含参不等式恒成立问题(共7页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上专题课含参不等式恒成立问题 参数取值范围求解策略知识梳理:“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。(一)、判别式法：若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。【类型1】:一般地，对于二次函数,有(1）对恒成立; (2）对恒成立【类型2】：

2、设（1）当时，上恒成立， 上恒成立（2）当时，上恒成立 上恒成立例1已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。例2一元二次不等式在上恒成立，求实数的取值范围。答案(二)、最值法：将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：(1）恒成立 ( 2）恒成立例3已知，当时，恒成立，求实数的取值范围。答案例4函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。答案:(三)、分离变量法：(参变分离法)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：(1）恒成立(2）恒成立

3、实际上，上题就可利用此法解决。略解：在时恒成立，只要在时恒成立。而易求得二次函数在上的最大值为，所以。 例5已知函数时恒成立，求实数的取值范围。答案:注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。（四）、变换主元法：处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例6、若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：，；令，则时，恒成立，所以只需即，所以x的范围是。练习：对任意，不等式恒成立，求的取值范围。分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题

4、可转化为一次不等式在上恒成立的问题。解：令，则原问题转化为恒成立（）。 当时，可得，不合题意。当时，应有解之得。故的取值范围为。反思：对于一次函数有： （五）、数形结合法：数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1）函数图象恒在函数图象上方；2）函数图象恒在函数图象下上方。例7设 , ,若恒有成立,求实数的取值范围. 巩固练习1、求使不等式恒成立的实数a的范围。（）2、设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。（）3、当x(1,2)时，不等式恒成立，求的取值范围。（1a2）4、若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是 5、对数列和，若对任意正整数，恒有，则称数列是数列的“下界数列”.（1）设数列，请写出一个公比不为1的等比数列，使数列是数列 的“下界数列”；（2）设数列，求证数列是数列的“下界数列”；（3）设数列，构造：，求使对恒成立的的最小值.5.1）等，答案不唯一； （2），当时最小值为9, ，则,因此，时，最大值为6，所以，数列是数列的“下界数列”；（3）， 不等式为， 设，则， 当时，单调递增，时，取得最小值，因此， 的最小值为专心-专注-专业