2022年凸函数及其在证明不等式中的应用37885.pdf

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1、本 科 毕 业 论 文题目 凸函数及其在证明不等式中的应用系别数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导教师吴开腾评阅教师班级2004 级 2 班姓名冀学本学号064 2008 年月日精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 目录摘要 . 错误! 未定义书签。Abstract . 错误! 未定义书签。1 引言 . 错误! 未定义书签。2 凸函数的等价定义. 错误! 未定义书签。凸函数三种定义的等价性的讨论. 错误! 未定义书签。定义 1定义

2、 2 . 错误! 未定义书签。定义 1定义 3. 错误! 未定义书签。判定定理与 JESEN 不等式 . 错误! 未定义书签。3性质 . 错误! 未定义书签。4 凸函数在不等式证明中的应用. 错误! 未定义书签。利用凸函数定义证明不等式 . 错误! 未定义书签。利用凸函数性质证明不等式 . 错误! 未定义书签。结束语. 错误! 未定义书签。参考文献 . 错误! 未定义书签。致谢 . 错误! 未定义书签。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - -

3、 - 摘要首先给出了凸函数的三个典型定义，分析了它们之间的关系，并证明了三种定义之间的等价性 接着给出了凸函数的一个判定定理以及Jesen不等式然后讨论了凸函数的几条常用性质，通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用凸函数具有重要的理论研究价值和实际广泛应用，利用凸函数的性质证明不等式；很容易证明不等式的正确性因此，正确理解凸函数的定义、性质及应用，更对有关学术问题进行推广研究起着举足轻重的作用在不等式证明中的应用并举例说明解题思路与证明方法，最后证明了几个常见的重要不等式并得到了几种常用凸函数的形式关键词凸函数，凸性不等式， jensen 不等式AbstractFirst has given

4、 the convex function three model definition ， has analyzed between them the relations ， and has proven between three kind of definition equivalence. Then has given a convex function determination theorem as well as the Jesen inequality. Then discussed convex function several commonly used nature， ha

5、s demonstrated the convex function in inequality proof application through the sample question. The convex function has the important fundamental research value and the actual widespread application ， the use convex function nature proof inequality;Very easy to prove the inequality the accuracy. The

6、refore， the correct understanding convex functions definition ， the nature and the application， carry on the promotion to the related academic question to study the pivotal function. In the inequality proved that the application and explains with examples the problem solving mentality and the certif

7、icate method， finally has proven several common important inequalities. And obtained several kind of commonly used convex function forms. Key wordsConvex function， convexity inequality， jensen inequality精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - -

8、 - 1 引言凸函数是一类常见的重要函数，上世纪初建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支得到广泛应用例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数现行高等数学教材中也都对函数的凸性作了介绍，由于各版本根据自己的需要，对凸函数这一概念作了不同形式的定义，本文介绍了凸函数的三种典型定义，讨论了它们的等价性，并给出了利用凸函数的定义证明凸函数的简单应用凸函数在不等式的研究中尤为重

9、要，而不等式证明最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分重要凸函数的性质相当多，已有很多文献专门就函数凸性作了研究本文就凸函数的性质介绍了几条常用的性质，并给出了证明；最后，重点介绍了凸函数的性质在不等式证明中的应用2 凸函数的等价定义定义 11若函数( )f x对于区间( , )a b内的任意12,x x以及(0,1)，恒有1212(1)()(1) ()fxxf xf x，则称( )f x为区间( , )a b上的凸函数其几何意义为：凸函数曲线( )yf x上任意两点1122(,(),(,()xf xxf x间的割线总在曲线之上定义 2若函数( )f x在区间( , )a b

10、内连续，对于区间( , )a b内的任意12,x x，恒有12121()()()22xxff xf x，则称( )f x为区间( , )a b上的凸函数其几何意义为：凸函数曲线( )yf x上任意两点1122(,(),(,()xf xxf x间割线的中点总在曲线上相应点 (具有相同横坐标 )之上定义 3若函数( )f x在区间( , )a b内可微，且对于区间( , )a b内的任意x及0 x，恒有000( )()()()fxf xfxxx，则称( )f x为区间( , )a b上的凸函数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - -

11、 - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 其几何意义为：凸函数曲线( )yf x上任一点处的切线，总在曲线之下以上三种定义中， 定义 3 要求( )yf x在( , )a b内是可导的，定义 2 要求( )f x在( , )a b上是连续的而定义1 对函数( )yf x则没有明显地要求实际上可以证明在定义1 中，函数( )yfx在( , )a b上是连续的而定义1 和定义 2 两个定义是否要求函数( )yf x是可导的，则没有提出如果加上可导的条件，则可证明三种定义是等价的凸函数三种定义的等价性的讨论定义 1定义 2证明 定义 1定义 3，取

12、12， 由定义 1 推得定义 2定义 2定义 1首先，论证 fx 对于任意的12,x xa b 及有理数0,1 ，不等式121211fxxfxfx，成立事实上，对于此有理数总可以表示为有穷二进位小数，即12121122220.2nnnnnnaaaaa aaLL，其中0ia或 1，1,2,1 ;1ninaL由于 1也是有理数所以也可以表示为有穷二进位小数，即121211 222210.2nnnnnnbbbbbbbLL，由于11，有0ib或 1，1,2,1 ;1ninbL，于是12121,2,1iiiif a xbxa fxb fxinL所以121fxx12121211211222222222nn

13、nnnnnnnnaaaabbbbfxxLL精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 22221112121122112222nnnnnnaabbf a xb xfxxLL232323123111121211222222()222nnnnnnnnnnaaaabbbba xb xxxfLL22221112121122112222nnnnnnaabba fxb fxfxxLL33111221221222211122122111221121221

14、111*222222111222122nnnnnnnnnnnnaba fxb fxa fxb fxfxxa fxb fxa fxb fxafxbfxa xb xfLLLL111221221112211211122212nnnnnna fxb fxa fxb fxafxbfxa fxb fxL12121211211212222222221nnnnnnnnnnaaaabbbbfxfxfxfxLL下面再论证 fx 对为无理数时定义1 也成立事实上，对任意无理数0,1 ，存在有理数列0,1 ,nnn，所以121211nnxxxxn，由于 fx 在,a b 内连续，所以12121212121lim1li

15、m1lim11nnnnnnfxxfxxfxxfxfxfxfx综上即知，定义 1 与定义 2 等价精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 定义 1定义 3证明定义1 定义3：对,a b 内任意的0 x及x，若0 xx，则取0h，使00 xxhx于是，可以得到0000fxhf xfxfxhxx，上 式 中 令0h， 由 于fx可 微 ， 所 以 有000fxfxfxxx， 即000fxfxfxxx若0 xx，则取0h，使0 xxhx，同理可

16、证定义 3定义 1：对于区间,a b 内的任意12,x x（不妨设12xx）以及0,1 ，令12xxx，则有1122211,xxxxxxxx ，由泰勒公式，得111fxfxfxx 及222fxfxfxx ，其中1122xxx，于是12122121111fxfxfxxxxff再进一步由21ff，所以121211fxfxfxx即121211fxxfxfx，最后，由等价的传递性即知定义2 与定义 3 也是等价的判定定理与 Jesen不等式判定定理2设f为区间 I 上的二阶可导函数，则在I上f为凸函数的充要条件是( )0fx， xI 用定义直接来判断一个函数是不是凸函数，往往是很困难的但用该判定定理来

17、判断一个光滑函数是否凸，则是相当简便的在实际应用中常常先用导数来肯定函数的凸性，再反过来引出它必定满足凸性不等式在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙证明不等式就是凸函数的一个应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数定理(Jensen 不等 式 )3设函数:( , ).fa bRf在( , )a b上处处 二次可微，且( )0fx(对任意( , )xa b，则( )f x为( , )a b上的凸函数，即对任意mN，( , )kxa b及精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师

18、归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 10,1mkkk成立如下不等式11()()mmkkkkkkfxf x，（1）该不等式称为 Jensen不等式，该性质是凸函数的一个重要性质，也是定义的一般情况可以说，凸函数在不等式证明中的应用很大程度上是由Jensen不等式来体现的，因为每个凸函数都有一个Jensen不等式，因而它在一些不等式证明中有着广泛的应用利用它可以推出常用的一些重要公式，为证明不等式开辟了一条新路注： 由定理，经简单计算知下列函数在其定义域上都是凸函数，从而( )(1,2,3)ifx i都满足不等式（ 1） （

19、a）11( )0,0)fxxaax（， （b）21( )(0)fxxccx， （c）3( )(0)xfxxccx凸函数及其性质在解题中有着十分广泛的应用，下面试举数例述之3性质利用函数的凸性来证明不等式，是一种重要的方法，通常需要构造适当的凸函数，再运用函数的凸性的定义及几个等价论断，可将一些初等不等式，积分不等式转化为研究函数的性态，从而使不等式简化进而得到证明函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态，把握区间上整体性态，不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象，而且有助于对函数的定性分析凸函数是一类重要的函数凸函数在不等式的研究中尤为重要，而不等式最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质

20、就显得十分必要了性质 14设函数 fxx、g在区间 I 为凸函数，则fxx+g在区间 I 也为凸函数证 明 ：12,0,1x xI因 函 数 fxx、g在 区 间 I 为 凸 函 数 ， 从 而121211fxxfxfx，且121211gxxg xg x于是有12121122111fxxgxxfxg xfxg x因此 fx +g x 在区间 I 为凸函数性质 2 设函数 fxx、g在区间I为凸函数，则 max,fxg x在区间I为凸函精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 -

21、 - - - - - - - - - 数证明12,0,1x xI，因函数 fxx、g在区间 I 为凸函数从而有121211fxxfxfx，且121211gxxg xg x令max,F xfxg x，则1212121max1,1Fxxfxxgxx1212max1,1fxfxg xg x112212max,1max,1fxg xfxg xF xF x因此，max,F xfxg x在区间 I 为凸函数性质 35设函数 fxx、g在区间,a b 为递增的非负凸函数，则fxxg在区间,a b 为凸函数证明12,x xa b ， 设12xx， 因 fxx、g为非负凸函数，由定理 3 知,xa b ，fxx

22、、g在点x连续，且12120()()22fxfxxxf，12120()()22g xg xxxg因此 fxxg在区间,a b 连续，因 fxx、g递增，从而2121112212210fxfxg xg xfxg xfxg xfxg xfxg x且21211212() ()2222fxfxg xg xxxxxfg11221221221142fxg xfxg xfxg xfxg xfxg xfxg x由定义知 fxxg在区间,a b 为凸函数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页

23、- - - - - - - - - - 当然凸函数的性质还远不止施工述几条，这里就不一一列举4 凸函数在不等式证明中的应用41 利用凸函数定义证明不等式例 1 求证：对任意实数,a b，有212a babeee证明 设xfxe ， 则0,fxx， 故xfxe 为,上的凸函数从而对121,2xa xb，由定义有12121111(1)(1)()2222fxxfxfx，即212a babeee例 2 设01,01xa，则有1111aaxxx证明 设111aafxxx01x，那么111111aaaafxaxxxax1111211111111 1aaaaaaaafxaaxxaaxxaaxxa axx11

24、122111111aaaaaaaxxx xxxxx1122111111aaaaaaxxaaxx，于是01,01xa时，0fx由严格凸函数的定义，其中12,1,0 x xx得110110fxfxxx fxfgggg，即1111aaxxx例 36若 fx 为,a b 内的凸函数，( , ),1,2,ixa b inL，求证111()niniiixffxnn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 证明 对12,2nx，不等式是显然的，设对1

25、n不等式成立，则因为12121111nnnxxxxxxnxnnnnLL，这里1nn，121,1nnxxxa bxa bnL，由定义有1111111()()1nniiniiniixxnfffxfxnnnnn，例 4 若0,i，1,2,inL则1212sinsinsinsinnnnnLL证明 令ln(sin)iif，0,i，1,2,inL 由于2sec0iif则 fx为 0,上的严格凸函数，所以由例3 的不等式有1111ln(sin)ln(sin)nniiiinn，即12121ln(sin)ln(sinsinsin)nnnnLL，由1e得1212sinsinsinsinnnnnLL，上式等号仅在1

26、2nL成立利用凸函数性质证明不等式例 5 证明不等式：12221212212()nnnnxxxxxxx xxnnLLL，其中10,1,2,xinL证明考虑对数函数ln0fxx x，因为210,fxx故函数lnfxx 是上凸函数，由上凸函数的性质，即得1212121lnlnlnlnlnnnnnxxxxxxx xxnnLLL，由对数性质，即证明了1212nnnxxxx xxnLL（2）又考虑函数20g xxx，所以20gx故2g xx 也是上凸函数， 由上凸函数的性质，得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

27、- -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 22221212()nnxxxxxxnnLL，即22221212()nnxxxxxxnnLL，因此122212122()nnxxxxxxnnLL，（3）综合（ 2） ， （3）整个命题证明结束例 6 设12nL， ，均为正数，且121nL求证：22221212111(1)()()()nnnnL证明考 虑 函 数2,fxx因 为20fx，所 以2fxx 是 下凸 函数 ，令1111,xaa1,nnnxaaL，由下凸函数的性质，则有2221212111()()()nnaaaaaaL12212111()nnaaaaaannL（

28、4）2121111(1)nnaaaL，由柯西不等式：22222111()()()nnniiiiiiiaba b得1212111111()() 1nnaaaaaaLLg21212111()nnaaanaaaLL，于是有212111()nnaaaL，并代入（ 4）式即得22221212111(1)()()()nnnnL，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 证毕例 77在ABC中，求证3 3sinsinsin2ABC证明 考虑函数sin

29、0yxx， 因为sin00yxx， 所以sinyx在0,内是上凸函数，由上凸函数的性质有sinsinsinsin33ABCABC，由于 ABC故3 3sinsinsin2ABC例 88设,iia bR，1,2,inL，11nniiiiab，则21112nniiiiiiaaab证明 记1niisa则11niias，取1,01fxxx，易知( )0fx，有判定定理知fx 为凸函数，取iiibxa，由于11nniiiiabs故由性质得21111111211nniinniiiiiiiiiiaassssababsxxssg例 9 设,0iia b，1,2,inL，有1111nnnqpqiiiiiiiab

30、ab，其中0,0pq，111pq证 明令,1,0pfxxpx， 因 为2(1)0pfxp px， 由 判 定 定 理 知,1,0pfxxpx， 在0,上 是 严 格 凸 函 数 ， 由Jensen 不 等 式 得 到11()nnppiiiiiixx，今设12,nu uuL为非负实数且10niiu，在上述表达式中以1niiiuu代替i，得到1111()()()nnnpppiiiiiiiiu xu xu由题设111pq知1qpp令1,qqiiiiiubxa b，不妨设10niib，代入上式便得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - -

31、 - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 不等式1111nnnqpqiiiiiiiabab特别地，取2pq时得就到柯西不等式22111nnniiiiiiiabab 综上所述，在不等式的证明中，巧妙地应用凸函数的定义及性质，就可使一些较复杂的不等式迎刃而解结束语通过研究凸函数的几种定义，分析它们之间的关系，证明了给出三种典型定义之间的等价性给出了凸函数的一个判定定理以及Jesen不等式然后讨论了凸函数的几条常用性质，接着通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用凸函数的应用领域非常广泛，主要是在不等式的证明中，运用它解题显得巧妙，简练，通过对上

32、述问题的证明，我们认识到利用凸函数的定义、等价定义、性质及判定定理证明不等式，关键是寻找合适的函数，若不能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等式的目的至于凸函数在其他领域的应用则未涉及参考文献1 花树忠凸函数的三种典型定义及其间的等价关系J邯郸职业技术学院学报2002(1)：52-542 李碧荣及其性质在不等式证明中的应用J广西师范学院学报 2004，21(2) 3 林银河凸函数的等价描述与Jensen 不等式J丽水师范专科学校学报2001，23(2) 4 杜厚雄凸函数的性质及其应用J现代企业教育 2007:173-174 5 白景华凸函数的性质、等价定义及应用J开封大学学

33、报 2003，17(2):59-646 曹良干凸函数的定义及应用J阜阳师范学院学报 1994(2) 7 燕建梁，张喜善凸函数的性质及其在不等式证明中的应用J太原教育学院学报 2002，20(4)：63-658 李荣春利用凸函数证明不等式J宁德师专学报 1998，10(1) 致谢经过半年的忙碌和工作， 本次毕业论文已经接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，

34、如果没有导师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个论文是难以想象的在这里首先要感谢我的导师吴开腾老师吴老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文的每个阶段，从查阅资料到论文开题，中期检查，后期修稿定稿等整个过程中都给予了我悉心的指导我的论文较为复杂烦琐， 但是， 吴老师仍然细心地纠正论文中的错误 除了敬佩吴老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我打下数学与应用数学专业知识的基础；同时还要感谢所有的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓励此次毕业论文才会顺利完成最后感谢数学与信息科学学院和我的母校内江师范学院大学四年来对我的大力栽培谨以此文献给所有关心和帮助过我的老师、亲人、同学和朋友们我唯有在以后不断地努力进取， 以学业和工作的继续求索来感谢培育我的母校和所有关心我的师长亲朋！希望我们都幸福快乐！谢意难尽，前途漫长，除了热血、辛劳、泪水和汗水之外，我别无奉献论文落笔，如释重负，但“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -