专升本证明题(共20页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上证明题一、方程的根例如：又例：证明方程，在区间内有两个实根（3）利用罗尔定理证明方程的根存在 把所给方程一端减去一端，再把变量换成x，观察哪个函数求导之后为这个代数式，这个函数就是要构造的函数；然后根据题设确定区间，验证是否满足罗尔中值定理。二、证明不等式例如（3）利用函数图形的凹凸性证明不等式例如证 （4）利用拉格朗日中值定理（罗尔定理）证明不等式。把式子变形出现两个函数值之差，构造函数，确定在所给范围内满足拉格朗日中值定理，求出导数，对导数进行放大和缩小例如 以上方法的共同特点是：选取变量构造辅助函数，研究辅助函数的单调性、凹凸性、极值等。构造辅助函数的基本思想是

2、：从欲证问题的结论入手，通过逆向分析，去寻找一个满足题设条件和结论要求的函数。在做此类题时，证明代数式不等式一般用中值定理；证明函数不等式一般用单调性；证明函数与数之间的不等式一般用最大、最小值求证。三、证明等式成立（1）利用罗尔定理（拉格朗日中值定理）证明等式成立把所给等式一端减去一端，再把变量换成x，观察哪个函数求导之后为这个代数式，这个函数就是要构造的函数；然后根据题设确定区间，验证是否满足罗尔中值定理。例如（2）其它举例1. 设，试证，并计算.证明：; 即有，故. ，而， 所以.2. 证明：设上连续，有：证明：令，则，；于是，有： 3. 若函数在上连续，在内可导且，试证：至少存在一点，

3、使得成立.证明：构造函数，因在上连续，所以函数在上也连续，而在内有意义，又因为，所以在上满足罗尔中值定理，故 至少存在一点 ，使得，即，而.所以有成立。 4. .证明方程在区间内有唯一实数根证明：令，则在上有意义，即有在上连续；而，由零点定理知，至少存在一点，使得，即方程在内至少有一个实数根另一方面，知在内是单调上升的，从而方程在内至多有一个实数根综述，方程在内有唯一实数根，即方程在区间内有唯一实数根。5. 、证明题当 时，提示：令在上满足拉格朗日中值定理。6. 求证：当证：设 所以单调增加 所以7. 证明:方程ln（1+x2）=x1有且仅有一个实根.证：由故方程的成立范围为1，+）；令F(x

4、)=ln(1+x2)x+1,因，F(x)=所以，函数是单调递减的. 又，当x=1时，F（1）=ln20，,又，曲线y=F(x)与x轴有唯一的交点；即方程有且仅有一个实根.得证.8. 证明：。证明:构造函数显然在区间上满足拉格朗日定理的条件，即,其中显然有 ，故 成立.9.证明： 构造函数，-（1分）由于在有意义，所以函数在连续且可导，且，即在上满足罗尔中值定理，-（4分）故存在，使得，即.-（5分）10. 试证：当时，.证明:构造函数,-（1分）显然，函数在上连续且可导,满足拉格朗日定理,从而存在使得-（3分）即 -（4分） 由因为,-（5分） 故 .-（6分）11. 对于任意，试证：都成立

5、.证明:构造函数,则令,得唯一驻点, 又因为，所以函数曲线是凹的，且在处有最小值.所以即恒成立.说明：利用单调性证明不等式，其基本方法是：若要证明：当有. 可令，如果满足下面的条件：（1）；（2）当时，有；则由为单调增加函数可知，当时，即.例如：设，（x0）,求证.证：12. 设在点处连续，且（为常数），证明在点处可导；证 ，则 ，又因为在点处连续，所以，则 ，于是 ，所以在点处可导，且13. 证明：当 时,；证一 令，则， ，所以在上连续且单调增加，则，所以在上连续且单调增加，则，所以在上连续且单调增加，则，即 ，也即 证二 令，则 ，当 时，有 ，所以当时，函数单调增加，有，即 ，也即 1

6、4. 证明. 证 令,则,，且当时，; 当时，. 于是 = =15. 设在上有连续导数，且,，求证;证一 ，移项，有 ，所以 证二 ，即 1617.最大值18.19 设函数，且在x=1处连续，试证明在x=1处可导。20 证明：当x0时，有21 74证明：当x1时，有22 设在区间a, b上连续，在（a, b）内可导，且，证明：在（a, b）内有23 若连续，证明20012002证明题（6分）试证：对任意自然数，方程在内有唯一实数根。证明：设，则显然在上连续，且，根据连续函数介质定理，至少存在一点，使即，也就是可见是原方程的根又因为在内恒有，在上严格递增，故唯一2003证明题证明：当时，2004

7、证明：当时，2005五、证明题（6分） 试证：当 时，有.证明：构造函数，它在内连续，当时，函数在区间上连续，且. 故在上满足Lagrange中值定理,存在,使得，.而,故有,即时,成立.200656.设在（，为常数）上连续， 证明： .并计算. 证明：因为，而，故即有 . 利用上述公式有.200756.若在上连续，则存在两个常数与，对于满足的任意两点，证明恒有 .证明： 因在有意义，从而在上连续且可导，即在上满足拉格朗日中值定理的条件，-（2分）故存在，使得 ，-（3分）又因在上连续，根据连续函数在闭区间上最值定理知，在上既有最大值又有最小值，不妨设分别是最小值和最大值，从而时，有。-（5分

8、）即 ，故 。-（6分）200856. 证明方程在区间内仅有一个实根.证明：构造函数 ,即有,显然函数在区间连续,且有,由连续函数的零点定理知方程即在区间有至少有一实数根.另一方面, 在区间内恒小于零,有方程,即在区间有至多有一实数根.综上所述, 方程在区间内仅有一个实根.200956.设，其中函数在闭区间上连续且，证明在开区间内,方程有唯一实根. 证明：因为在上有意义，所以在上连续，且有,，由连续函数在闭区间上的零点定理知，在内至少有一个实根；又因为，知在内是增函数.从而知在内至多有一个实根；故在内有唯一实根.证明题（9分）52设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，证明：在内至少存在一点，使得成立证明：构造函数， 因在闭区间上连续，在开区间内可导，所以函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且 于是在上满足拉格朗日中值定理的条件，故在开区间内至少存在一点，使得，将，代入上式，得，即，于是2011专心-专注-专业