，这个量就称为“几何度量” . 这就得到了几何概型的概率公式，其中表示区域的几何度量，表示子区域的几何度量 .引例 2 就可以选取面积做几何度量来解决.通过上面的分析， 引导学生发现： 几何概型与古典概型的区别在于它的试验结果不是有限个，但是它的试验结果在一个区域内均匀地分布，因此它满足无限性和等可能性的特征.其求解思路与古典概型相似，都属于“比例解法”. 1、对以上三个试验做出分析、以上三个试验共同点：所有基本事件的个数都是无限多个；每个基本事件发生的可能性都相等。三个试验的概率是怎样求得的？简单的说所求概率就

12、是它们的面积之比、体积之比和长度之比，具体的说，就是把基本事件空间理解为一个区域，不妨记为，而事件A 可以理解为它的一个子区域，而所求的概率就是用子区域A 的几何度量（长度、面积、体积）比上区域的几何度量。我们把满足上述条件的试验称为几何概型，参照上述三个试验请给出几何概型的定义。2、几何概型的定义、计算公式与特征（1）定义：事件 A 理解为区域的某一子区域 A，A 的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。（2）在几何概型中，事件的概率计算公式为其中表示区域的几何度量，A表示区域 A 的几何度量。AAP)(精品资料 -

13、- - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - （3）特征：试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；每个基本事件发生的可能性都相等。3、古典概型和几何概型的比较古典概型几何概型所有基本事件的个数有限个无限个每个基本事件发生的可能性等可能等可能概率的计算公式4、怎样求几何概型的概率对于复杂的实际问题 ,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域 ,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解 . 利用几何概型的定义判断该问题能

14、否转化为几何概型求解； 把基本事件空间转化为与之对应的区域； 把随机事件 A 转化为与之对应的区域A； 利用几何概型概率公式计算。5、说明：区域内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关其中“几何度量”的意义依确定，当分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的“几何度量”分别是长度，面积和体积设计目的：通过对比、归纳将新的知识建构到旧的知识系统，完成知识的延伸. 四、实际应用1、模型应用nmAP)(AAP)(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -

15、- - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 例 1：在 500ml 的水中有一只草履虫， 现从中随机取出 ml 水样放到显微镜下观察， 求发现草履虫的概率 . 分析：草履虫在这 ml 水样中的分布可以看做是随机的（符合几何概型），于是发现草履虫的概率等于取出水的体积与所有水的体积的比. 解：取出 2mL 水，其中“含有草履虫”这一事件记为A，则所有水的体积取出水的体积)(AP=5002=0.004答：发现草履虫的概率是0.004. 例 2：取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率 . 分析：由于是随机丢豆子，

16、故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的（符合几何概型） ，于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比. 解：记“豆子落入圆内”为事件A，则22( )44圆面积正方形面积aP Aa答：豆子落入圆内的概率为4. 变式训练 1：在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E、F、G 、H分别是四边中点，将米粒随机撒在正方形中， 若米粒落在下列 3 个图中阴影部分区域的概率分别是P1、P2、P3 . 则其大小关系是( P2 P1=P3 ) A B C D F G E H A B C D F G E H A B C D F G E H 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

17、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 例 3：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于 10 分钟的概率。分析：他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关， 这符合几何概型的条件， 由于收音机每一小时报一次，可以认为此人打开收音机的时间正处于两次报时之间，即处于0，60的任意一点，于是概率等于等待时间段的长度与两个整点之间长度的比。解：记“等待的时间不多于10 分钟”记为事件 A，则 P（A）=6010=61答：等待的时

18、间不多于10 分钟的概率为61. 变式训练 2：某路公共汽车5 分钟一班准时到达某车站 ,求某一人在该车站等车时间少于3 分钟的概率（假定车到来后每人都能上）. 解：设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为=(a,a+5), 记“等车时间少于 3 分钟”为事件 A，则他到站的时刻只能为=(a+2,a+5)中的任一时刻,故 P(A)=53. 设计目的：1）分别从三个测度体积、面积、长度来体现几何概型的求解方式。2）经历将一些实际问题转化为几何概型的过程，探求正确应用几何概型的概率计算公式解决问题的方法。2、归纳总结怎样求几何概型的概率对于复杂的实际问题 ,解题的关键是要建立模型,找出随

19、机事件与所有基本事件相对应的几何区域 ,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解，具体分以下四个步骤 : 利用几何概型的定义判断该问题能否转化为几何概型求解；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 把基本事件空间转化为与之对应的区域； 把随机事件 A 转化为与之对应的区域A； 利用几何概型概率公式计算。设计目的：通过归纳总结，得出这类问题的解决方法，将感性思维上升为理性思维。3、当堂练习(1) (1) 在数轴上，设点 x-3,3中

20、按均匀分布出现，记a(-1,2 】为事件A，则 P（A）=（ C ）A、1 B 、0 C 、1/2 D、1/3 P（A）=633 ,32, 1(的长度的长度=21(2) 一海豚在水池中自由游弋，水池长为30m,宽 20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率解：事件 A=“ 海豚嘴尖离岸边不超过2m ”答：海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率是7523. （3） 在 1 万平方千米的海域中有40 平方千米的大陆架储藏着石油, 假设在海域中任意一点钻探 , 钻到油层面的概率是多少？分析：石油在 1 万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积, 由几

21、何概型公式可以求得概率. 解：记“钻到油层面”为事件A,则 P(A)=1000040=0.004. 答：钻到油层面的概率是0.004. 设计目的：通过练习，强调在解决问题的时候注意看问题的角度（基本事件）。4、当堂检测（1）在区间 1 ，3 上任意取一数，则这个数不小于1.5 的概率是多少？ 1 1.5 3 0 2 3 -3 -1 30米20米7523600184)(18416262030600203022AAAPmm精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - -

22、- - - - - - P=135.13 3, 1 3 ,5.1 的长度的长度=25 .1=0.75 （2）在高产小麦种子100ml 中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出3ml，求含有麦锈病种子的概率是多少？所有小麦种子的体积体积取出带锈病小麦种子的)(AP=1003=0.03（3）在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm ，4cm ，6cm ，某人站在3m之外向此此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：（1） 投中大圆内的概率是多少？（2） 投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？（3） 投中大圆之外的概率是多少？P1=25

23、636正方形的面积大圆的面积649P2=2561636正方形的面积小圆的面积大圆的面积645P3=1- 正方形的面积大圆的面积1-649设计目的：通过检测，检查学生对几何概型概率模型的把握与公式的应用，加强对几何概型的掌握。5、课后拓展 (1)在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M,求 AM小于 AC的概率 .分析: 点 M随机地落在线段AB上（符合几何概型），故线段 AB为区域 D.当点 M位于右下图中线段AC 内时， AMAC，故线段 AC 即为区域 D. 解在 AB上截取 AC =AC 于是P(AMAC)=P(AMAC)ACABACAB22. 答: AM 小于 AC的概率为22

24、. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - (2) 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线 ,把一枚半径ra 的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.解：把 “ 硬币不与任一条平行线相碰” 的事件记为事件A,为了确定硬币的位置,由硬币中心 O 向靠得最近的平行线引垂线OM,垂足为 M,如右图所示 ,这样线段 OM 长度（记作 OM）的取值范围就是 0,a,只有当 rOM a时硬币不与平行线相碰 ,所以所求事件 A

25、的概率就是 P（A）=araaar的长度的长度,0,(. (3) 两人相约 8点到 9 点在某地会面 , 先到者等候另一人 20分钟, 过时就可离去 ,试求这两人能会面的概率. 解： 设甲 、乙 各在 第 x 分 钟和 第 y 分钟到 达, 则 样本 空间 为 ：(x,y)|0 x60,0y60, 画成图为一正方形( 如下图). 以 x,y 分别表示两人的到达时刻 , 则两人能会面的充要条件为|x- y| 20, 而能会面的点的区域用阴影标出（如图所示），所求概率为 P=95604060222正方形的面积阴影的面积. 设计目的：通过拓展练习，让同学们体验，长度，面积，体积，角度，弧长之间在求几

26、何概型中的重要应用。五回顾小结：（1）几何概型的概念及基本特点；（2）几何概型中概率的计算公式；一般地, 在几何区域 D中随机地取一点 ,记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A,则事件A 发生的概率为:的测度的测度DdAP)(几何测度 -指长度、面积或体积（3）背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的 . （4）区域 D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的， 落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关. 设计目的： 通过师生的共同小结， 发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识， 也能培养学生的归纳和概括能力；进一步完成教学目标.

27、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 六课后作业：课本： P114 习题 3-3A 1,2 P115 习题 3-3B 1,2 七、课后反思 : 本节课采用了类比的思维方式，让学生明确古典概型与几何概型的异同。在启发式教学方式的引领下，以问题串的形式开启学生思维之门。通过课后检测， 发现本节课学生的学习效果比较不错.我认为本节课有以下五个方面做得比较成功.1通过具体的问题情境引入，容易激发学生的学习兴趣和求知欲.2通过与古典概型对比，

28、产生矛盾，促使学生迫切想去探求解决问题的方法.3分解难度，将抽象的概念“解剖”，易于理解.4问题设置层层递进，由浅入深，有层次、有目标地解决各个难点，符合学生的学习规律 .5本节课中所体现的极限思想、类比思想、转化思想等将会对学生的思维发展有所帮助.本节课的不足之处在于教师做的准备工作太多，问题设置得过于紧密，使得学生发挥的空间不够 . 如何设计问题才能使学生的思维更活跃，不仅能认识问题、解决问题，还能创设问题？这也是我一直在思考的，还望各位同仁不吝赐教.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -