二次函数几种解析式的求法(共16页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上二次函数的解析式求法求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。一、 三点型例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x-3x+5.这种方法是将坐标代入y=ax+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax+bx+c.二、交点型

2、 例2 已知抛物线y=-2x+8x-9的顶点为A，若二次函数y=ax+bx+c的图像经过A点，且与x轴交于B（0，0）、C（3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。分析 要求的二次函数的图象与x轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x+8x-9的顶点A（2，-1）。将A点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=y=x(x-3),即 y=.三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax+bx+c的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)+k.在本题中可设y=a(x+1)+4.再将点(1,2)代入求得a=-y=-即

3、y=-由于题中只有一个待定的系数a，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。四、平移型 例 4 二次函数y=x+bx+c的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数则b与c分别等于(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.分析 逆用平移分式，将函数y=x-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。y=x=xb=-6,c=6.因此选（B）五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax+bx+c为x=2时有最大值2，其图象在X轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称

4、性求出交点坐标，二是用弦比公式d=就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A（1，0），B（3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x+8x-6.六、识图型例 6 如图1， 抛物线y=与y=其中一条的顶点为P，另一条与X轴交于M、N两点。（1）试判定哪条抛物线与X轴交于M、N点？（2）求两条抛物线的解析式。解 （1）抛物线y=与x轴交于M，N两点（过程从略）；（2）因y=的顶点坐标为（0，1），b-2=0,d=1, b=2.Y=.将点N的坐标与b=2分别代入y=+(b+2)x+c得c=6.y=+4x+6七、面积型例 7 已知抛物线y=x 的对称轴在 y轴的右侧，且抛物线与 y轴交于Q（

5、0，-3），与x轴的交点为A、B，顶点为P，PAB的面积为8。求其解析式。解 将（0，-3）代入y=得 c=-3.由弦长公式，得点P的纵坐标为由面积公式，得解得因对称轴在y 轴的右侧, b=-2.所以解析式为y=八、几何型 例 8 已知二次函数y=-mx+2m-4如果抛物线与x轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。解 由弦比公式，得AB=顶点C的纵坐标为-ABC为等边三角形解得m=4故所求解析式为y=或y=九、三角型 例 9已知抛物线y=的图象经过三点（0，）、（sinA，0）、（sinB，0）且A、B为直角三角形的两个锐角，求其解析式。解 A+B=90，sinB=c

6、osA.则由根与系数的关系，可得将（0，）代入解析式，得c=（1）,得-bb=-所以解析式为y=十、综合型 例 10 如图2，已知抛物线y=-与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点，若ACB=90，且tgCAO-tgCBO=2，求其解析式解 设A，B两点的横坐标分别为x,则q=(-x由AOCCOB，可得OC=OAOB，q=q解得q=1,q=0（舍去），又由tgCAO-tgCBO=2得即x+x=-2xx 即 p=2p=2所以解析式为y=-x+2x+1 函数及其图象 例1.二次函数性质的应用例2.利用二次函数性质求点的坐标例3.求二次函数解析式例4.求二次函数解析式二、同步测试三、提示与答案-例6.

7、已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，对称轴是直线x=-1(1)确定a.b.c.b2-4ac的符号， (2)求证a-b+co ; (3)当x取何值时，y随x值的增大而减小。 解：(1)由抛物线开口向上，得出a0，由抛物线与y轴交点坐标为(O，C)，而此点在x轴下方，得出c0，又由抛物线的对称轴是x=-1，在y轴左侧，得出b与a同号b0。抛物线与x轴有两个交点，即ax2+bc+c=0有两个不等的实根，b2-4ac0(2)当x=-1时，y=a-b+c0(3)当x-1时，y随x值的增大而减小。例7.已知y是x的二次函数，且其图象在x轴上截得的线段AB长4个单位，当x=3时，y取得最小值-2。(1)

8、求这个二次函数的解析式 (2)若此函数图象上有一点P，使PAB的面积等于12个平方单位，求P点坐标。分析：由已知可得抛物线的对称轴是直线x=3，根据抛物线的对称性，又由抛物线在x轴上截得线段AB的长是4，可知其与x轴交点为(1，0)，(5,0)解：(1)当x=3时 y取得最小值-2.即抛物线顶点为(3，-2).设二次函数解析式为y=a(x-3)2-2又图象在x轴上截得线段AB的长是4，图象与x轴交于(1，0)和(5，0)两点a(1-3)2-2=0 a=所求二次函数解析式为y=x2-3x+(2)PAB的面积为12个平方单位，AB=44Py=12 Py=6 Pg=6但抛物线开口向上，函数值最小为-

9、2，Py=-6应舍去，Pg=6 又点P在抛物线上，6=x2-3x+x1=-1,x2=7即点P的坐标为(-1，6)或(7，6)说明：此题如果设图象与x轴交点横坐标为x1，x2，运用公式x1-x2=，会使运算繁琐。这里利用抛物线的对称性将线段长的条件转化为点的坐标，比较简便。例8.如图，矩形EFGH内接于ABC。E、F在AC边上H、G分别在AB、BC边上，AC=8cm,高BD=6cm,设矩形的宽HE为x(cm)。试求出矩形EFGH的面积y(cm2)与矩形EFGH的宽x(cm)间的函数关系式，并回答当矩形的宽取多长时，它的面积最大，最大面积是多少?解：四边形EFGH是矩形 HGACABCHBG 设B

10、D交HG于M 则BD与BM分别是ABC和HBG的高。 HGAC, MD=HE=x,BM=6-x , HG= y=S矩形EFGH=HE*HG y=x* 整理得y=-x2+8x BD=6 自变量x的取值范围是0x6 x2的系数为-0， y有最大值 当x=-=3时， y最大值=12 所求函数的解析式为y=-x2+8x(0x6)，当它的宽为3cm时，矩形EFGH面积最大，最大面积为12cm2。 例9.二次函数y=ax2+bx-5的图象的对称轴为直线x=3，图象与y轴相交于点B，设x1,x2是方程ax2+bx-5=0的两个根，且x12+x22=26,又设二次函数图象顶点为A， (1)求二次函数的解析式

11、(2)求原点O到直线AB的距离 解(1)如图 -=3 -=6 又x1+x2=-=6x1*x2=- 由已知，有x12+x22=26， (x1+x2)2-2x1x2=26 即(-)2+=26,=26-36 解得a=-1 解析式为y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4 (2)OB=5,OC=4,AC=3 AB=3 又OA=5 AOB为等腰三角形，作ODAB于D， BD= OD=, 即原点O到直线AB的距离为 三、同步测试： 选择题：1.如果点P(3m-p,1-m)是第三象限的整数点，那么P点坐标是( )(A).(-2，-1) (B)(-3，-1) (C)(-3，-2) (D)(-4，-2)2.若点

12、P(a,b)在第二、四象限两轴夹角平分线上，则a与b的关系是()(A)a=b (B)a=-b (C)a=b (D)a=b3.点P(x,y)在第二象限，且x=2，y=3,则点P关于x轴对称点的坐标为( )(A)(-2，3) (B)(2，-3) (C)(-2，-3) (D)(2，3)4.函数y=中，自变量x的取值范围是( ) (A)x2 (B)x2 (C)x2 (D)x25.函数y=中，自变量x的取值范围是( )(A)x-2且x1 (B)x-2且x1(C)x-2且x1 (D)x-2或x16.在下列函数中，成正比例函数关系的是( )(A)圆的面积与它的周长(B)矩形面积是定值，矩形的长与宽(C)正方

13、形面积与它的边长(D)当底边一定时，三角形面积与底边上的高7.函数y=k(x-1)与y=(ko)在同一坐标系下的图象大致如图( )8.如果直线y=kx+b的图象过二、三、四象限，那么( )(A)k0,b0 (B) k0，b0 (C)k0，b0 (D)k0，b09.对于抛物线y=-+x-x2，下列结论正确的是( )(A)开口向上，顶点坐标是(，0)(B)开口向下，顶点坐标是(，0)(C)开口向下，顶点坐标是(-，)(D)开口向上，顶点坐标是(-，-)10.若a0,b0则函数y=ax2+bx的图象是下面图中的( )11.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则( )(A)a0,b0,c0,

14、0 (B)a0,b0,c0,0(C)a0,b0,c0,0 (D)a0,b0,c0,0 12.把函数y=2x2-4x-5的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得到的函数图象的解析式为( )(A)y=2x2+4x-8 (B)y=2x2-8x+8(C)y=2x2+4x-2 (D)y=2x2-8x-2填空题13.点A(，-5)到x轴的距离是_；到y轴的距离是_；到原点的距离是_.14.直线y=kx+b与直线y=-x平行，且通过点(2，-3)，则k=_，在y轴上的截距为_.15.一次函数的图象经过(1，-5)点且与y轴交于(0，-1)点，则一次函数的解析式为_.16.已知抛物线的顶点为M(4，

15、8)且经过坐标原点，则抛物线所对应的二次函数的解析式为_.解答题：17.一次函y=x+分别与x轴，y轴交于点A，B，点C(0,a)且a0，若BAC为直角，求图象过点C与点A的一次函数解析式。18.已知如图，在ABC中，AB=4，AC=6,D是AB边上一点，E是AC边上一点，ADE=C,设DB=x,AE=y。(1)求出y与x的函数关系式；(2)画出这个函数图象。19.在直角坐标系xoy中，直线l过点(4，0)，且与x，y轴围成的直角三角形面积为8，一个二次函数图象过直线l与两坐标轴的交点，且以x=3为对称轴，开口向下。求二次函数的解析式及函数的最大值。20.已知抛物线y=x2-mx+(2m+3)(m是不小于-2的整数)与x轴相交于A、B两点，且A、B两点间的距离恰是顶点到y轴距离的2倍。(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)如果D(t,2)是抛物线上一点且在第一象限，求D点坐标。四.提示与答案 1.B 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A 8.D 9.B 10.C 11.B 12.A 13.5，3，214.-，-2 15.y=-4x-1 16.y=-x2+4x 17.y=-x-18.(1)y=-x+(0x4)；(2)图略19.y=-x2+3x-4,最大值为.20.(1)y=x2+2x-1;(2)D(1,2) ：专心-专注-专业