高一第1学期昂立机构数学教案讲义-07—命题和充要条件-教师版(共26页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上高一数学暑假班（教师版）教师日期学生课程编号课型课题命题和充要条件教学目标1、理解逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义；2、理解四种命题及其相互关系；3、理解充分条件、必要条件及充要条件的意义；4、理解子集与推出关系。教学重点1、熟练掌握原命题、逆命题、否命题、逆否命题之间的转化；2、熟练运用互为逆否命题的真假值相同这一结论；3、理解充分条件、必要条件、充要条件之间的关系，并会证明。教学安排版块时长1例题解析802巩固训练303师生总结104课后练习301设全集为，则 .【难度】【答案】2已知集合，那么集合 .【难度】【答案】3全集，集合，则 .【难度】【答案】【解

2、析】解法一：，所以；解法二：，所以，所以.4已知集合，若，则实数的取值范围是 .【难度】【答案】【解析】，则，不能忽视的情况，当时，解得；当时，解得，所以实数的取值范围是.5若集合，集合，且，则实数的取值范围 .【难度】【答案】 一、有关命题的概念一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。【例1】判断下列语句是不是命题，若是，判断其真假；若不是，说明理由。（1）12是4的倍数； （2）对角互补的四边形外接于一个圆；（3）我会说英语； （4）今天下雨吗（5）是有理数，则都是有理数。【难度】【答案】（1）是命题，真命题，因为。（2）

3、是命题，真命题，定理。（3）是命题，假命题，当时，为有理数，而不是有理数。（4）不是命题，没有对一事物做出判断。（5）不是命题，因为其不能做出真假判断。【例2】判断下列命题的真假：（1）质数都是奇数；（2）钝角三角形的内角至少有一个是钝角；（3）若，则。（4）若则。【难度】【答案】（1）假命题，例如2是质数但不是奇数。（2） 真命题；（3）真命题；（4）假命题，例如，此时说明：假命题的判断可以使用“举反例法”。 若判断为真命题，则需证明。一般地，如果命题成立可以推出命题也成立，那么就说由可以推出，记作。相反的，如果成立不能推出成立，那么就说由不可以推出，记作。如果，并且，那么就说与等价，记作。

4、复合命题的真假“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示： p非p真假假真“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqp且q真真真真假假假真假假假假“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqP或q真真真真假真假真真假假假【例3】写出由下述各命题构成的“或”，“且”，“非”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假。（1）：9是144的约数，：9是225的约数。（2）：方程的解是，：方程的解是；（3）：实数的平方是正数，：实数的平方是0.【难度】【答案】由简单命题构成复合命题，一定要检验是否符合“真值表”，如果不符，要作语言上的调整。（1）或：9是144或225的约数；且：9是14

5、4与225的公约数，（或写成：9是144的约数，且9是225的约数）； 非：9不是144的约数.真，真，“或”为真，“且”为真，而“非”为假.（2）或：方程的解是,或方程的解是（注意，不能写成“方程的解是”，这与真值表不符）；且：方程的解是，且方程的解是；非：方程的解不都是（注意，在命题中的“是”应理解为“都是”的意思）；假，假，“或”与，“且” 均为假，而“非”为真.（3）或：实数的平方都是正数或实数的平方都是0； 且：实数的平方都是正数且实数的平方都是0； 非：实数的平方不都是正数，（或：存在实数，其平方不是正数）；假，假，“或”与“且” 均为假，而“非”为真.【巩固训练】1、判断下列命题

6、的真假：（1）所有能被6整除的整数都是3的倍数；（2）关于的方程有且只有一个实数根。【难度】【答案】（1）真命题。（2）假命题，当时，方程无实数根。说明：假命题的判断可以使用“举反例法”。 若判断为真命题，则需证明。2、判断命题“若或，则”的真假。【难度】【答案】假命题，例如此时。说明：根据其逆否命题的真假来进行判断原命题的真假，因为它们是等价的。 二、命题的四种形式及其关系一个数学命题用条件，结论表示就是“如果 ，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如果 ，那么”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。【例5】命题“若一个数是负数，则他的平方是正数”的逆命题是 （ ） A.“若一个数是负

7、数，则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数，则它是负数” C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”【难度】【答案】B如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。如果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。【例4】若命题的否命题是，命题的逆命题是，则是的逆命题的（ ）A.原命题 B.逆否命题 C.逆命题 D.否命题【难度】【答案】D命题、的否定分别记作、（命题的否定与否命题是两种不同形式）。如果把原命题“如果，那么”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题，

8、我们将它叫做原命题的逆否命题。 【例6】写出命题“已知，若，则”的其他三种形式。【难度】【答案】逆命题：已知，若，则。否命题：已知，若或，则。逆否命题：已知，若，则或。四种命题形式及其相互关系: 常见结论的否定形式：（拓展内容）原结论 否定形式原结论 否定形式 是 不是至少有一个 没有都是 不都是至多有一个 至少有二个大于 小于或等于至少有个 至多有-1个小于 大于或等于至多有个 至少有+1个对所有的成立 存在不成立或非且非对任何的不成立 存在成立且非或非【例7】命题：已知，为实数，若有非空解集，则。写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断这些命题的真假？【难度】【答案】逆命题：已知为实数

9、，若，则有非空解集否命题：已知为实数，若没有非空解集，则逆否命题：已知为实数，若，则没有非空解集【巩固训练】1、下列结论错误的是 （ ）A命题“若，则”与命题“若非则非”互为逆否命题B命题：任意，命题：存在则为真C“若则”的逆命题为真命题D若为假命题，则、均为假命题【难度】【答案】C2、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假。（1）（2）【难度】【答案】（1）逆命题：假命题。否命题：假命题。逆否命题：真命题。（2）逆命题：真命题。否命题：真命题。逆否命题：真命题。3、写出下列命题的逆命题、否命题.（1）两个有理数的和是有理数； （2）【难度】【答案】（1）逆命题：若两个数的和是有理

10、数，那么这两个数是有理数。否命题：若两个数不都是有理数，那么它们的和不是有理数。（2）逆命题：。否命题：。三、有关等价命题如果、是两个命题，那么、叫做等价命题（互为逆否命题的两个命题是等价命题）。【例8】下列各组中两个命题是否为等价命题。（1）（2）【难度】【答案】（1），反过来，若，则，而，所以即有，则。所以为等价命题。（2） 而，不等价。【例9】已知：【难度】【答案】原命题的逆否命题为已知，如果，那么证明：过C作DA的平行线交BA的延长线于E，在中，,又 ., 从而因为逆否命题为真命题，所以原命题为真命题。【巩固训练】1、下列各组中两个命题是否为等价命题。（1）“”与“”（2）“”与“”【

11、难度】【答案】（1），而反过来不成立，所以不等价。（2），而反过来不成立，所以不等价。2、判断下列命题真假。（1）（2）【难度】【答案】（1）其逆否命题为：，为真命题，所以原命题为真命题。（2）其逆否命题为：，为真命题，所以原命题为真命题。四、充要条件的判定充分条件与必要条件：一般地，用、分别表示两个命题，如果成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分条件。叫做的必要条件。例如是充分非必要条件，是的必要非充分条件。充要条件：如果既有，又有，即有，那么既是的充分条件又是的必要条件，这时我们就说是的充要条件。例如或是充分必要条件。【例10】证明：是关于的一元二次方程有两个不同的实数根的充分非必要条件

12、。【难度】【答案】充分性：若，则方程的，方程有两个不同的实数根。非必要性：当方程有两个不同的实数根，则，而不仅仅是。说明：证明非必要性，只需证明不成立即可。【例11】指出下列各组命题中，是的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答） （1）对于实数，或（2）已知，【难度】【答案】（1）是的充分不必要条件（2）是的充分非必要条件【巩固训练】1、已知，“”是“”的什么条件？【难度】【答案】必要非充分条件。说明：写成命题形式，判断原命题及其逆命题的真假即可。2、已知都是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，那么分别是的什么条件？【难度】【答案】是的充要

13、条件；(r，)是的充要条件；(，)是的必要条件；()五、充分条件、必要条件、充要条件的应用【例13】判断是的什么条件（1） ；（2） ；（3） ；（4） .【难度】【答案】（1）是的必要非充分条件； （2）是的充要条件；（3）是的非充分非必要条件； （4）是的充要条件；【例14】求有关的方程（1）有一个根大于1，有一个根小于1的充要条件.（2）“有两个小于3的根”的充要条件。【难度】【答案】（1）设方程两个根分别为，不妨设，则问题等价于：。（2）设方程两个根分别为，不妨设，则问题等价于：【例15】已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根、，证明：|2且|2是2|a|4+b且|b

14、|0即有4+b2a(4+b)又|b|44+b02|a|4+b(2)必要性由2|a|4+bf(2)0且f(x)的图象是开口向上的抛物线方程f(x)=0的两根，同在(2，2）内或无实根，是方程f(x)=0的实根，同在(2，2）内，即|2且|2【巩固训练】1、已知是实数，则的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【难度】【答案】C.2、已知命题；命题。若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_。【难度】【答案】六、子集与推出关系设、是非空集合，则与等价。 【例16】利用子集与推出关系判断下列甲是乙的什么条件。（1） 甲：，乙：；（2） 甲：，

15、乙：；（3） 甲：，乙：；（4） 甲：，乙：。【难度】【答案】（1）令，是的子集，但是不是的子集。所以甲是乙的必要非充分条件。（2）甲是乙的必充要条件。（3）甲是乙的充分非必要条件。（4）甲是乙的必要非充分条件。【例17】（1）是否存在实数，使得是的充分条件？ （2）是否存在实数，使得是的必要条件？【难度】【答案】（1）欲使得是的充分条件，则只要或，则只要即，故存在实数时，使是的充分条件（2）欲使是的必要条件，则只要或，则这是不可能的，故不存在实数时，使是的必要条件【例18】若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是_。【难度】【答案】解不等式得到，由题可知：所以 ，则，所以的取值范围

16、是【巩固训练】1、已知：，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围【难度】【答案】2、设的充分条件，求实数的取值范围。【难度】【答案】。【解析】命题和充要条件是高中数学的重要内容，在高考中占有很高的地位.历年高考命题中,充分条件和必要条件已经成了高考考查的一个热点,虽然这一部分在课本中只占一小节内容,定义也很简单,但它涉及的知识面很广,几乎渗透了高中数学的每一个角落；充要条件是数学中极其重要的一个概念,有关充要条件问题的求解是解题的一个难点,解这类问题需熟练掌握条件的概念,理解其含义,结合题设条件正确地分清条件与结论.在高考数学卷中，判断充要条件的问题常出现在选择题中，一般会与函数、不等式、立体

17、几何等知识结合起来进行考查1、设命题甲为：“”，命题乙：“”，则甲是乙的 条件【知识点】充分、必要条件的判定【难度】【题型】填空题【答案】充分非必要2、已知命题：“”，命题：“”，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 【知识点】充分条件、必要条件、充要条件的应用【难度】【题型】填空题【答案】（或，其中即可）3、“”是“函数的最小正周期为”的 条件【知识点】充分、必要条件的判定【难度】【题型】填空题【答案】充分非必要4、 已知方程的解集是，方程的解集是，则方程的解集是 【知识点】有关命题基本知识【难度】【题型】填空题【答案】5、已知四个命题：是函数是奇函数的必要非充分条件；若，则是的充分非必

18、要条件；是的两内角，则是的充要条件；两条直线的斜率相等是这两条直线平行的既不充分也不必要条件；其中为真命题的有 （把你认为是真命题的序号都填上）【知识点】有关命题的概念【难度】【题型】填空题【答案】6、 二次函数的二次项系数为正，且对任意实数恒有，若，则的取值范围是 【知识点】充分条件、必要条件、充要条件的应用【难度】【题型】填空题【答案】7、是直线和直线平行且不重合的（ ）A、充分不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件【知识点】充要条件的判定【难度】【题型】选择题【答案】C8、 集合，集合，则“”是“”的（ ）条件A、充分必要条件B、必要而不充分条件C、充分而

19、不必要条件D、既不充分也不必要条件【知识点】充要条件的判定【难度】【题型】选择题【答案】C9、若函数和的定义域、值域都是，则成立的充要条件是（ ）A、存在一个，使得 B、有无穷多个，使得C、对于任意的，使得 D、【知识点】充分条件、必要条件、充要条件的应用【难度】【题型】选择题【答案】D10、已知，集合，（1）求证：；（2）如果，用列举法表示集合【知识点】子集与推出关系【难度】【题型】解答题【答案】（1）略；（2）11、已知抛物线，点，求抛物线与线段有两个不同交点的充要条件是什么？【知识点】充分条件、必要条件、充要条件的应用【难度】【题型】解答题【答案】12、已知：“函数的定义域为”；：“不等式对一切正实数均成立”如果“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围【知识点】充分条件、必要条件、充要条件的应用【难度】【题型】解答题【答案】专心-专注-专业