直线、平面垂直的判定与性质知识点与题型归纳(共17页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上直线、平面垂直的判定与性质知识点与题型归纳知识点精讲：1、定义：如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直. 2判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-13）表8-13文字语言图形语言符号语言判断定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直面面线面两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直_a平行与垂直的关系1一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直_平行与垂直的关系2两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直a_b_a3性质定理（文字语言、图形语

2、言、符号语言）（见表8-14）表8-14文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一平面的两条直线平行a_b_a文字语言图形语言符号语言垂直与平行的关系垂直于同一直线的两个平面平行_线垂直于面的性质如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直二、斜线在平面内的射影1.斜线的定义 一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和这个平面的交点叫做斜足.2.射影的定义 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.3.直线与平面所成的角 平面内的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 特别

3、地，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是的角，故直线与平面所成的角的范围是.如图8-122所示，是平面的斜线，为斜足；是平面的垂线，为垂足；是在平面的射影，的大小即为直线与平面所成的角的大小.三、平面与平面垂直1.二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；如图8-123所示，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角，二面角的范围是.平面角是直角的二面角叫做直二面角.2.平面与平面垂直的定义 如果两

4、个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直.（如图8-124所示，若，且，则） 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.3.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直_4.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直_a题型归纳及思路提示题型115 证明空间中直线、平面的垂直关系思路提示线线线面面面（1）证明线线垂直的方法等腰三角形底边上的中线是高；勾股定理

5、逆定理；菱形对角线互相垂直；直径所对的圆周角是直角；向量的数量积为零；线面垂直的性质（）；平行线垂直直线的传递性（）.（2）证明线面垂直的方法线面垂直的定义；线面垂直的判定（）；面面垂直的性质（）；平行线垂直平面的传递性（）；面面垂直的性质（）.（3）证明面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理（）.空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图8-125所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置.性质性质性质性质性质判定判定判定判定判定线面线线面面线面线线面面图 8-125题型讲解题型一、线线垂直 证明线线垂直常用线面垂直的性质（线面垂直线线垂直）.例8.33 设是两条直线，是两个

6、平面，则的一个充分条件是（ ）A， B，C， D， 解析：举例排除法如图8-126所示，以正方体为模型，构造相应的直线和平面，利用排除法，选C. 评注：此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行判断.变式1：在正四棱锥中，是中点，是的重心，则在平面中经过点且与直线垂直的直线有多少条？变式2：已知是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：；.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_.变式3：在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是正方体表面上的一点，若，则线段的长度的取值范围是_.例8.34 如图8-127所示，在直棱柱中，垂足为.求证：

7、.分析：线面垂直的判定及性质进行转化.解析：在直棱柱中，因为底面，所以，又，平面内，所以平面，又平面内，故.评注： 证明线线垂直的方法很多，除了平面几何（等腰三角形底边上的中线是高，勾股定理逆定理，菱形对角线互相垂直等）中的，空间几何中的方法是线垂直于面的定义，三垂线定理及其逆定理，空间向量等，究竟选用哪个，如果是平面垂直考虑前者，如果是异面垂直考虑后者，对于由线面垂直推导线线垂直，如何确定线与面，这要求根据图形结构及条件选择一直线垂直于经过另一直线的平面.变式1：如图8-128所示，四棱锥的底面是正方形，平面，点是上异于点的任意一点，求证：.变式2：如图8-129所示，已知三棱锥中，平面，为

8、上一点，分别为和的中点.求证：.变式3：如图8-130所示，在四面体中，且，点为的中点.求证：在上存在一点，使，并计算的值.例8.35 如图8-131所示,在长方形中，为的中点，为线段上（端点除外）一动点.现将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足.设，则的取值范围是_.分析：对这类动态问题要深入地抓住其中的定性，掌握变中不变的因素是解题的关键.就本题而言，在矩形中，引于交于，在折起的过程中，始终保持与垂直的关系，即在平面内的射影始终保持着与、共线，所以我们可以把空间问题转化为平面问题，即在点的位置确定后，的位置将固定不动，值也不会因折起而变化，因此在平面图形中，利用相似建立的表达式，求其

9、取值范围.解析：如图8-132（a）所示，过作于点，连接，易得，与折前的图形相比，可知折前的图形中，三点共线，且（如图8-132（b）所示）,于是，所以，即，所以，又，故.评注：本题的解法为借助平面解决空间问题的典范，抓住面面垂直、线面垂直等空间问题的核心内容是解答各种立体几何问题的基本思路.立体几何问题的基本思路.变式1 如图8-133所示，正四面体中，棱长为4，是的中点，在线段上运动（不与重合），过点作直线平面，与平面交于点，给出下列命题：平面；点一定在直线上；，其中正确的是（ ）. 例8.36 如图8-134所示，在直三棱柱中，平面侧面.求证：.分析 通过线面垂直，证明线线垂直.解析 如

10、图8-135所示，过点在平面内作于点，连接，则由平面侧面，则平面侧面，得平面，又，所以.因为三棱柱是直三棱柱，故，所以，又，从而，又，故.评注 垂面里面作垂线，有效地将面面垂直转化为线面垂直.变式1 如图8-136所示，在三棱锥中，.求证：.二、线面垂直 垂直关系中线面垂直是重点.线垂面哪里找 线垂面有何用证明线面垂直常用两种方法.方法一：线面垂直的判定.线线垂直线面垂直，符号表示为：，那么.方法二：面面垂直的性质.面面垂直线面垂直，符号表示为：，那么.例8.37 已知直线和两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）.若，则 若,，则 若，则 若，则解析 举反例排除法，如图8-137所示在正方

11、体中，而平面与平面相交，故选项错；，平面，而，故选项错.故选.另解：由“垂直于同一条直线的两个平面平行”知选项正确.变式1 已知直线平面，直线平面，有下面4个命题：；.其中正确的命题是（ ）. 变式2 设和是两条不同的直线，和是两个不同的平面，给出下列4个命题：若，则； 若，则；若，则或；若，则.其中正确命题的序号为 .例 8.38 如图8-138所示，在正方体中，为其对角线.求证：.分析 由线面垂直的判定定理,证明直线与的两条相交线垂直.解析 如图8-139所示,连接.因为在正方体中平面,所以,且,又,所以,因此,同理,又,所以.评注 判断线线垂直与线面垂直,最基本的思路是:“一直线与三角形

12、两边所在的直线垂直，必垂直于第三边所在直线”，这里要抓住线线垂直与线面垂直的互相转化.变式1 如图8-140所示，正四棱柱中，点在上且.求证：.变式2 如图8-141所示，在四棱锥中，为的中点，为的中点，连接并延长交于.求证：.变式3 如图8-142所示，四棱锥中，侧面为等边三角形，.求证：.三、面面垂直主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直面面垂直）.证明时，先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决.例8.39 如图8-143所示，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱，则它的5个面中，互相垂直的面有 对.解析 依题意，底面是边长为的正方形，则，故为

13、直角三角形，所以，由.同理可证：，.故互相垂直的面有5对.变式1 如图8-144所示，在斜三棱柱中，则在底面上的射影必在（ ）. 直线上 直线上 直线上 内部变式2 下列命题中错误的是（ ）如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面如果平面平面，平面平面，那么平面如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面例8.40 如图8-145所示，在三棱柱中，底面，点在棱上.求证：平面平面.分析 根据面面垂直的判定定理，由线面垂直面面垂直.究竟是证哪个面内线垂直于哪个面，这就需要先分析图形结构与题设条件，考虑哪条线与面的垂直关系易证.解析 因为

14、底面，所以.又，所以，故平面.又平面，所以平面平面.变式1 如图8-146所示，在三棱锥中，是的中点，且.求证：平面平面.变式2 如图8-147所示，四边形为正方形，平面，.求证：平面平面.变式3 如图8-148所示，在五棱锥中，平面，三角形是等腰三角形.求证：平面平面.有效训练题1.设是直线，是两个不同的平面，则有（ ）.若，则 若，则若，则 若，则2.设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的（ ）.充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件3.已知表示两个互相垂直的平面，表示一对异面直线，则的一个充分条件是（ ）. 4.设是两条不同的直

15、线，是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ）.若，则 若，则或若，则 若，则5.如图8-149所示，四边形中，.将沿线段折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题中正确的是（ ）.平面平面 平面平面平面平面 平面平面6.在四面体中，分别是，的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）.平面 平面 平面平面 平面平面7.表示直线，表示平面.若，则；若，垂直于内任意一条直线，则；若，则；若不垂直于平面，则不可能垂直于平面内无数条直线；若，则.上述五个命题中，正确命题的序号是 .8.已知垂直于平行四边形所在的平面，若，则平行四边形一定是 .9.已知四棱锥的底面是矩形，底面，点分别是棱的中点

16、，则棱与所在的直线垂直；平面与平面垂直；的面积大于的面积；直线与直线是异面直线.以上结论正确的是 .（写出所有正确结论的编号）10.平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题： ；和相交和相交或重合；和平行和相交或重合.其中不正确的命题个数是 个.11.如图8-150（a）所示，等腰梯形中，是的中点.将沿折起后如图8-150（b）所示，使二面角成直二面角，设是的中点，是棱的中点.（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）判断能否垂直于平面，并说明理由.12.如图8-151所示，在四棱锥中，平面，是的中点，是上的点且，为中边上的高.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积；（3）证明：平面.专心-专注-专业