2022年函数的概念教学设计3.pdf

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1、函数的概念教学设计（第一课时）?教学重点： 函数的概念，函数的三要素. ?教学难点： 函数概念及符号y=f( x) 的理解 .?教学方法 : 诱思教学法?教学用具： 多媒体?教学过程：【教学过程】设计环节设计意图师生活动一、创设问题情境，引出课题。以实际问题为背景， 以学生熟悉的情境入手激活学生的原有知识， 形成学生的 “再创造”欲望，让学生在熟悉的环境中发现新知识， 使新知识和原知识形成联系， 同时也体现了数学的应用价值。 通过问题 2 这两个用已有概念不太容易回答的问题， 引发学生的认知冲突，有着承上启下的作用。 既是对初中已学的函数概念的进一步深入， 又是为下一步用集合语言来刻画函数的本

2、质做好伏笔。教师提出问题1：我们在初中学习过函数的概念，它是如何定义的呢？在初中已经学过哪些函数？（在学生回答的基础上出示投影）我们已经学习了一些具体的函数，那么为什么还要学习函数呢？先请同学们思考下面的两个问题：问题 2：由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数？函数y=x与函数xxy2表示同一个函数吗？学生思考、讨论后，教师点拨：仅用上述函数概念很难回答这些问题，我们需要从新的角度来认识函数概念。这就是今天我们要学习的课题：函数的概念（板书）二、借助信息以实际问题为载体， 以信息技术的作图功能为辅助。在三个实例的教学中， 重点在于师： （实例 1）演示动画，用几何画板动态地显示炮弹高度

3、h 关于炮弹发射时间t 的函数。启发学生观察、思考、讨论，尝试用集合与对应的语言描知识目标通过丰富的实例， 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素及函数符号的深刻含义；会求一些简单函数的定义域及值域。能力目标培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽象、归纳概括的逻辑思维能力；培养学生联系、对应、转化的辩证思想；强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想。情感目标渗透数学思想和文化，激发学生观察、分析、探求的兴趣和热情；强化学生参与意识，培养学生严谨的学习态度，获得积极的情感体验；体会在探究过程中由特殊到一般、从具体

4、到抽象、运动变化、相互联系、相互制约、相互转化的辩证唯物主义观点；感受数学的简洁美、对称美、数与形的和谐统一美；树立“数学源于实践，又服务于实践”的数学应用意识。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 技术，讨论归纳。引导学生体会函数概念中的对应关系。通过实例1，体会用解析式刻画变量之间的对应关系，关注t 和 h 的范围；通过实例2 体会用图象刻画变量之间的对应关系，关注t和 S 的范围；通过实例3 体会用表格刻画变量之间的对应关系。为了

5、更好地使学生尝试用集合与对应的语言进行描述， 可以利用信息技术设置教学情境。通过学生的观察、 思考、讨论来归纳结论， 体现了学生自主探究的学习方式。让他们通过实践来进一步体验到在集合对应观下的函数内涵， 也为学生应用信息技术解决数学问题提供了一种新的途径和方法。述变量之间的依赖关系：在t 的变化范围内，任给一个 t，按照给定的解析式，都有唯一的一个高度h与之相对应。生：用计算器计算，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。师： （实例 2）引导学生看图，并启发：在t 的变化范围内，任给一个t，按照给定的图象，都有唯一的一个臭氧空洞面积S 与之相对应。生：动手测量，然后用集合与对应的语言描

6、述变量之间的依赖关系。师生：（实例 3）共同读表，然后用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系。问题 3：分析、 归纳以上三个实例，它们有什么共同特点？生：分组讨论三个实例的共同特点，然后归纳出函数定义，并在全班交流。师生：由学生概括，教师补充，引导学生归纳出三个实例中变量之间的关系均可描述为：对于数集 A 中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集 B 中都有唯一确定的y 与它对应， 记作 f:A B 三、从特殊到一般，引出函数概念。从特殊到一般， 揭示数学通常的发现过程， 给学生“数学创造”的体验。这种引出概念的方式自然而又易于学生接受和形成概念。注重双语，规范数学概念的理解。在涉及的每一个

7、数学概念其后注明英语， 有利于教师实施双语教学， 也有利于教师和学生阅读外文数学材料，这也是体现新课标实验教材的创新之处。函数y=f(x) 是学生学习的难点，这是一个抽象的数学符号。教学时首先要强调符号“y=f(x) ”为“y 是 x 的函数”这句话的数学表示， 它仅仅是数学符号，而不是表示“y 等于 f 与 x 的乘积”。在有些问题中，对应关系 f 可用一个解析式表示，但在不少问题中，对应关系f 不便用或不可能用解析式表示， 而用其他方式（如图象、 列表） 来表示。 所问题4：函数能否看做是两个集合之间的一种对应呢？如果能，怎样给函数重新下一个定义呢？（在学生回答的基础上教师归纳总结）设 A

8、、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合A 中的任意一个数x，在数集 B 中都有唯一确定的f(x) 和它对应， 那么就称f:AB 为从集合A 到集合B 的一个函数（function） .记作 y=f(x) xA自变量 x 的取值范围A 叫做函数的定义域 （domain） ；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range） 在函数概念得出后，教师强调指出“y=f(x) ”仅仅是数学符号。为了更好地理解函数符号y=f(x) 的含义，教师提出下一个问题：问题 5：y=f(x) 一定就是函数的解析式吗？师生：函数的解析式、图象、表格都是表示函数的方法

9、。补充练习：下列图象中不能作为函数)(xfy的图象的是（）（A）（B）（C）（D）xyo22xyo22xyo22xyo22精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 以教师应向学生明确指出，y=f(x) 不一定就是解析式，函数的表示方式除了解析式外，还有其它表示方法，如实例 2的图象法，实例3 的列表法。启发并引导学生思考、讨论、交流，教师归纳总结出函数的要点：1函数是一种特殊的对应非空数集到非空数集的对应；2函数的核心是对应法则，通常用记号

10、f 表示函数的对应法则， 在不同的函数中， f 的具体含义不一样。函数记号y=f(x) 表明，对于定义域A 的任意一个x在“对应法则f”的作用下，即在B 中可得唯一的y.当 x 在定义域中取一个确定的a，对应的函数值即为 f(a).集合 B 中并非所有的元素在定义域A 中都有元素和它对应；值域BC；3函数符号y=f(x) 的说明：（1） “y=f(x) ”即为“ y 是 x 的函数”的符号表示；（2）y=f(x) 不一定能用解析式表示；（3）f(x) 与 f(a)是不同的，通常，f(a)表示函数f(x)当 x=a 时的函数；（4）在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数， 除用符

11、号 f(x) 外， 还常用 g(x)、F(x)、 (x)等符号来表示。4定义域是函数的重要组成部分，如f(x)=x(x R)与 g(x)=x(x 0)是不同的两个函数。四、借助熟悉函数平台，加深对函数概念的理解。设置问题 6 这个情境，目的是用函数的定义去解释学过的一次函数、反比例函数、二次函数，使得对函数的描述性定义上升到集合与对应语言刻画的定义。 同时利用信息技术工具画出函数的图象，是让学生进一步体会“数”与“形”结合在理解函数中的作用， 更好地帮助理解上述函数的三个要素，从而加强学生对函数概念的理解， 进一步挖掘函数概念中集合与函数的联系。明确定义域、 值域和对应关系是决定函数的三要素，

12、这是一个整体，以此更好地培养学生深层次思考问题的习惯。问题 6：集合 A（A=R ）到集合B（B=R）的对应：f:A B， 使得集合 B 中的元素)0(abaxy与集合 A 中的元素x 对应，如何表示这个函数？定义域和值域各是什么？函数)0(kxky呢？函数)0(02acbxaxy呢？教师演示动画，用几何画板显示这三种函数的动态图象，启发学生观察、分析，并请同学们思考之后填写下表：函数一次函数反比例函数二次函数对应关系定义域值域问题 7：函数的三要素是什么？教师引导学生归纳总结：函数的三要素是定义域、值域及对应法则。在函数的三要素中，当其中的两要素已确定时，则第三个要素也就随之确定了。如当函数

13、的定义域，对应法则已确定，则函数的值域0a0a精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 也就确定了。五、再创情境，引导探究函数概念的新认识。问题8 利用学生思维的空白处设置问题， 能引起学生探究的欲望，从而自然引出以形求数的思想。 接着，通过 “引导” ，给学生解决后续问题的方法，即观察图象的方法。问题 9引导学生对问题2进行反思和总结， 并将之一般化，利用数学语言来表达，培养学生反思问题、 总结归纳的习惯和善于运用数学语言抽象所发现的结论

14、的能力。问题 8：比较函数的近代定义与传统定义的异同点，你对函数有什么新的认识？学生思考、讨论，教师点拨：函数近代定义与传统定义在实质上是一致的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发。问题9：学生在前面学习的基础上，反思对问题2的解答，重新思考问题2，谈谈自己的认识。教师启发、引导学生画图，以形求数。师生：)(1Rxy是函数；xy与xxy2不是同一个函数。六、师生释疑，深入研究。问题 10 以学生已解决的问题出发创设情境， 引起学生的学习兴趣，再次引发学生在构

15、建自身基础上的 “再创造”，并通过独立思考后的讨论，培养学生分析解决问题、 用数学语言交流沟通的能力。设置问题11 这个情境，是因为“区间概念” 这段内容并不难理解，所以可以先让学生自已阅读，然后进行不等式、 区间与数轴表示的互相转化，以此熟悉区间的概念。问题 11 此情境的设置是为学生提供了自主探究的平台，从阅读学习中发现问题、分析问题、解决问题， 既符合了学生的心理特点，又注重了学生的思维过程。问题 10：如何判断两个函数是否相同？引导学生对问题2 进行抽象概括并归纳总结：当两个函数的定义域、对应关系完全一致时，我们就称这两个函数相等。问题 11：研读课本，叙述区间的概念。请同学们在阅读后

16、填写下表：定义名称符号数轴表示闭区间开区间半开半闭区间教师指导学生自学，解决学生提出的问题，并指出说明：（1）区间是集合；（2）区间的左端点必小于右端点；（3）无穷大是一个符号，不是一个数；（4）以“ -”或“ +”为区间的一端时，这一端必须是小括号。|bxax,ba|bxax),(ba),ba|bxax?ab?ab|bxax|axx|axx|bxx|bxxxyo1y22xyoxy22xyoxxy222精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - -

17、- 七、举例应用，深化目标。例题是为了使学生更好地理解函数定义而设置的，既考虑了数学思维的严谨性，也体现了数学知识的应用性。通过例 1，使学生学会求简单函数的定义域， 以此更好地突出重点。例 1表明当对应法则确定后，对于定义域内的一个数，只要将它代入解析式， 就可求出它所对应的函数值， 进一步体会函数记号的含义。例 2 表明判定两个函数是否相同，不仅要看对应关系是否一样，还要看定义域是否相同。通过判断函数的相等使学生认识到函数的整体性，进一步加深学生对函数概念的理解。例 3 的设置补充， 其目的既是第 22 页练习 3 与习题 3的伏笔，也是为了让学生体会到从特殊到一般的思想方法，同时也后面研

18、究函数的性质（奇函数） 作准备。 变式训练的设计以一个问题为背景，一题多用，一题多变，由浅入深，体现梯度，使不同程度的学生都有发展。通过一组精心设计的问题链来引导和激发学生的参与意识、 创新意识， 培养学生探究问题的能力， 从而提升学生的思维品质。 借助三个变式层层深入， 是理论到实践的升华，使概念深化、强化、类化 ！f 的作用与含义印入心底，得到再次认同， 初步掌握与应用能力也就自然形成了。例 1已知函数213)(xxxf（1）求函数)(xf的定义域；（2）求)32(),3(ff的值；（3）当0a时，求)1(),(afaf的值。让学生思考，并提问个别学生。师问：怎样求函数的定义域？追问：)(

19、xf与)(af有何区别与联系？点拨：)(af表示当自变量ax时函数)(xf的值，是一个常量， 而)(xf是自变量x的函数， 它是一个变量，)(af是)(xf的一个特殊值。例 2下列函数中哪个与函数y=x 相等？（1）2)(xy（2）33xy（3）2xy（4）xxy2师问：判断函数相等的依据是什么？变式：若改（2）为33ty呢？思考：你能举出一些函数相等的具体例子吗？例 3已知函数)(2)(Rxxxf（1）画出函数)(xf的图象；（2）求)()(, )(, )(afafafaf的值；（3）你从（ 2）中发现了什么结论？（4）求函数)(xf的值域。教师引导学生解决此题的关键点，并进行变式：变式 1

20、：已知)(2)(Rxxxf 当20 x时，求函数的值域； 当2,1 ,0,1,2x时，求函数的值域。变式 2：已知)(2)(Rxxxf 当函数值域为4,2时，求函数定义域； 当函数值域为2,8,4时，求函数定义域。变式 3： （1）已知)(2)(Rxxxf求)12(,) 1(xfaf的值。变式 3： （2）已知)(1) 1(2Raaaf求函数)(xf. 八、练习交流反馈巩固利用课堂练习巩固所学的知识内容、数学思想和方法，以求达到教学目标。本环节以个别指导为主， 体现面对全体学生的课改理念。课堂练习：课本第 22 页练习 123以学生回答、板演的形式进行，充分发挥师与生、生与生的互动，以教师、学

21、生相互交流来巩固本节课的学习。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 九、学生归纳小结，教师评价。关注学生学习的主动性，培养学生的合作意识， 培养学生表达交流数学的能力。自主小结的形式将课堂还给学生，既是对一节课的简单回顾与梳理，也是对所学内容的再次巩固。以同桌之间一人小结一人倾听的方式，以四人为一小组进行小组讨论，对本节课所学的内容进行自主小结，教师及时进行归纳总结：1函数的近代定义与传统定义的异同点；2集合与函数的联系、区别；3函数的

22、三要素；4数形结合的思想。十、课后作业作业分为三种形式， 体现作业的巩固性和发展性原则。阅读作业中的问题思考是后续课堂的铺垫， 而弹性作业不作统一要求，供学有余力的学生课后研究，它也是新课程标准里研究性学习的一部分。1阅读作业：通读教材，复习巩固，并思考表示函数有哪些方法？从例3(2)中你能发现更一般性的结论吗？2书面作业：课本第28 页习题 1234 53弹性作业： 比较函数的近代定义与传统定义的异同点，你对函数有什么新的认识？请同学们举出几个具体函数例子，用传统定义不好解释，而用近代定义容易理解。教学流程：知识结构：创设问题情境，引出问题借助信息技术，讨论归纳从特殊到一般，引出函数概念再创

23、情境，引导探究函数概念的新认识练习、交流、反馈、巩固学生归纳小结，教师评价课后作业函数的概念借助熟悉函数的平台，加深对函数概念理解师生释疑，深入研究举例应用，深化目标集合与函数的关系函数的三要素近代定义与传统定义对应关系值域定义域精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - “ 函数” 的由来“ 函数 ” 一词最初是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪首先采用的，当时莱布尼茨用“ 函数” 这一词来表示变量x的幂，即 x2，x3， .接下来莱布尼茨又

24、将“ 函数 ” 这一词用来表示曲线上的横坐标、 纵坐标、切线的长度、 垂线的长度等等所有与曲线上的点有关的变量.就这样 “ 函数” 这词逐渐盛行 . 在中国，古时候的人将“ 函” 字与 “ 含” 字通用，都有着“ 包含 ” 的意思，清代数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：“ 凡式中含天，为天之函数.” 中国的古代人还用“ 天、地、人、物” 4个字来表示 4个不同的未知数或变量，显然，在李善兰的这个定义中的含义就是“ 凡是公式中含有变量x， 则该式子叫做x的函数 .” 这样，在中国“ 函数 ” 是指公式里含有变量的意思. 瑞士数学家雅克 柏努意给出了和莱布尼茨相

25、同的函数定义.1718年，雅克 柏努意的弟弟约翰 柏努意给出了函数了如下的函数定义：由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫做这一变数的函数.换句话说，由 x和常量所构成的任一式子都可称之为关于x的函数 . 1775年，欧拉把函数定义为：“ 如果某些变量：以某一种方式依赖于另一些变量.即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数.” 由此可以看到， 由莱布尼兹到欧拉所引入的函数概念，都还是和解析表达式、曲线表达式等概念纠缠在一起 . 首屈一指的法国数学家柯西引入了新的函数定义：“ 在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其它变数的值也可随之

26、而确定时，则将最初的变数称之为 自变数 ，其它各变数则称为 函数 ”.在柯西的定义中，首先出现了“ 自变量 ” 一词 . 1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“ x的函数是这样的一个数，它对于每一个 x都有确定的值，并且随着x一起变化 .函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的” .这个定义指出了对应关系。即条件的必要性，利用这个关系以求出每一个x的对应值 .1837年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是： “ 如果对于 x的每一个值， y总有

27、一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数 .”德国数学家黎曼引入了函数的新定义：“ 对于 x的每一个值， y总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立x，y之间的对应方法如何，均将y称为 x的函数 .”上面函数概念的演变，我们可以知道，函数的定义必须抓住函数的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式. 由此， 就有了我们课本上的函数的定义：一般地， 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于 x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量， y是x的函数 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 欧拉柯西莱布尼兹精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -