2022年列一元一次方程解应用题.pdf

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1、学习好资料欢迎下载列一元一次方程解应用题一、知识梳理：1、列方程解应用题: 学习列方程解应用题是十分重要的，首先从学习内容上讲，中学数学的学习离不开方程，离不开利用列方程来解决应用问题，特别是我们已经明确了这样一种思想：学习数学重在应用因此列方程解应用题中蕴含的思想方法对学习者而言是十分重要的第二， 通过列方程解应用题可以培养和提高分析问题和解决问题的能力这对于个人的发展也是十分重要的列方程过程的实质：找出相等关系一般步骤如下：(1)审题、弄清题意，分清哪些是已知量，哪些是未知量(2)设未知数，选一个适当的未知量设为未知数x(3)列方程(4)解所列的方程(5)根据题意，作出答案例 1、某连队从

2、驻地出发前往某地执行任务行军速度是6 千米 /时， 18 分钟后，驻地接到紧急命令，派遣通讯员小王必须在一刻钟内把命令传达给连队小王骑自行车以14 千米 /时的速度沿同一路线追赶连队问是否能在规定时间内完成任务例 2、汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5 小时已知此船在静水中速度为 18 千米/时，水流速度为2 千米/时求甲、乙两地间的距离2、抓住 “ 不变量 ” 解应用题列方程解应用题的关键是寻找数量间的相等关系，这要从分析题中的基本量入手去寻找一般说来，一个问题中有几种基本量就可以找出几种相等关系但有些应用题中的相等关系不外露，如能抓住问题中的 “ 不变量 ” 即可

3、得到相等关系，从而列出方程，甚至能找出多种解法，拓宽解题思路例 3、某工人在一定时间内加工一批零件，如果每天加工44 个就比规定任务少加工20 个；如果每天加工 50 个，则可超额10 个求规定加工的零件数和计划加工的天数分析： 本题每天加工的零件数是变量，实际做的工作总量也随着变化，但有两个不变量，即计划加工的时间不变，规定任务不变，这就是题目中的等量关系，故可得到两种解法例 4、一艘轮船从甲地顺流而下8 小时到达乙地，原路返回要12 小时，才能到达甲地，已知水流速度是每小时3 千米，求甲、乙两地的距离分析：本题中甲、 乙两地间的距离与轮船本身的速度(静水速度 )是“ 不变量 ” ，分别抓住

4、这两个“ 不变量 ”即得两种不同的等量关系可从两个不同方面设出未知数有关溶液的浓度应用题是初中代数中列方程解应用题的一类基本题解这类应用题，关键的问题是：抓住不变量(如稀释前溶质重量等于稀释后溶质重量)列方程（1）求溶质例 5、现有浓度为20的盐水 300 克和浓度为30的盐水200 克，需配制成浓度为60的盐水，问两种溶液全部混合后，还需加盐多少克？解：设两种溶液全部混合后，还需加盐x 克，注意混合前后溶质总量不变，依题意得方程：20 300+30 200+x=60 (300+200+x) 化简得 2x=900解这个方程得x=450答：两种溶液全部混合后，还需加盐450 克（2）求溶剂例 6

5、、要把浓度为90的酒精溶液500 克，稀释成浓度为75的酒精溶液，需加水多少克精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解：设需加水x 克，因为加水前后溶质数量不变，依题意得方程75(x+500)=90 500化简得 15x=1500解这个方程得x=100答：需加水100 克（3）求溶液例 7、有若干克4的盐水蒸发了一些水分后，变成10的盐水，接着加进4的盐水300 克，混合后变为 6.4的盐水，问:最初有盐水多少克？解：

6、设最初有盐水x 克，注意混合后的含盐量，依题意得方程化简得1.44x=720解这个方程得x=500答：最初有盐水500 克（4）求浓度例 8、甲种硫酸溶液含硫酸的百分数是乙种硫酸溶液的1.5 倍，甲种硫酸溶液5 份与乙种硫酸溶液3份混合成的硫酸溶液含硫酸52.5，求两种硫酸溶液含硫酸的百分数解：设乙种硫酸溶液含硫酸的百分数为x，则甲种硫酸溶液含硫酸的百分数为1.5x，依题意得方程51.5x+3x=52.5 8化简得 105x=42解这个方程得x=0.4=40，则 1.5x=1.5 0.4=0.6=60答：甲种硫酸溶液含硫酸的百分数是60，乙种硫酸溶液含硫酸的百分数是40从以上几例可以看出：抓住

7、不变量关系是解决有关百分比浓度应用题中所涉及的各种量的关键3、用整体思想解应用题数学崇尚简捷初中不少数学应用题若能着眼于整体结构，往往能触及问题的本质，从而获得简捷明快的解法把整体思想解题用于教学不但可以培养整体的意识，而且有利于培养思维的敏捷性例 9、甲、乙两人分别从A、B 两地同时相向出发，在离 B 地 6 千米处相遇后又继续前进，甲到 B 地，乙到 A 地后，都立即返回，又在离A 地 8 千米处相遇，求A、B 两地间的距离分析： 用常规方法解决本题具有一定难度，若把两个运动过程一起处理，便可使问题迎刃而解解：如图，第一次相遇，甲、乙两人合走一个全程，对应乙走6 千米；第二次相遇，甲、乙两

8、人合走了三个全程，故乙共走了18 千米，设 A、B 两地间的距离为x 千米，第二次相遇时乙走了(x+8) 千米，所以 x+8=18，x=10 答： A、B 两地间距离为10 千米例 10、甲、乙两人分别从A、B 两地相向而行，若两人同时出发，则经4 小时相遇；若甲先出发3小时后乙再出发，则经2 小时相遇，问甲、乙单独走完AB 这段路程各需几小时？解：由两人同时出发经4 小时相遇，知两人2 小时走全程的一半；又由甲出发3 小时后乙再出发，经2 小时相遇，知甲3 小时走完全程的一半故甲走完全程需6 小时因甲走 5 小时，乙走 2 小时可走完全程，而甲6 小时走完全程，故甲走1 小时的路程乙需走2

9、小时，故乙走完全程需12 小时答：单独走完全程，甲需6 小时，乙需12 小时注意： 用常规方法解题是必要的，但本题运用整体思想求解不但看透了本质，而且利于培养逻辑思维能力4、合理设元巧解一元一次方程应用题：列方程解应用题在初中代数中既是重点，又是难点怎样列方程解应用题，除了找出题中的相等关系外，关键还在于如何设元 在列方程解应用题时， 大多时候是将要求的量设为未知元(设直接元 ) 而有时设直接元时，不易找出题目中的相等关系，此时则应恰当选择题目中要求的未知量外有关的某个精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

10、 - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载量为未知元 (设间接元 )，求出这些量后，再用这些量求出要求的量还有些时候除了设直接元或间接元，还要设辅助列方程的量为未知元(设辅元 )，它在方程中，不需求出或不能求出，但便于建立相等关系列方程（1）不同的设元有不同的方程应用题一般有多个未知量，因而有多种设元方法，从而有多种不同的方程例 11、从 A 地到 B 地，先下山然后走平路，某人骑自行车以每小时12 千米的速度下山，而以每小时9 千米的速度通过平路，到达 B 地共用 55 分钟回来时以每小时8 千米的速度通过平路而以每小时4千米的速度上山，回到A

11、 地共用 1.5 小时，从 A 地到 B 地有多少千米？（2）直接设元与间接设元一般情况下采用直接设元，即问什么就设什么，但有时根据问题的性质，选设适当的间接未知量，就可能使数量之间的复杂关系变得比较简单，容易列出关于间接未知量的方程来例 12、 从家里骑车到火车站，若每小时行30 千米，则比火车开车时间早到15 分；若每小时行18 千米，则比火车开车时间迟到15 分现要求在火车开车前10 分钟到达火车站，骑车的速度应是多少？例 13、 设有五个数，其中每四个数之和分别是15、22、23、24、 32，求这五个数分析： 这个题目如果设直接元，就应设五个未知元，涉及几个未知数的问题，须列出几个方

12、程，不易解出因此，我们想到设间接元的方法，题中已知五个数中四个数之和，若设五个数总和为x，则这五个数分别是：x-15，x-22，x-23，x-24，x-32，它们的和等于x解： (设间接元 )设这五个数的和是x，则(x-15)+(x-22)+(x-23)+(x-24)+(x-32)=x解方程得 x=29这五个数分别为：29-15=14，29-22= 7，29-23=6，29-24=5，29-32=-3答：这五个数是14，7，6 ，5，-3（3）加设辅助元有些应用题中，常隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接联系，但如果不指明这些量的存在，则难求其解因而常把这些未知的常量设为参数，作为桥梁帮助

13、思考，这就是加设辅助元例 14、一轮船从重庆到武汉需5 昼夜，从武汉到重庆需7 昼夜，试问一木排从重庆漂流到武汉需要多少时间？分析： 该题若设直接元，即木排漂流所需时间，很难找到相等关系来列方程，但由题意知轮船从重庆到武汉为顺水航行，从武汉到重庆为逆水航行，轮船在静水中速度不变，木排漂流速度为水流速度，引入辅助元：重庆到武汉轮船行驶路程为s，水流速度为v，由轮船在静水中速度不变可列方程说明： 在列出一元一次方程解应用题时，因为方程中只有一个未知数，所以不管应用题中有几问，都只能设一个未知数，但有时只设出一个未知数，有关的等量关系很难表达，这样就需要在方程中引入一个或几个辅助元，便于列出方程表达

14、等量关系，这个辅助元在解的过程中，常常被约掉，实际上还是一个未知数例 15、某人上午8 时乘装有竹杆的船逆流而上，10 时半发现一捆竹杆掉入河中，他立即掉头顺流去追，用 30 分追上了竹杆竹杆是何时掉入河中的？例 16、一组割草人要把两块到处长得一样密的草地里的草割完，大的一块比小的一块大一倍，上半天全部人在大草地割草；下半天一半人仍留在大草地上，到晚上把草割完， 另一半人去割小草地的草，到晚上还剩下一小块， 最后由一人再用一天的时间刚好割完如果这组割草人每天割草速度是相等的，问他们共有多少人？（4）整体设元在某些应用题中，直接设元相当困难，就是间接设元，也会感到未知数太多，已知关系太少如果在

15、未知数的某一部分中存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知量，这样就减少了设元的个数，从而易列出方程(组)这种设元方法称之为整体设元例 17、一个五位数的最高位上数字是5，若将这个 5 移至最右边的数位上，这所得的五位数比原数的2/3 多 7001，求原五位数。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载【注】此题中的原五位数后四位组成的数在题中没有变化，故可设其为x若分别设个十百千上的数字，则有四个未知量，仅一个相等关系，

16、无法解题列方程解应用题中的设元问题是一个十分广泛、灵活而有趣的内容，没有一种万能的方法，没有一种必由的途径总之，设元的宗旨要使列方程的思路简捷，列出的方程的解法容易在学习中必须灵活运用切忌生搬硬套二、小结：列方程解应用题的原理是：正确列出的方程能准确地表达出题目中各量之间的关系就是说，方程即表达了题意，这样方程中未知数的值能使方程成立，也就符合题意三、课后练习：1、现有含盐 15的盐水 350 克，稀释成含盐2的盐水，问应加水多少克？2、甲、乙两人从同一村庄步行去县城，甲比乙早出发1 小时，而晚到1 小时，甲每小时走4 千米，乙每小时走6 千米，求从村庄到县城的路程？3、三个数中每两个数之和分

17、别是27、28、29，求这三个数4、李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30 千米，那么比火车开车时间早到15 分钟；若每小时行 18 千米，则比火车开车时间迟到15 分钟现在李伟打算在火车开车前10 分钟赶到火车站，李伟此时骑摩托车的速度应该是多少？5、从两块重量分别为12 千克和 8 千克，并且含铜百分数不同的合金上，分别切下重量相同的一块，并把所切下的一块与另外一种合金所剩下的部分合在一起熔炼，形成两块新的合金，并且这两块新合金的含铜百分数相同，问开始在每种合金上切下的一部分重量是多少千克？6、一船往返于甲、乙两个码头之间，由甲到乙是顺水，乙到甲是逆水，并知船在静水中的速度为8千米 /时，平时逆水行与顺水行一次的时间比为21，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2 倍，这条船往返甲、乙两码头之间一次共用9 小时，求甲、乙两码头间的距离是多少千米？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -