2022年函数概念与基本初等函数典型例题解析.pdf

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1、第二章函数概念与基本初等函数2.1 映射、函数、反函数 7/16/2012二、疑难知识导析1. 对映射概念的认识(1)与是不同的，即与上有序的 . 或者说：映射是有方向的，(2) 输出值的集合是集合B的子集 . 即集合 B 中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值. 集合 A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值 . 或者说：允许集合B 中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.(3) 集合 A，B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合. 2. 对函数概念的认识 (2) 注意定义中的集合 A ，B都是非空的数集,而不能是其他集合；（3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.3.

2、对反函数概念的认识（1）函数 y=( )f x只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得 .（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于y=x 对称 .三、经典例题导讲 例 1 设 M a，b，c ，N 2,0,2 , 求（ 1）从 M到 N的映射种数；（2）从 M到 N 的映射满足f(a)f(b) f(c),试确定这样的映射f的种数 . 例 2 已知函数( )f x的定义域为 0 ，1 ，求函数(1)f x的定义域 例 3 已知：*,xN5(6)( )(2)

3、(6)xxf xf xx，求(3)f. 例 4 已知( )f x的反函数是1( )fx，如果( )f x与1( )fx的图像有交点，那么交点必在直线yx上，判断此命题是否正确？1161()log16xyyx与的图像的交点中，点1 11 1(,),2 44 2（，）不在直线yx上，由此可以 说明 “两互为反函数图像的交点必在直线yx上”是不正确的 . 例 5 求函数2( )46yf xxx，1,5)x的值域 . 例 6 已知( )34f xx，求函数1(1)fx的解析式 . 例 7 根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知( )f x是二次函数，若(0)0,(1)( )1ff xf xx，求(

4、)f x.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - （2）已知(1)2fxxx，求( )fx（3）若( )fx满足1( )2 ( ),f xfaxx求( )f x 例 9 设( )f x是 R上的函数，且满足(0)1,f并且对任意的实数, x y都有()( )(21)f xyf xyxy，求( )f x的表达式 .四、典型习题导练1. 已知函数 f(x) ，xF，那么集合 (x ，y)|y=f(x)，xF(x ，y)|x=1 中所含元素的

5、个数是（）A.0 B.1 C.0或 1 D.1或 2 2. 对函数baxxxf23)(作代换x=g(t) ，则总不改变f(x) 值域的代换是 ( ) A.ttg21log)(B.ttg)21()(C.g(t)=(t1)2D.g(t)=cost 3. 方程f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程f(2x,y)=0的曲线是 ( ) 4. 函数 f(x)i119| xn| 的最小值为A190 B.171 C.90 D.45 5. 若函数f(x)=34xmx(x43) 在定义域内恒有ff(x)=x, 则m等于 ( ) A.3 B.23C.23D.3 6. 已知函数( )f x满足：()( )( )f

6、abf af b，(1)2f，则2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)(1)(3)(5)(7)ffffffffffff . A B C D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 2.2 函数的性质三、经典例题导讲 例 1 判断函数1( )3xy的单调性 . 例 2 判断函数1( )(1)1xf xxx的奇偶性 . 定义域 例 3 判断22( )log (1)f xxx的奇偶性 . 例 4 函数 y=245xx的单调增

7、区间是 _. 例 5 已知奇函数f(x) 是定义在 ( 3，3) 上的减函数，且满足不等式f(x3)+f(x23)0, 求x的取值范围 . A=x|2x6, 例 7 若 f(x)= 21xax在区间（ 2，）上是增函数，求a 的取值范围a21 例 8 已知函数f(x)在( 1，1)上有定义，f(21)= 1, 当且仅当 0 x1 时f(x)0, 且a2a+1=(a21)2+430, 1+2x+4xa0, a)2141(xx, 当x( , 1时, y=x41与y=x21都是减函数，y=)2141(xx在( , 1上是增函数，)2141(xxmax=43, a43, 故a的取值范围是 ( 43,

8、+ ). 点评： 发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现. 本题主客换位后，利用新建函数y=)2141(xx的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a的取值范围 . 此法也叫主元法 . 四、典型习题导练1. 函数bxaxf)(的图像如图，其中a、b 为常数，则下列结论正确的是（）A.0, 1 baB.0, 1 baC.0, 10baD.0, 10ba精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -

9、第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 2、已知 2lg(x 2y)=lgx+lgy,则yx的值为（） A.1 B.4 C.1 或 4 D.4 或 8 3、方程2) 1(log2xxa (0a1) 的解的个数为（） A.0 B.1 C.2 D.3 4、函数 f(x) 与 g(x)=(21)x的图像关于直线y=x 对称 , 则 f(4 x2) 的单调递增区间是( ） A.,0B.0,C.2, 0D.0 ,25、图中曲线是幂函数yxn在第一象限的图像，已知n 可取 2，12四个值 , 则相应于曲线c1、c2、c3、c4 的 n 依次为 ( ) A. 2，12，12，2 B

10、2，12，12， 2 C. 12， 2,2 ，12 D. 2，12， 2, 126. 求函数 y = log 2 (x25x+6) 的定义域、值域、单调区间. 7. 若 x 满足03log14)(log24221xx , 求 f(x)=2log2log22xx最大值和最小值. 8. 已知定义在R上的函数( )2,2xxaf xa为常数（1）如果( )f x()fx，求a的值；（2）当( )fx满足（ 1）时，用单调性定义讨论( )f x的单调性 . 2.4 函数与方程一、知识导学1. 函数的零点与方程的根的关系：一般地，对于函数( )yf x（xD）我们称方程( )0f x的实数根x也叫做函数

11、的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值 . 求综合方程f(x)=g(x) 的根或根的个数就是求函数( )( )yf xg x的零点 . 2. 函数的图像与方程的根的关系：一般地， 函数( )yf x（xD）的图像与x轴交点的横坐标就是( )0fx的根 .综合方程f(x)=g(x) 的根，就是求函数yf(x)与y=g(x) 的图像的交点或交点个数，或求方程( )( )yf xg x的图像与x轴交点的横坐标. 3. 判断一个函数是否有零点的方法：如果函数( )yf x在区间 a,b上图像是连续不断的曲线，并且有( )( )0f af b，那么，函数( )yf x在区间（ a,b ）上至少

12、有一个零点， 即至少存在一个数( , )ca b使得( )0f c，这个 c 也就是方程( )0f x的一个根 . 对于我们学习的简单函数，可以借助精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - ( )yf x图像判断解的个数，或者把( )f x写成( )( )g xh x，然后借助( )yg x、( )yh x的图像的交点去判断函数( )f x的零点情况 . 4. 二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系：二次函数2yaxbxc的零点，

13、就是二次方程20axbxc的根，也是二次函数2yaxbxc的图像与x 轴交点的横坐标 . 5. 二分法：对于区间 a,b上的连续不断，且( )( )0f af b的函数( )yf x，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 三、经典例题导讲 例 1 已知函数2( )3f xxaxa若 2,2x时，( )f x0 恒成立，求a的取值范围 . 综上，得 7a2 例 2 已知210mxx有且只有一根在区间（0,1 ）内，求m的取值范围 . 综上所得，m 2 四、典型习题导练1. 方程023xx的实根的个数是（）A. 0 B. 1

14、C. 2 D. 3. 2. 已知抛物线2( )27yf xxmxm与x轴的两个交点在 （1,0 ）两旁， 则关于x的方程221(1)504xmxm的根的情况是（）. 有两个正数根B.有两个负数根C.有一个正数根和一个负数根D.无实数根3. 若关于x的方程2210axx在（ 0,1 ）内恰有一解，则a的取值范围为（）A. a 1 B. a1 C. 1a1 D.0a1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 4. 已知函数dcxbxaxxf

15、23)(的图像如图所示，则b 的取值范围是（）A.(- ,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,+) 5. 已知函数y)(xf对一切实数都有)2()2(xfxf成立， 且方程)(xf=0 恰有 6个不同的实根，则这6 个根的和是 . 6. 已知在二次函数的解析式2( )f xaxbxc中，(1)f 3，(0)f 8，且它的两个零点间的距离等于2，求这个二次函数的解析式 . 2.5 函数的综合运用三、经典例题导讲 例 1 不等式).23(log)423(log2)2(2)2(22xxxxxx 例 5 定义在R上的函数fx满足：对任意实数,m n，总有f mnf mf n，且当0 x时，

16、01fx. （1）试求0f的值；（2）判断fx的单调性并证明你的结论；解： （1）在f mnf mf n中，令1,0mn.得：110fff. 因为10f，所以，01f. （2）要判断fx的单调性，可任取12,x xR，且设12xx. 在已知条件f mnf mf n中，若取21,mnx mx，则已知条件可化为：2121fxfxfxx.由于210 xx，所以2110fxx. 为比较21fxfx、的大小，只需考虑1fx的正负即可 . 在f mnf mf n中，令mx，nx，则得1fxfx. 0 x时，01fx， 当0 x时，110fxfx. 又01f，所以，综上，可知，对于任意1xR，均有10fx.

17、 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 2112110fxfxfxfxx. 函数fx在 R上单调递减 . 例 6 设a为实数，函数1|)(2axxxf，Rx（1）讨论)(xf的奇偶性；（2）求)(xf的最小值 . 解： （1）当0a时，函数)(1|)()(2xfxxxf此时，)(xf为偶函数当0a时，1)(2aaf，1|2)(2aaaf，)()(afaf，)()(afaf此时)(xf既不是奇函数，也不是偶函数（2） （i ）当ax时，

18、43)21(1)(22axaxxxf当21a，则函数)(xf在,(a上单调递减，从而函数)(xf在,(a上的最小值为1)(2aaf. 若21a，则函数)(xf在,(a上的最小值为af43)21(，且)()21(aff. （ii ）当ax时，函数43)21(1)(22axaxxxf若21a，则函数)(xf在,(a上的最小值为af43)21(，且)()21(aff若21a，则函数)(xf在),a上单调递增，从而函数)(xf在),a上的最小值为1)(2aaf. 综上，当21a时，函数)(xf的最小值为a43当2121a时，函数)(xf的最小值为12a当21a时，函数)(xf的最小值为a43. 四、典

19、型习题导练1. 对函数baxxxf23)(作代换x=g(t) ，则总不改变f(x) 值域的代换是 ( ) A.ttg21log)(B.ttg)21()(C.g(t)=(t1)2D.g(t)=cost 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 2. 用铁管做一个形状为直角三角形的铁框架，要使直角三角形面积为1 平方米，有下列四种长度的铁管，最合理（够用，浪费又最少）的是（）A.4.1 米 B.4.8米 C.5米 D.5.2米3. 函数|1|lnxeyx的图像大致是（）4. 设x1、x2为方程 4x24mx+m+2=0的两个实根，当m=_时，x12+x22有最小值 _. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -