二次根式的知识点梳理与练习(共22页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上二次根式的知识点梳理与练习知识点一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0时，没有意义。练习：1. 使式子有意义的条件是 。2. 当时，有意义。3. 若有意义，则的取值范围是 。4

2、. 当时，是二次根式。知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。知识点五：二次根式的性质知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平

3、方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.练习：6. 若，则的取值范围是 。7. 已知，则的取值范围是 。8. 化简：的结果是 。9. 当时，。10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。11. 使等式成立的条件是 。12. 若与互为相反数，则。13. 在式子中，二次根式有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）A. B. C. D. 15. 若，则等于（ ）A. B. C. D. 16.

4、 若，则（ ）A. B. C. D. 17. 若，则化简后为（ ）A. B. C. D. 18. 能使等式成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 19. 计算：的值是（ ）A. 0 B. C. D. 或知识点七：二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所

5、得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式=（a0，b0）； （b0，a0）（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算【例题精选】二次根式有意义的条件：例1：求下列各式有意义的所有x的取值范围。小练习：（1）当x是多少时，在实数范围内有意义？（2）当x是多少时， +在实数范围内有意义？ （3）当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？（4）当时，有意义。2. 若有意义，则的取值范围是 。最简二次根式例2：把下列各根式化为最简二次根式：分析：依据最简二次根式的概念进行化简，（1）被开方数的因数是整数，因式

6、是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。同类根式：例3：判断下列各组根式是否是同类根式：分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。分母有理化：例4：把下列各式的分母有理化：分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如与，均为有理化因式。求值：例5：计算：分析：迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合

7、理的运算步骤，得到正确的运算结果。化简：例6：化简：分析：应注意（1）式，（2），所以，可看作可利用乘法公式来进行化简，使运算变得简单。化简求值：例8：已知：求：的值。【专项训练】： 一、选择题：在以下所给出的四个选择支中，只有一个是正确的。1、成立的条件是：ABCD2、把化成最简二次根式，结果为：ABCD3、下列根式中，最简二次根式为：ABCD4、已知t1，化简得：ABC2D05、下列各式中，正确的是：ABCD6、下列命题中假命题是：A设B设C设D设7、与是同类根式的是：ABCD8、下列各式中正确的是：ABCD三1、化简2、已知： 求：（一）做一做： 填空题：1要使根式有意义，则字母x的取值

8、范围是_2当x_时，式子有意义3要使根式有意义，则字母x的取值范围是_4若有意义，则a能取得的最小整数值是_5若有意义，则_6使等式成立的x的值为_选择题：8使式子有意义的实数x的取值范围是( )(A)x0(B)(C)(D)9使式子有意义的实数x的取值范围是( )(A)x1(B)x1且x2(C)x2(D)x1且x210x为实数，下列式子一定有意义的是( )(A)(B)(C)(D)解答题11要使下列式子有意义，字母x的取值必须满足什么条件?(1) (2) (3) (4) (5)12(1)已知，求的值；(2)已知，求yx的值13问题探究：已知实数x、y满足，求9x8y的值（二）学习要求：掌握二次根

9、式的三个性质：0(a0)；()2a(a0)；做一做：填空题：1当a0时，_；当a0时，_2当a0时，_；_3已知2x5，化简_4实数a在数轴上的位置如图所示，化简：_5已知ABC的三边分别为a、b、c则_6若，则x、y应满足的条件是_ 7若，则3x2y_8直线ymxn如图4所示，化简：|mn|_选择题：9的平方根是( )(A)6(B)6(C)(D)10化简的结果是( )(A)2(B)2(C)2(D)411下列式子中，不成立的是( )(A)(B)(C)(D)12代数式的值是( )(A)1(B)1(C)1(D)1(a0时)或1(a0时)13已知x2，化简的结果是( )(A)x2(B)x2(C)x2

10、(D)2x14如果，那么x的取值范围是( )(A)x2(B)x2(C)x2(D)x215若，则数a在数轴上对应的点的位置应是( )(A)原点(B)原点及原点右侧(C)原点及原点左侧(D)任意点16若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简的结果是( )(A)4x(B)4x(C)2x(D)2x解答题：17计算：(1)(2)18化简：(1)(2)19已知实数x，y满足，求代数式(xy)2007的值20已知，求的值（三）学习要求：理解二次根式的乘法法则，即的合理性，会运用法则进行计算，并会逆用乘法法则对二次根式进行化简做一做：填空题：1计算：_2已知xy0，则_3实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化

11、简的结果是_4若则x的取值范围是_5在如图的数轴上，用点A大致表示：选择题：6化简的结果是( )(A)(B)(C)(D)8化简的结果是( )(A)(B)(C)(D)9若a0，则化简后为( )(A)(B)(C)(D)解答题：10计算：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10) (11) (12)(13)(14)11化简：(1)(2)12计算：(1) (2)（四）学习要求：理解二次根式除法运算法则，即(a0，b0)的合理性，会运用法则进行计算，了解最简二次根式的概念，会逆用除法法则对二次根式进行化简，掌握类比学习的方法做一做：填空题：1在中，是最简二次根式的是_22的倒数是_，

12、的倒数是_3使式子成立的条件是_选择题：5下列各式的计算中，最简二次根式是( )(A)(B)(C)(D)6下列根式中最简二次根式的个数是( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个7化简的结果是( )(A)(B)(C)(D)8计算的正确结果是( )(A)(B)(C)(D)19若ab0，则等式成立的条件是( )(A)a0，b0(B)a0，b0(C)a0，b0(D)a0，b0解答题：10计算：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) (8) (9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)（五）学习要求：了解同类二次根式的概念，会辨别两个二次根式是否为同类二次根式会进行简单的二次

13、根式的加、减法运算，体会化归的思想方法做一做：填空题：1计算：_2写出两个与是同类二次根式的根式：_3若最简二次根式与是同类二次根式，则x_4若最简二次根式与是同类二次根式，则a_，b_5计算：_选择题：6计算的结果是( )(A)3(B)(C)(D)7下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )(A)(B)(C)(D)8下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )(A)(B)(C)(D)9在下列各组根式中，是同类二次根式的是( )(A)和(B)和(C)和(D)和10下列各式的计算中，成立的是( )(A)(B)(C)(D)11若则的值为( )(A)2(B)2(C)(D)解答题：13计算：(1) (2

14、) (3)(4) (5)(6) (7)(8) (9)；(10)； (11)；（六）学习要求会进行简单的二次根式的加、减、乘、除四则运算的混合运算做一做：填空题：1若最简根式与是同类二次根式，则a_2计算：_3计算：_4计算：_5若y0，则_6化简：_7已知ab8，ab8，化简_选择题：9在二次根式中同类二次根式的个数为( )(A)4(B)3(C)2(D)110下列计算中正确的是( )(A)(B)(C)(D)11下列各组式子中，不是同类二次根式的是( )(A)与(B)与(C)与(D)与12化简得( )(A)2(B)(C)2(D)13下列计算中，正确的是( )(A)(B)(C)(D)14下列计算中

15、，正确的是( )(A)(B)(C)(D)15化简的值必定是( )(A)正数(B)负数(C)非正数(D)非负数16若a，b为实数且，则的值为( )(A)(B)(C)(D)解答题：17计算：(1)； (2)； (3)；(4) (5)；(6)；(7)复 习学习要求：了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算和化简做一做：填空题：1在函数中，自变量x的取值范围是_2当x2时，化简_3若数P在数轴上如图所示，则化简_4已知有意义，则x的平方根为_5当二次根式有意义时，y|3x1|的最小值是_6若x0，则_7若最简二次根式与是同类二次根式，则a_8当时，化简的结果是_

16、9若，则_选择题：10使根式有意义的字母x的取值范围是( )(A)x1(B)x1(C)x1且x0(D)x111已知a0b，化简的结果是( )(A)ab(B)ba(C)ab(D)ab12在中，最简二次根式的个数是( )(A)1(B)2(C)3(D)413下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )(A)(B)(C)(D)14计算的结果是( )(A)(B)2(C)(D)1.416下列运算正确的是( )(A)(B)(C)(D)17下列运算中，错误的是( )(A)(B)(C)(D)18若把的根号外的a适当变形后移入根号内，结果是( )(A)(B)(C)(D)19小明的作业本上有以下四题：；做错的题是(

17、)(A)(B)(C)(D)解答题：22计算：(1) (2) (3)(4)； (5)； (6)；(7)； (8)23(1)当a0时，化简；(2)已知x满足的条件为，化简(3)实数a，b在数轴上表示如图，化简：24(1)当a1，b1时，求a2bab2的值；(2)当，y0.81时，求的值25若与互为相反数，求xy的值26已知x，y为实数，且，求的值 二次根式测试题填空题：(每题2分，共24分)1函数的自变量x的取值范围是_2当x_时，有意义3若a0，则化简为_4若3x4，则_5成立的条件是_6若实数x、y、z满足，则xyz_7长方形的面积为，若宽为，则长为_8当x_时，的值最小，最小值是_9若代数式

18、的值是常数2，则a的取值范围是_10观察下列各式：请将猜想到的规律用含自然数n(n1)的代数式表示出来是_11观察下列分母有理化的计算：，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：_12已知正数a和b，有下列结论：(1)若a1，b1，则；(2)若，则；(3)若a2，b3，则；(4)若a1，b5，则根据以上几个命题所提供的信息，请猜想：若a6，b7，则ab_选择题：(每题2分，共24分)13已知xy0，化简二次根式的正确结果为( )(A)(B)(C)(D)14若a0，则的值是( )(A)0(B)2a(C)2a(D)2a或2a15下列二次根式中，最简二次根式为( )(A)(B)(C)(D)16已知

19、x、y为实数，且，则xy的值为( )(A)3(B)3(C)1(D)117若最简二次根式与是同类二次根式，则b的值是( )(A)0(B)1(C)1(D)18下列各式：，其中与是同类二次根式的个数为( )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个19当1x3时，化简的结果正确的是( )(A)4(B)2x2(C)2x2(D)420不改变根式的大小，把根号外的因式移入根号内，正确的是( )(A)(B)(C)(D)21已知mn，按下列(A)(B)(C)(D)的推理步骤，最后推出的结论是mn其中出错的推理步骤是( )(A)(mn)2(nm)2(B)(C)mnnm(D)mn22如果a0且a、b互为相反数，则在下列各组数中不是互为相反数的一组是( )(A)与(B)与(C)3a与3b(D)a1与b124已知点A(，1)，B(0，0)，C(，0)，AE平分BAC，交BC于点E，则直线AE对应的函数表达式是( )(A)(B)yx2(C)(D)解答题：(第25题每小题4分，第2629题每题4分，第30、31题每题6分)25计算：(1) (2)(3) (4)(5) (6)26若求3m6n的立方根27已知且x为偶数，求的值28 试求的值，其中，30已知：，求：ab3a3b的值专心-专注-专业