2022年教学内容立体几何中的向量方法.pdf

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1、教学内容：立体几何中的向量方法( 一) 教学辅助工具 PPT多媒体课件【高考考点】1通过线线、线面、面面关系考查空间向量的坐标运算2能用向量方法证明直线和平面位置关系的一些定理3利用空间向量求空间距离【复习指导】本讲复习中要掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，会找直线的方向向量和平面的法向量，并通过它们研究线面关系，会用向量法求空间距离【基础梳理】1空间向量的坐标表示及运算(1) 数量积的坐标运算设a(a1，a2，a3) ，b(b1，b2，b3) ，则ab(a1b1，a2b2，a3b3) ；a( a1，a2，a3) ；aba1b1a2b2a3b3. (2) 共线与垂直的坐标表示设a(a1，a2，

2、a3) ，b(b1，b2，b3) ，则ab?ab?a1b1，a2b2，a3b3( R) ，ab?ab0?a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量 ) (3) 模、夹角和距离公式设a(a1，a2，a3) ，b(b1，b2，b3) ，则|a| aaa21a22a23，cosa，bab|a|b|a1b1a2b2a3b3a21a22a23b21b22b23. 设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB|AB| a2a12b2b12c2c12. 2立体几何中的向量方法(1) 直线的方向向量与平面的法向量的确定直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB为直线l

3、的方向向精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 量，与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面 内两不共线向量，n为平面 的法向量，则求法向量的方程组为na0，nb0.(2) 用向量证明空间中的平行关系设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合 ) ?v1v2. 设直线l的方向向量为v，与平面 共面的两个不共线向量v1和v2，则l 或l? ? 存在两个实数x，y

4、，使vxv1yv2. 设直线l的方向向量为v，平面 的法向量为u，则l 或l? ?vu. 设平面 和 的法向量分别为u1，u2，则 ?u1u2. (3) 用向量证明空间中的垂直关系设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2?v1v2?v1v20. 设直线l的方向向量为v，平面 的法向量为u，则l?vu. 设平面 和 的法向量分别为u1和u2，则 ?u1u2?u1u20. (4) 点面距的求法如图，设AB为平面 的一条斜线段，n为平面 的法向量，则B到平面 的距离d|ABn|n|. 【双基自测】1 两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0 ， 1) ，v2( 2,0,2)，

5、则l1与l2的位置关系是 ( ) A平行 B相交 C垂直 D不确定解析v2 2v1，v1v2. 答案A 2已知平面 内有一个点M(1 ，1,2) ，平面 的一个法向量是n (6 ，3,6) ，则下列点P中在平面 内的是 ( )AP(2,3,3) BP( 2,0,1) CP( 4,4,0) DP(3 ， 3,4) 解析n(6 ， 3,6) 是平面 的法向量，nMP，在选项 A中，MP(1,4,1)，nMP0. 答案A 3 (2011唐山月考 ) 已知点A，B，C平面 ， 点P?， 则APAB0， 且APAC0 是APBC0 的( ) A充分不必要条件B必要不充分条件精品资料 - - - 欢迎下载

6、 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - C充要条件D既不充分也不必要条件解析由APAB0APAC0，得AP(ABAC) 0，即APCB0，亦即APBC0，反之，若APBC0，则AP(ACAB) 0?APABAPAC，未必等于0. 答案A 4( 人教 A版教材习题改编) 已知a( 2，3,1) ，b (2,0,4)，c( 4， 6,2) ，则下列结论正确的是( ) Aac，bcBab，acCac，abD以上都不对解析c( 4，6,2) 2( 2， 3,1) 2a，ac

7、，又ab22 ( 3)014 0，ab. 答案C 5 (2012舟山调研 ) 已知AB(2,2,1)，AC(4,5,3)， 则平面ABC的单位法向量是_解析设平面ABC的法向量n(x，y，z) 则ABn0，ACn0，即2x2yz0，4x5y3z0.令z1，得x12，y 1，n12， 1，1 ，平面ABC的单位法向量为n|n|13，23，23. 答案13，23，23考向一利用空间向量证明平行问题【例 1】?如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点求证：MN平面A1BD. 审题视点 直接用线面平行定理不易证明，考虑用向量方法证明精品资料 - - - 欢迎下

8、载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 证明法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M0，1，12，N12，1，1 ，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是MN12，0，12，设平面A1BD的法向量是n(x，y，z) 则nDA10，且nDB0，得xz0，xy0.取x1，得y 1，z 1. n(1 ， 1， 1) 又MNn12，0，12(1， 1，1) 0，MNn，又M

9、N?平面A1BD，MN平面A1BD. 法二MNC1NC1M12C1B112C1C12(D1A1D1D) 12DA1，MNDA1，又MN与DA1不共线，MNDA1，又MN?平面A1BD，A1D? 平面A1BD，MN平面A1BD. 证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题【训练 1】 如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点求证：PB平面EFG. 证明平面PAD平面

10、ABCD且ABCD为正方形，AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)PB(2,0 ， 2) ，FE(0 ，1,0) ，FG(1,1 ， 1) ，设PBsFEtFG，即(2,0 ，2) s(0， 1,0) t(1,1

11、 ，1) ，t2，ts0，t 2，解得st 2. PB2FE2FG，又FE与FG不共线，PB、FE与FG共面PB?平面EFG，PB平面EFG. 考向二利用空间向量证明垂直问题【例 2】?如图所示， 在棱长为 1 的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBFx，其中 0 x1，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz. (1) 求证A1FC1E；(2) 若A1，E，F，C1四点共面求证：A1F12A1C1A1E. 审题视点 本题已建好空间直角坐标系，故可用向量法求解，要注意找准点的坐标证明(1) 由已知条件A1(1,0,1)，F(1 x,1,0) ，C1(0,

12、1,1)，E(1 ，x,0) ，A1F( x,1， 1) ，C1E(1 ，x 1， 1) ，则A1FC1Ex(x1) 10，A1FC1E，即A1FC1E. (2)A1F( x,1， 1)，A1C1( 1,1,0)，A1E(0 ，x，1) ，设A1FA1C1A1E，x ，1x，1 ，解得 12，1. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - A1F12A1C1A1E. 证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，

13、平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明【训练 2】 如图所示， 在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)AECD；(2)PD平面ABE. 证明AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PAABBC1，则P(0,0,1)(1) ABC60，ABC为正三角形C12，32，0，E14，34，12. 设D(0 ，y,0) ，由ACCD，得ACCD0，即y233，则D0，233，0 ，CD 12，36，0 . 又AE14，34，12，AECD121436340，AECD，即AECD. (2) 法一P(0,0,1)

14、，PD 0，233， 1 . 又AEPD3423312( 1) 0，PDAE，即PDAE.AB(1,0,0)，PDAB0，PDAB，又ABAEA，PD平面AEB. 法二AB(1,0,0)，AE14，34，12，设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z) ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 则x0，14x34y12z0，令y2，则z3，n(0,2 ，3) PD 0，233， 1 ，显然PD33n. PDn，PD平面ABE，即PD平面

15、ABE. 考向三利用向量求空间距离【例 3】?在三棱锥SABC中，ABC是边长为4 的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC23，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示，求点B到平面CMN的距离 审题视点 考虑用向量法求距离，距离公式不要记错解取AC的中点O，连接OS、OB. SASC，ABBC，ACSO，ACBO. 平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC，SOBO. 如图所示，建立空间直角坐标系O-xyz，则B(0,23，0) ，C( 2,0,0) ，S(0,0,22)，M(1 ，3，0) ，N(0，3，2) CM(3 ，3，0) ，MN( 1,0 ，2) ，MB(

16、 1，3，0) 设n(x，y，z) 为平面CMN的一个法向量，则CMn3x3y 0，MNnx2z0，取z1，则x2，y6，n(2，6，1)点B到平面CMN的距离d|nMB|n|423. 点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法， 如本题，事实上，作BH平面CMN于H. 由BHBMMH及BHn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - nBM，得|BHn| |nBM| |BH| |n| ，所以 |BH| |nBM|n|

17、，即d|nBM|n|. 【训练 3】 (2010江西 ) 如图，BCD与MCD都是边长为2 的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB23. (1) 求点A到平面MBC的距离；(2) 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值解取CD中点O，连OB，OM，则OBCD，OMCD. 又平面MCD平面BCD，则MO平面BCD. 取O为原点，直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图OBOM3，则各点坐标分别为C(1,0,0)，M(0,0 ，3) ，B(0 ，3，0) ，A(0 ，3，23) (1) 设n(x，y，z) 是平面MBC的法向量，则BC(1，3，0) ，BM

18、(0 ，3，3) ，由nBC得x3y0；由nBM得3y3z0. 取n(3， 1,1) ，BA(0,0,23) ，则d|BAn|n|2352155. (2)CM( 1,0 ，3) ，CA( 1，3，23) 设平面ACM的法向量为n1(x，y，z) ，由n1CM，n1CA得x3z0，x3y23z0，解得x3z，yz，取n1(3，1,1) 又平面BCD的法向量为n2(0,0,1)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 所以 cosn1，n2n

19、1n2|n1|n2|15. 设所求二面角为，则 sin 255. 能力提升 - 立体几何中的探索性问题【问题研究】高考中立体几何部分在对有关的点、线、面位置关系考查的同时，往往也会考查一些探索性问题，主要是对一些点的位置、线段的长度， 空间角的范围和体积的范围的探究， 对条件和结论不完备的开放性问题的探究，这类题目往往难度都比较大，设问的方式一般是“是否存在？存在给出证明，不存在说明理由. ”【解决方案】解决存在与否类的探索性问题一般有两个思路：一是直接去找存在的点、线、面或是一些其他的量；二是首先假设其存在，然后通过推理论证或是计算，如果得出了一个合理的结果，就说明其存在；如果得出了一个矛盾

20、的结果，就说明其不存在. 【示例】 ? ( 本小题满分14 分) (2011 福建 ) 如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD. 四边形ABCD中，ABAD，ABAD4，CD2，CDA45 . (1) 求证：平面PAB平面PAD；(2) 设ABAP. ( ) 若直线PB与平面PCD所成的角为 30，求线段AB的长；( ) 在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等？说明理由 (1) 可先根据线线垂直，证明线面垂直，即可证得面面垂直(2) 由于题中PB与平面PCD所成的角不好作出，因此用向量法求解至于第 2 小问， 可先假设点G存在，然后推理得出矛盾或列出方程无解，

21、从而否定假设 解答示范 (1) 因为PA平面ABCD，AB? 平面ABCD，所以PAAB. 又ABAD，PAADA，所以AB平面PAD. 又AB? 平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(4分) (2) 以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz( 如图 ) 在平面ABCD内，作CEAB交AD于点E，则CEAD. 在 RtCDE中，DECDcos 45 1，CECDsin 45 1. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 设ABAPt

22、，则B(t,0,0) ，P(0,0 ，t) 由ABAD4 得，AD4t，所以E(0,3 t,0) ，C(1,3 t,0) ，D(0,4 t,0) ，CD( 1,1,0)，PD(0,4 t，t) (6分) ( ) 设平面PCD的法向量为n(x，y，z) ，由nCD，nPD，得xy0，tytz0.取xt，得平面PCD的一个法向量n(t，t,4t) 又PB(t,0，t) ，故由直线PB与平面PCD所成的角为30得 cos 60 nPB|n| |PB|，即|2t24t|t2t2t22t212，解得t45或t4( 舍去) ，因为AD4t0，所以AB45.(9分) ( ) 法一假设在线段AD上存在一个点G

23、，使得点G到P，B，C，D的距离都相等，设G(0 ，m,0)( 其中 0m4t) ，则GC(1,3 tm,0)，GD(0,4 tm,0) ，GP (0 ，m，t) 由|GC| |GD| 得 12(3tm)2(4 tm)2，即t3m；(1) 由|GD| |GP| 得(4 tm)2m2t2.(2) 由(1) 、(2) 消去t，化简得m23m40.(3)(12分) 由于方程 (3) 没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、C、D的距离都相等从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等(14分) 法二(1) 同法一(2)( ) 以A为坐标原点，建立空间直

24、角坐标系Axyz( 如图 ) 在平面ABCD内，作CEAB交AD于点E，则CEAD. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 在 RtCDE中，DECDcos 45 1，CECDsin 45 1. 设ABAPt，则B(t,0,0) ，P(0,0 ，t) ，由ABAD4 得AD4t. 所以E(0,3 t,0)，C(1,3 t,0) ，D(0,4 t,0)，CD( 1,1,0) ，PD(0,4 t，t) 设平面PCD的法向量为n(x，y，

25、z) ，由nCD，nPD，得xy0，tytz0.取xt，得平面PCD的一个法向量n(t，t,4t) 又PB(t,0，t) ，故由直线PB与平面PCD所成的角为30得 cos 60nPB|n| |PB|，即|2t24t|t2t2t22t212，解得t45或t4( 舍去，因为AD4t0) ，所以AB45. 法二假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等由GCGD，得GCDGDC45，从而CGD90，即CGAD，所以GDCDcos 45 1. 设AB，则AD4，AGADGD3，(11 分) 在 RtABG中，GBAB2AG2222 322921，这与GBGD矛盾精品资料 -

26、 - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点B，C，D的距离都相等从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等(14 分) 解答示范 函数ycx在 R上单调递减，0c1.(2 分) 即p：0c1. c0 且c1，綈p：c1.(3 分) 又f(x) x22cx1 在12，上为增函数，c12. 即q：0c12. c0 且c1，綈q：c12且c1.(6分) 又“pq”为真，“pq”为假

27、，p真q假或p假q真 (7 分) 当p真，q假时， c|0 c1c|c12且c1 c12c1；(9 分) 当p假，q真时， c|c1c|0 c12?.(11分) 综上所述，实数c的取值范围是c12c1 .(12分) 【小结 】1. 探索性问题只要根据设问把问题确定下来就变为了普通问题，解题的关键是如何把要探索的问题确定下来， 如本题第 (2) 问， 法一是先设出G点， 由条件列出方程无解知G点不存在法二是由已知先确定G点，然后推理得出矛盾，故G点不存在向量是既有大小又有方向的量，而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理的进一步深化和规范，是对向量大小和方向的量化：(1)

28、 以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标；(2) 向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标得到向量坐标后， 可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系，计算空间成角和距离等问题2. 三种方法主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决下列问题：(1) 平行直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行(2) 垂直直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直(3) 点到平面的距离求点到平面距离是向量数量积运算( 求投影 )的具体应用，也是求异面直线之间距离，直线与平面距离和平面与平面距离的基础精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -