三次样条插值(共6页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上三次样条插值分段线性插值的优点：计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在计算机上实现 缺点：它只能保证各小段曲线在连接点的连续性，却无法保证整条曲线的光滑性，这就不能满足某些工程技术的要求。三次Hermit插值优点：有较好的光滑性，缺点：要求节点的一阶导数已知。从世纪年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来所谓样条(Spline)插值方法，既保留了分段低次插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的光滑性。今天，样条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，在许多领域里得到越来越多广泛应用。 我们介绍应用最广的具二阶连续导数的三次样条插值函数。一、三次样条插

2、值函数的定义：给定区间上的个节点和这些点上的函数值 若满足：（1）；（2）在每个小区间上至多是一个三次多项式；（3）在上连续。则称为函数关于节点的三次样条插值函数。二、边界问题的提出与类型单靠一个函数表是不能完全构造出一个三次样条插值函数。我们分析一下其条件个数，条件（2）三次样条插值函数是一个分段三次多项式，若用表示它在第个子区间上的表达式，则形如 其中有四个待定系数，子区间共有个，所以共有个待定系数。 由条件（3）在上连续，即它们在各个子区间上的连接点上连续即可，共有个条件，即 共有个条件，未知量的个数是个。这样需要加2个条件。这两个条件通常在插值区间的边界点处给出，称为边界条件。边界条件

3、的类型很多，常见有：（1） 给定一阶导数值；（2）给定一阶导数值；（特别地时称为自然边界条件，满足自然边界条件的次样条插值函数称为自然样条插值函数）（3） 当是周期为的函数时，要求及其导数都是以为周期的函数，相应的边界条件为：注：1. 由是周期函数，必有。 2. 虽然可利用边界条件及方程组可求出待定系数，从而得到三次样条插值函数在各个子区间的表达式，但计算量大，不便于应用，我们介绍一种简便的方法（方法或三弯方法）： 设 因为在子区间上是不高于三次的多项式，其二阶导数必是线性函数，所以 (1) 设，则有 (2)连续二次积分得： (3)其中是积分常数， 利用插值条件 ，带入（3）中得： ，带入（3

4、），整理得： (4) 从而只要确定这个未知数，即可定出三次样条插值函数。 根据的连续条件，即： 等同于: , （*）由（4）得 （5）所以 （6） 将（5）式中的，得在子区间上的表达式为， （7） 将（5）（7）代入（*）式中，整理得： ，两编同乘得 （8）令（ （9）则所得方程可简写为: 即 (10) 在（1）边界条件下，即，由于在子区间上的导数为由 得 （11）同理由 得 （12）（11）（12）与（10）合在一起得下列的关于的线性方程组 （13） 其中 （14）在（2）边界条件下，即，在方程中实际上只包含有未知数，并且可以改写为: (15)在（3）边界条件下， 由得 （15）由 注意到：，将上式整理得： 记 即 （16）结合（15）（16）（10）得的线性方程组为： 由代数知识知：三对角方程组由于主对角占优，方程有唯一解，具体方法一般应用三对角的“追赶法”求解。专心-专注-专业