2022年教案0513条件概率.pdf

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1、教学对象管理系 505-13 、14 、15 ；经济系 205-1 、2计划学时2 授课时间2006 年 3 月 10 日；星期五；12 节教学内容第三节条件概率一、条件概率二、乘法公式三、全概率公式 *教学目的通过教学，使学生能够：1、理解条件概率的定义2、掌握条件概率的计算3、会用乘法公式解决概率的计算4、*了解全概率公式知识：1、条件概率；2、乘法公式；3、全概率公式；技能与态度1、条件概率的解题方法。2、会使用乘法公式3、了解全概率公式教学重点条件概率与乘法公式教学难点全概率公式教学资源自编软件教学后记培养方案或教学大纲修改意见对授课进度计划修改意见对本教案的修改意见精品资料 - -

2、- 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 教学资源及学时调整意见其他教研室主任：系部主任：教学活动流程教学步骤、教学内容、时间分配教学目标教学方法一、复习导入新课复习内容 ：（6 分钟）1、概率的统计定义2、概率的古典定义3、作业讲评导入新课： （2 分钟）在实际问题中，常常需要计算在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。随机试验的条件不同，随机事件发生的概率也不相同。如在1 万张彩票中，有一张是特等奖。若不知道任何条件，从中任取一张，取出特等奖

3、的概率为万分之一。若已知前面9900 张已被取出，且没有特等奖，此时从中任取一张，取出特等奖的概率是百分之一。为了研究较为复杂的随机现象，首先研究条件概率巩固所学知识，与技能解决作业中出现的问题提问讲解二、明确学习目标1、理解条件概率的定义2、掌握条件概率的计算3、会用乘法公式解决概率的计算4、* 了解全概率公式和贝叶斯公式；三、知识学习 （58 分钟）（一）条件概率精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 1、定义： 设 A、B 为两个

4、事件，且P(A) 0，在事件 A已经发生的条件下，事件 B 发生的概率称为条件概率 ，记为P(B|A) 。一般地，因为增加了“事件A 已经发生”的条件，所以 P(B|A) P(B) 。例 1（P 9） 、袋中有 5 个球：其中3 个红球， 2 个白球，无放回地抽取两次，每次一个，（1）求第二次取到红球的概率；（2）已知第一次取到的是红球，求第二次取到红球的概率解：设 A= 第一次取到红球 ，B= 第二次取到红球 （1） 1中基本事件总数n1=A25，kB= A13A14，P( B) =251413AAA=0. 6 (2)由于已经知道第一次取到的是红球，在第二次取球时，可以看成是另一个试验，即：

5、从4 个球（ 2 个红球， 2个白球）中任取一个，求取到红球的概率。此时：2中基本事件总数n2=A14，kB= A12，P(B|A) =1412AA=0. 5 2、条件概率的计算公式下面讨论一般情况下条件概率的计算公式：设 中基本事件总数为n， 事件 B 所包含基本事件数为mB，事件 AB 所包含基本事件数为mAB，则P( A|B) =)()(BPABPnmnmmmBABBAB，由此可得条件概率的计算公式：若 A 为条件，则P(B|A )=)()(APABP，此时 P( A)0。若 B 为条件，则P(A|B )=)()(BPABP，此时 P( B) 0。条件概率是概率论中一个很重要、很基本的概

6、念。必须很好地理解和掌握。条件概率也可利用“缩减样本空间”的方法来计算。如求 P( A|B ) ， 可把事件 B 所包含的基本事件作为样本空间B，在这个“小”的样本空间中求事件A发生的概率。例 2、甲车间生产40 件产品， 其中含有 5 件次品； 乙车间生产 60 件产品，其中含有10 件次品。现从这100 件产品理解条件概率的概念讲授法对比讲授精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 中任取 1 件，设 A=“取出甲车间的产品” ，B=

7、“取出的产品是正品”，求 P(AB )、 P(A) 、P( B|A )解： 由古典概率的计算公式，有：P( AB)=1100135CC=0.35 ，P( A)=1100140CC=0.4 ，由条件概率的计算公式，有：P( B|A)=4. 035. 0)()(BPABP=0.875 ，也可用“缩减样本空间”的方法，由古典概率的计算公式求得： P( B|A )=140135CC= 0.875 （二）乘法公式有时我们需要求出几个事件同时发生的概率问题，这就要用到概率的乘法公式。由条件概率的计算公式，P( B|A )=)()(APABP和 P( A|B )=)()(BPABP可得两个事件同时发生的概率

8、公式为：P( AB)= P(A) P(B|A )(当 P(A ) 0 时) 或 P(AB )=P( B) P( A|B )(当 P( B) 0 时) 公式的含义 是：两个事件同时发生的概率等于其中一个事件发生的概率乘以在这个事件发生的条件下另一个事件发生的概率。用数学归纳法，可将公式推广到有限多个的情况：P( A1A2An)= P( A1) P(A2|A1) P( A3|A1 A2) P( An |A1 A2An1) 特别地当 n=3 时，有 P( ABC )= P( A) P( B|A) P(C|AB ) 例 3、一批零件共100 个，其中有 10 个次品， 采用不放回抽样依次抽取3 次，求

9、第 3 次才抽到合格品的概率。解：设 Ai=“第 i 次抽到次品” ，i=1,2,3 ，则由题意得所求概率P(A1 A2 A3)= P(A1)P(A2 |A1) P(A3|A1 A2) 989099910010=0. 0083 若视抽取 3次为一个事件， 则本题也可用古典概型计算，得3100190210PPPP=0.0083 记住条件概率的计算公式掌握公式的用法提问、引导板书说明精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 若改为“求第3 次

10、抽到合格品的概率” ，则由 1.2.4 例 4可得此概率为. 9. 03100299190AAAP例 4（P 10） 、袋中有 5 个球：其中 3 个红球， 2 个白球，从中每次取一个，取后放回，再放入与取出的球颜色相同的球两个，求连续三次取得白球的概率。解：设 Ai=“第 i 次取得白球”，i=1,2,3 ，则由题意得所求概率P( A1A2A3)= P(A1) P(A2|A1)P( A3|A1A2)=10516191617141512CCCCCC=0. 152 问题也可改成：第三次才取得白球的概率，自己练习。例 5、某人有 5 把外观相似的钥匙，其中只有一把能打开门锁，现在不放回地逐次试开。

11、求（1）第三次打开门锁的概率，（ 2）前三次打开门锁的概率解：设 Ai=“第 i 次打开门锁” ，i=1,2,3,4,5，（1）P(A1 A2 A3)= P(A1) P(A2 |A1) P(A3|A1 A2) 314354=0. 2 同理可求： 第几次打开门锁的概率均为0. 2，与抓阄类似（2）P( A1) +P(A1 A2) +P(A1 A2 A3) =0. 2+0. 2+0. 2 三、*全概率公式在计算事件的概率时，我们经常利用已知的简单事件的概率，推算出未知的较为复杂事件的概率。为此，常需把一个复杂事件分解为若干各互不相容的简单事件的和，再由简单事件的概率求得最后结果。在例 10 中，就

12、用到了这种解题思想。现将此类问题推广到一般情况1、样本空间的划分 （完备事件组） ：设 为某实验的样本空间， A1, A2, , An为 中的一组事件，若（1）若 A1, A2, , An两两互不相容，且P( Ai)0（2）A1+A2+An=则称 A1, A2, , An为样本空间的一个划分（完备事件组）若 A1, A2, , An为样本空间的一个划分，则在每次实验理解乘法公式的作用精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 中，事件 A1

13、, A2, , An必然有且仅有一个发生。2、全概率公式： 设 B 为样本空间中的一个较为复杂的事件， A1, A2, , An为 的一个划分，且P( Ai)0,( i=1, 2, , n)，则P( B) = P( A1) P(B| A1) +P(A2) P(B| A2)+ + P( An) P(B| An) 这一公式称为 全概率公式不证：（见 P 11）全概率公式表明， 在很多实际问题中若事件B 发生的概率难以计算，则可利用全概率公式转为寻求划分A1, A2, , An及计算 P( Ai) 和 P(B| Ai) 的问题。例 6、某工厂有三个车间生产同一产品，第一车间的次品率为 0. 05，第

14、二车间的次品率为0. 03，第三车间的次品率为 0. 01，各车间的产品数量分别为2500，2000，1500 件，出厂时，三个车间的产品完全混合，现从出厂的产品中任取一件，求该产品是次品的概率。解：设 B取到次品 ，Ai取到第 i 个车间的产品 ，i1, 2, 3 A1, A2, A3购成一个完备事件组，由全概率公式得：P( B) = 31)|()(iiiABPAP=P( A1) P(B| A1) +P( A2)P(B| A2)+P(A3)P(B| A3)=%3.3%160001500%360002000%560002500会用乘法原理解题讲授、引导、启发精品资料 - - - 欢迎下载 -

15、- - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 实际生活中的随机 现 象 补 充 例子，说明抓阄结果与顺序无关启发式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 理解样本空间划分的找法作图演示精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第

16、8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 理解全概率公式的作用和用法作图说明四、技能学习 （20 分钟）例 1、某学校有教职工500 人，男女各占一半，男女教职工中教授人数分别为40 人与 10 人。现从中人选出一名职工，试问：（1）该职工为教授的概率是多少? （2）已知选出的是女职工,她为教授的概率是多少? 解设 A= “选出的职工为教授” ，B =“选出的是女职工” ( 1) P( A) =1015001040；(2) P( A|B )=25125010例 2、某种动物出生之后活到20 岁的概率为0. 7，活到25 岁的概率为0. 56，求现年为20 岁的这种动物活到2

17、5 岁的概率。解设 A= “这种动物活到20 岁以上”，B =“这种动物活到 25 岁” ，则由题设P( A )= 0. 7，P( B)= 0.56，由于 BA，则 P(AB )= P( B)掌握条件概率的计算方法提问、讲授互动教学精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 得 P( B|A )=7.056.0)()()()(APBPAPABP= 0. 8 例 3、设 10 件产品中有3 件次品， 无放回地从中取出两件，求在第一次取到次品的

18、条件下，第二次取到的也是出次品的概率。解：令 Ai=“第 i 次取到次品” ，i=1,2 则要求的概率为P( A2|A1)=1101321023121)()(AAAAAPAAP= 92五、态度养成计算时的认真与耐心的态度六、技能训练 （10 分钟）例 1：从标号 1，2，,10 的 10 个同样质地和大小的球中任取一个，求下列事件的概率：A=“抽中 2号” ，B=“抽中奇数号码” ，C=“抽中的号码不小于7” 。当堂巩固所学的技能学生练习老 师 巡视，解答精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1

19、0 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 解：令 i 表示“抽中i 号” ，i=1,2,，10，则=1,2, ， 10，所以 n=10 mA=1，mB=1，mC=1，则P( A)=101，P( A)=105，P(A)=104例 2盒中有 12 只新乒乓球， 每次比赛时取出3 只，用后放回，求第3次比赛时取到的3 只球都是新求的概率。解设 B= “第 3 次比赛时取到3 只新球”，Ai“第 2次比赛时取到i 只新球”，i0，1, 2, 3，则P( Ai) = 312339CCCii， P(B| Ai)31239CCi， 由全概率公式得：P( B) = 31)|()(iiiAB

20、PAP=0. 146问题七、课堂小结 （2 分钟）在应用条件概率解决问题时，一般不是利用条件概率的计算公式直接计算，而是在已知某个事件发生的条件下，用古典概型来解决条件概率的计算。条件概率是乘法公式的基础，我们一般用条件概率来计算几个事件同时发生的概率。概括总结，明确重点。简要概括本节内容八、布置作业 （2 分钟）P159、11 复习本节内容，预习事件的独立性要求：了解独立性的概念巩固所学的知识和方法培养自学能力精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -