2022年初三数学二次函数与圆知识点总结2.pdf

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1、1. 一元二次方程的一般形式: a 0 时， ax2+bx+c=0 叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b 、 c ； 其中 a 、 b, 、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少 . 3. 一元二次方程根的判别式:当 ax2+bx+c=0 (a 0)时， =b2-4ac 叫一元二次方

2、程根的判别式. 请注意以下等价命题：0 有两个不等的实根；=0 有两个相等的实根；0 无实根；0 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系：当 ax2+bx+c=0 (a0) 时，如 0，有下列公式：.acxxabxx)2(a2ac4bbx) 1(212122,1，； 5 当 ax2+bx+c=0 (a0) 时，有以下等价命题：( 以下等价关系要求会用公式acxxabxx2121，；=b2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数ab= 0 且0 b = 0且 0；（2）两根互为倒数ac=1 且0 a = c且0；（3）只有一个零根ac= 0 且ab0 c = 0且 b0

3、；（4）有两个零根ac= 0 且ab= 0 c = 0且 b=0；（5）至少有一个零根ac=0 c=0 ；（6）两根异号ac0 a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值ac0 且ab0 a 、c 异号且 a、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值ac0 且ab0 a 、c 异号且 a、b 同号；（9）有两个正根ac0，ab0 且0 a 、 c 同号， a 、b 异号且 0；（10）有两个负根ac0，ab0 且0 a 、c 同号， a 、b 同号且 0. 6求根法因式分解二次三项式公式：注意：当 0 时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax2+bx+c=a(x-x1)

4、(x-x2) 或 ax2+bx+c=a2ac4bbxa2ac4bbxa22. 7求一元二次方程的公式：x2 - （x1+x2）x + x1x2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数. 8平均增长率问题-应用题的类型题之一（设增长率为x） ： (1) 第一年为 a , 第二年为 a(1+x) , 第三年为 a(1+x)2. （2）常利用以下相等关系列方程：第三年 =第三年或第一年 +第二年 +第三年 =总和 .9分式方程的解法：.0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程

5、组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（11几个常见转化：；或；)xx(xx4)xx()xx()xx(xx4)xx()xx(xx2)x1x(x1x2)x1x(x1xxx4)xx()xx(xx2)xx(xx)1(2121221221212122122121222222212212212122122214xx.22xx2xx.12xx)2(221212121）两边平方为（和分类为；.,)2(34xx34xx) 1()

6、916xx(34xx)3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；.0 x,0 x:.1xxBsinAcos,1AcosAsin,90BABsinx,Asinx)4(2122212221注意隐含条件可推出由公式时且如.0 x,0 x:.x,x),(,x,x)5(212121注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程

7、个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 1. 垂径定理及推论: 如图：有五个元素， “知二可推三” ；需记忆其中四个定理，即“垂径定理” “中径定理”“弧径定理”“中垂定理”. 几何表达式举例： CD 过圆心CD AB 2. 平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 几何表达式举例：3. “角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）“等角对等弦” ； “等弦对等角” ；“等角对等

8、弧” ； “等弧对等角” ；“等弧对等弦” ； “等弦对等 ( 优，劣 ) 弧” ；“等弦对等弦心距” ； “等弦心距对等弦”. 几何表达式举例：(1) AOB= COD AB = CD (2) AB = CD AOB= COD 4圆周角定理及推论: （1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；( 如图 ) （3） “等弧对等角” “等角对等弧” ；（4） “直径对直角” “直角对直径” ；( 如图) （5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 .( 如图) （1）（2） （3）（4）几何表达式举例：（1） ACB=

9、21AOB （2） AB 是直径 ACB=90 （3） ACB=90 AB 是直径（4） CD=AD=BD ABC是 Rt5圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.几何表达式举例： ABCD是圆内接四边形CDE =ABC C+A =180 6切线的判定与性质定理: 如图：有三个元素， “知二可推一” ；需记忆其中四个定理. （1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；（ 3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；（ 4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 几何表达式举例：（1） OC是半径OC AB

10、AB是切线（2） OC是半径AB是切线OC AB （3）7切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 几何表达式举例： PA、PB是切线 PA=PB PO过圆心 APO =BPO 8弦切角定理及其推论: （1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半. （如图）几何表达式举例：（ 1）BD是切线， BC是弦 CBD =CAB （ 2） ED，BC是切线 CBA = DEF 9相交弦定理及其推论: （1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积

11、相等；（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项. 几何表达式举例：（ 1） PA PB=PC PD （ 2） AB是直径PC AB PC2=PAPB 10切割线定理及其推论: （1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何表达式举例：（ 1） PC是切线，PB是割线PC2=PAPB （ 2） PB 、PD是割线PA PB=PC PD 11关于两圆的性质定理: （1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（2）如果两圆相切，那么切点一定在连

12、心线上. （1）（2）几何表达式举例：（ 1） O1，O2是圆心O1O2垂直平分AB （ 2） 1 、2相切O1 、A、O2三点一线12正多边形的有关计算: （1）中心角n ，半径 RN ， 边心距 rn ，边长 an ，内角n ， 边数 n；（2）有关计算在Rt AOC 中进行 . 公式举例：(1) n =n360；(2) n1802nABCDOABCDEO平分优弧过圆心垂直于弦平分弦平分劣弧ACBCADBD=AE=BEABCDEFOABCOABCDABCDEFPABOABCPABCDPABO1O2AO1O2n n ABCDEOarnnnRABCDPABCPOABCDEABCOABCDEFA

13、B=ABCDACBDABCO是 半 径垂 直是 切 线精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - ABO几何 B级概念： （要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念： 圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内（外）公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多

14、边形的边心距、正多边形的中心角. 二定理：1不在一直线上的三个点确定一个圆. 2任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分为 2n 个全等的直角三角形.三公式：1. 有关的计算： （1）圆的周长C=2 R； （2）弧长 L=180Rn； （3）圆的面积S=R2. （4）扇形面积S扇形=LR21360Rn2； （5）弓形面积S弓形=扇形面积SAOB AOB 的面积 .（如图）2. 圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2 rh； (r:底面半径； h: 圆柱高 ) （2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 =LR21. （L=2r

15、 ，R是圆锥母线长；r 是底面半径）四常识：1 圆是轴对称和中心对称图形. 2 圆心角的度数等于它所对弧的度数. 3 三角形的外心两边中垂线的交点三角形的外接圆的圆心；三角形的内心两内角平分线的交点三角形的内切圆的圆心. 4 直线与圆的位置关系： （其中 d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）直线与圆相交 d r ；直线与圆相切 d=r ；直线与圆相离 d r. 5 圆与圆的位置关系： （其中 d 表示圆心到圆心的距离，其中R、r 表示两个圆的半径且Rr ）两圆外离 d R+r；两圆外切 d=R+r ； 两圆相交 R-rdR+r；两圆内切 d=R-r；两圆内含 d R-r.6证直线与

16、圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线. 7关于圆的常见辅助线：OCAB已知弦构造弦心距. OABC已知弦构造Rt. OABC已知直径构造直角. OAB已知切线连半径，出垂直 . OBCADP圆 外 角 转 化 为 圆 周角. OACDBP圆内角转化为圆周角. ODCPAB构造垂径定理. OACDPB构造相似形 . M01ANO2两圆内切，构造外公切线与垂直 . 01CNO2DEABM两圆内切，构造外公切线与平行 . NAM02O1两圆外切，构造内公切线与垂直 . CBMNADEO 102两圆外切，构造内公切线与平行 . CEADBO两圆同心， 作弦心

17、距，可证得 AC=DB. ACBO102两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线. BACOPPA 、PB 是切线，构造双垂图形和全等. OABCDE相交弦出相似. OPABC一切一割出相似, 并且构造弦切角. OBCEADP两割出相似 , 并且构造圆周角 . OABCP双垂出相似, 并且构造直角 . BACDEF规则图形折叠出一对全等，一对相似. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - FEDBACOGH圆的外切四边形对边和相等 . AB

18、OCD若 AD BC都是切线，连结OA、 OB 可 证 AOB=180 ，即A、O 、B三点一线 . EACBOD等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心和切点 , 并构造相似形 . EFCDBAORt ABC 的内切圆半径： r=2cba. O补全半圆 . ABCo1o2AB=2221) rR(OO. CABo1o2AB=2221) rR(OO. ACDPOBPC过圆心， PA是切线，构造双垂、 Rt. BCDOAPO是圆心，等弧出平行和相似. DEMABCFNG作 AN BC ，可证出 : ANAMBCGF. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -