实变函数期末试题(共2页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上2006-2007学年第二学期04本实变函数期末试题一、填空:(共10分)1如果 则称是自密集,如果 则称是开集,如果则称是 ,称为的 .2设集合可表示为一列开集之交集:,则称为 . 若集合可表示为一列闭集之并集:,则称为 .3(Fatou引理)设是可测集上一列非负可测函数,则 .4设为上的有限函数,如果对于的一切分划,使成一有界数集,则称为上的 ,并称这个数集的上确界为在上的 ,记为 .二、选择填空:(每题4分,共20分)1下列命题或表达式正确的是 A B C对于任意集合,有或 D2下列命题不正确的是 A若点集是无界集,则 B若点集是有界集,则C可数点集的外测度为零
2、 D康托集的测度为零3下列表达式正确的是 B D4下列命题不正确的是 A开集、闭集都是可测集 B可测集都是Borel集C外测度为零的集是可测集 D型集,型集都是可测集5下列集合基数为(可数集)的是 A康托集 BC设是整数, D区间中的无理数全体三、(20分)叙述并证明鲁津(Lusin)定理的逆定理四、(20分)设,是上有限的可测函数,证明:存在定义在上的一列连续函数,使得于 五、(10分)证明 六、(10分)设是满足Lipschitz条件的函数,且于,则为增函数七、(10分)设是上的有界变差函数,证明也是上的有界变差函数20062007学年第二学期04本实变函数期末试题A类评分标准一、填空题:
3、(共10分)1、,(或) 闭集,闭包2、型集,型集3、 4、有界变差函数,全变差, 二、选择填空:(每小题4分,共20分)1、D 2、A 3、D 4、B 5、C三、(20分)定理:设有限于,若对于任意的,总有闭集,使,且在上连续,则是上的可测函数. (5分)证 对任意的正整数,存在闭集使,且在上连续,从而在上可测 (5分)设,则是可测集,且,于是 在上可测 (5分)由于,只须证在上可测,事实上,对任意的,是可测集在上可测在上可测 (5分)四、(20分)证明 在上可测,由Lusin定理,对任何正整数,存在的可测子集,使得,同时存在定义在上的连续函数,使得当时有 (7分)所以对任意的,成立, (3分)因此 (5分)由F.Riesz定理,存在的子列,使于,记,则于 (5分)五、(10分)证明 设则在上连续,因而可积可积,且 (5分)取,则,而由Lebesgue有界收敛定理 (5分)六、(10分)证 因为满足Lipschitz条件,所以是绝对连续函数,对任意的,由牛顿莱布尼兹公式(1)(2) (5分)(2)(1)是上的单调函数 (5分)七、(10分) 证 是有界变差函数,因而是有界函数,于是, (3分)对的任意分划有 (5分)因此也是上的有界变差函数 (2分)专心-专注-专业
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