高等数学函数的最值及应用(共4页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上课题3函数的最大值、最小值在工农业生产和科学技术研究中，常常要考虑在一定条件下，怎样才能使效率最高，成本最低，用料最省等问题。这些问题反映在数学上就是函数的最大值和最小值问题。案例 易拉罐的设计 如果把易拉罐视为圆柱体，你是否注意到可口可乐、雪碧、健力宝等大饮料公司出售的易拉罐的半径与高之比是多少？请你不妨去测量一下，为什么其半径与高之比约为1：2？一、函数的最值若函数在上连续，则函数在上一定有最大值和最小值。它们可能在该区间的内部取得，也可能在该区间的端点处取得在前一种情况下，函数的最大(小)值必然是函数的极大(小)值因此，在闭区间上的连续函数的最大(小)值只能在区

2、间端点或区间内极值点处取得，而极值点又只能在驻点或导数不存在点处，所以，求最大值和最小值的步骤：(1)求驻点和不可导点;(2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大哪个大哪个就是最大值, 哪个小哪个就是最小值。例 求函数在区间上的最大值与最小值。 解 令 ，解得驻点为， ， ， ， 所以 函数的最大值是，最小值为说明 (1)若函数是上的连续单调增加(减少)函数，则必为 在上的最小(大)值,必为在上的最大(小)值 f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y(2)若是在一个区间(有限或无限, 开或闭)内唯一的极值点，则当为极大

3、(小)点时，必为在上的最大(小)值。二、最值应用举例例 铁路上AB段的距离为100,工厂C距离A处20,AC垂直于AB(图)。为了运输需要,要在AB线上选定一点D，向工厂修筑一条公路。已知铁路上每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3:5，为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？解 设AD=（），则DB=（），CD=（），设铁路上每公里货运的运费为3,则公路上每公里货运的运费为5(为正常数)。设货物从供应站B运到工厂C需要的总运费为，则即 =+ 0100 令,即，化简得。因0,故（）,由于,所以当，即点D选在距A点右方处运费最省。例 容器的设计要设计一个容积为500

4、ml的圆柱形容器，其底面半径与高之比为多少时容器所耗材料最少？解：设其底面半径为r，高为h，其表面积为 由，得因为此问题的最小值一定存在，驻点唯一，故此驻点即为最小值点，将代入，得即例 抗弯截面模量的最大值问题例：对于一根截面为矩形的横梁，当截面矩形的高和宽分别为h和b它的抗弯截面模量为现在要求在一根截面圆半径为R的圆木上截出一个抗弯截面模量最大的矩形横梁，试确定其高和宽的尺寸解：根据勾股定理有由此可得目标函数求导得令可得目标函数在定义域内的唯一驻点根据问题的实际意义可知，目标函数(即横梁抗弯截面模量)在定义域内的最大值是一定存在的，而且目标函数在定义域内可导，驻点唯一，所以这唯一的驻点就是目

5、标函数在定义域内的最大值点也就是说，为使抗弯截面模量最大，截面矩形的宽度应取为这时截面矩形对应的高度为练习1 发动机的效率一汽车厂家正在测试新开发的汽车的发动机的效率，发动机的效率P（%）与汽车的速度v (单位：km/h) 之间的关系为问发动机的最大效率是多少？（v=80,p=41%）练习2用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒, 在铁皮的四周各截去面积相等的小正方形，然后把四周折起, 焊成铁盒. 问在四周截去多大的正方形, 才能使所做的铁盒容积最大?（截去正方形边长为8厘米）练习3 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？解 设房租为每月元，租出去的房子有套 每月总收入为 ， （唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最值;练习 练习题5.4 1、（1）（3）2、4三、小结1闭区间上最值的一般求法 2、实际问题求最值的步骤.作业 上册p102 1（2）（3）；3，4专心-专注-专业