2022年分式方程的解法及应用导学案+习题.pdf

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1、分式方程的解法及应用（基础）【学习目标】1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程2. 会列出分式方程解简单的应用问题【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知数 . （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数） . 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程. 转化方法是

2、方程两边都乘以最简公分母，去掉分母. 在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生

3、增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的. 根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0 的数，所得方程是原方程的同解方程 . 如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 要点四

4、、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 【典型例题】类型一、判别分式方程1、下列方程中，是分式方程的是（） A3214312xx B12411

5、1xxxxxC21305xx Dxaxab， （a，b为非零常数）【答案】 B；【解析】 A、C两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有 B项中的方程符合分式方程的定义【总结升华】 要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数类型二、解分式方程2、 解分式方程（ 1）10522112xx； （2）225103xxxx【答案与解析】解： （1）10522112xx，将方程两边同乘(21)x，得10( 5)2(21)x解方程，得74x检验：将74x代入21x，得52102x74x是原方程的

6、解（2）225103xxxx，方程两边同乘以(3)(1)x xx，得5(1)(3)0 xx解这个方程，得2x检验：把2x代入最简公分母，得251100原方程的解是2x【总结升华】 将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根举一反三：【变式】解方程：21233xxx【答案】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 解：21233xxx，方程两边都乘3x，得212(3

7、)xx，解这个方程，得3x，检验：当3x时，30 x，3x是增根，原方程无解类型三、分式方程的增根【高清课堂分式方程的解法及应用例 3（1） 】3、m为何值时，关于x的方程223242mxxxx会产生增根？【思路点拨】 若分式方程产生增根，则(2)(2)0 xx， 即2x或2x， 然后把2x代入由分式方程转化得的整式方程求出m的值【答案与解析】解：方程两边同乘(2)(2)xx约去分母，得2(2)3(2)xmxx整理得(1)10mx原方程有增根，(2)(2)0 xx，即2x或2x把2x代入(1)10mx，解得4m把2x代入(1)10mx，解得6m所以当4m或6m时，方程会产生增根【总结升华】 处

8、理这类问题时，通常先将分式方程转化为整式方程，再将求出的增根代入整式方程，即可求解举一反三：【变式】如果方程11322xxx有增根，那么增根是_【答案】2x；提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母20 x或20 x可得2x所以增根是2x类型四、分式方程的应用4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2 棵树，甲班种60 棵树所用的时间与乙班种66 棵树所用的时间相等求甲、乙两班每小时各种多少棵树 ? 【思路点拨】 本题的等量关系为：甲班种 60 棵树所用的时间与乙班种66 棵树所用的时间相等【答案与解析】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -

9、 - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种2x棵树由题意可得60662xx，解这个方程，得20 x经检验20 x是原方程的根且符合题意所以222x( 棵) 答：甲班每小时种20 棵树，乙班每小时种22 棵树【总结升华】 解此题的关键是设出未知数后，用含x的分式表示甲、 乙两班种树所用的时间举一反三：【变式】 两个工程队共同参与一个建筑工程，甲队单独施工1 个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成哪个队的施工速度快? 【答案】解：设

10、乙队单独施工1 个月能完成工程的1x，总工程量为1根据工程的实际进度，得1111362x方程两边同时乘以6x，得236xxx解这个方程得1x检验：当1x时，6x60，所以1x是原分式方程的解由上可知，若乙队单独工作1 个月可以完成全部任务，对比甲队1 个月完成任务的13，可知乙队施工速度快答：乙队施工速度快【巩固练习】一. 选择题1下列关于x的方程中，不是分式方程的是（）A11xxB4132xxC52433xxD6516xx2解分式方程12112xx，可得结果 ( )A.1xB.1xC.3xD.无解3要使54xx的值和xx424的值互为倒数，则x的值为 ( )A.0 B.1 C.21D.1 4

11、已知4321yyxx，若用含x的代数式表示y，则以下结果正确的是( )A.310 xyB.2yxC.310 xyD.72yx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 5若关于x的方程xkx1113有增根，则k的值为 ( )A.3 B.1 C.0 D.1 6完成某项工作，甲独做需a小时，乙独做需b小时，则两人合作完成这项工作的80，所需要的时间是( )A.)(54ba小时B.)11(54ba小时C.)(54baab小时D.baab小时二. 填

12、空题7. 当x_时，分式3x与26x的值互为相反数8仓库贮存水果a吨，原计划每天供应市场m吨，若每天多供应2 吨，则要少供应_天9x_时，两分式44x与13x的值相等10当a_时，关于x的方程4532xaax的根是 111若方程114112xxx有增根，则增根是_12关于x的方程11xa的解是负数，则a的取值范围为_三. 解答题13. 解下列分式方程：（1）11322xxx； （2）257233212xxxxx； （3）2210121xxxx14. 甲、乙两地相距50km，A骑自行车， B 乘汽车，同时从甲城出发去乙城已知汽车的速度是自行车速度的2.5 倍，B中途休息了0.5 小时还比A早到

13、2 小时，求自行车和汽车的速度15. 有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是 2，求这个两位数【答案与解析】一. 选择题1. 【答案】 C；【解析】 C选项中分母不含有未知数，故不是分式方程. 2. 【答案】 D；【解析】1x是原方程的增根. 3. 【答案】 B；【解析】由题意442154xxxx，化简得：2415xx解得1x. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 4. 【答案】 C；【解析

14、】由题意1423xyxy，化简得：310yx，所以选 C. 5. 【答案】 A；【解析】将1x代入31xk，得3k. 6. 【答案】 C；【解析】由题意4114()55ababab，所以选C. 二. 填空题7. 【答案】 18；【解析】3206xx，解得18x. 8. 【答案】222amm；【解析】原计划能供应am天，现在能供应2am天，则少供应222amm天. 9. 【答案】 8；【解析】4341xx，解得8x. 10. 【答案】173；【解析】将1x代入原方程，得85512aa，解得173a. 11. 【答案】1x；【解析】原方程化为：22141xx，解得1x，经检验1x是增根 . 12.

15、 【答案】1a且 a0；【解析】原方程化为110axxa，解得1a.x -1 ，解得 a0. 三. 解答题13. 【解析】解： (1) 方程的两边都乘2x，得113(2)xx解这个整式方程，得x2检验：当x2 时，x20，所以 2 是增根，所以原方程无解(2) 方程两边同乘(2)(1)xx约去分母，得572(2)3(1)xxx整理，得5757xx这个式子为恒等式. 检验：当1x，2x时，(2)(1)0 xx，所以1x和2x是增根因此，原方程的解是1x且2x的任何实数(3) 方程两边同乘(2)(1)(1)xxx，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载

16、 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 得(2)2(1)(1)(2)(1)0 x xxxxx解此方程，得45x检验：把45x代入(2)(1)(1)xxx得4442110555，所以原方程的解是45x14. 【解析】解：设自行车的速度为/xkm h，汽车的速度为2.5/xkm h，由题意，50500.522.5xx，解方程得：125506.25x12x经检验，12x是原方程的根，2.530 x. 所以自行车的速度为12/km h，汽车的速度是30/km h. 答：自行车的速度为12/km h，汽车的速度是30/km h. 15. 【解析】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为1x，则：10(1)281xxx解方程得：3x经检验：3x是原方程的根所以个位上的数字为：1x314所以这个两位数是：310434答：这个两位数是34精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -