圆锥曲线——仿射变换(共14页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上仿射变换一、将坐标进行伸缩变换，实现化椭为圆仿射变换定理一：若经过椭圆的对称中心的直线构成的直径三角形，则两条弦的斜率乘积.仿射变换定理二：（拉伸短轴）；（压缩长轴）.拉伸短轴后点的坐标变化：，横坐标不变，纵坐标拉伸倍.斜率的变化：如图纵坐标拉伸了倍，故，由于.，（水平宽不变，铅垂高缩小）.压缩长轴后点的坐标变化：，纵坐标不变，横坐标缩小倍.斜率的变化：如图横坐标缩小了倍，故，由于.，（水平宽扩大，铅垂高不变）.例1（2013新课标）椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）A. ； B. ； C. ； D. .例2（2016

2、北京）已知椭圆过点两点.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值.例3（2014新课标）已知点，椭圆离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.（1）求的方程；（2）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.二、椭圆的角平分线定理仿射变换定理三：若点是椭圆上的点，与椭圆长轴交点为，在长轴上一定存在一个点，当且仅当时，即长轴为角平分线.若点是椭圆上的点，与椭圆短轴交点为，在短轴上一定存在一个点，当且仅当时，即短轴为角平分线.例4（2018全国卷）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1

3、）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.三、放射变换后圆心角为直角问题仿射变换定理四：若以椭圆的对称中心引出两条直线交椭圆于两点，且，则经过仿射变换后，所以为定值.仿射变换定理五：若椭圆上三点，满足；，三者等价.例5（2011山东）已知直线与椭圆交于两不同点，且的面积，其中为坐标原点.（1）证明和均为定值；（2）设线段的中点为，求的最大值；（3）椭圆上是否存在点，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由.例6（2016浙江二模）已知椭圆经过点，其离心率为，设是椭圆上的三点，且满足，其中为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：的面积是一个常数.四、中点弦与中垂线问

4、题（无需点差法也可证明）仿射变换定理六：中点弦问题，；中垂线问题，且.拓展1：椭圆内接中，若原点为重心，则仿射后一定得到为的等腰三角形；为等边三角形.拓展2：椭圆内接的平行四边形，在椭圆上，则仿射后一定得到菱形.例7（2015新课标）已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率；若不能，请说明理由.例8（2015浙江）已知椭圆上两个不同的点关于直线对称.（1）求实数的取值范围；（2）求面积的最大值（为坐标原点）.五、利用仿射变换解决椭圆与圆结合的面积问题

5、若椭圆内含有圆与直线相切，如图直线与圆相切于，交椭圆于点，求的最大值.首先进行仿射变换：，令，拉伸后可知，故当最大时，关键在于看的取值范围；根据几何性质，平行于轴时，最小，平行于轴时，最大.例9（2018武汉模拟）已知椭圆的右焦点为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于两点，且以为直径的圆经过原点，求证：点到直线的距离为定值；（3）在（2）的条件下，求面积的最大值.例10（2018江苏）如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，焦点，圆的直径为.（1）求椭圆及圆的方程；（2）设直线与圆相切于第一象限内的点.若直线与椭圆有且只有一个公共点，求点的坐标；直线与椭圆交于两点，若的面积为，

6、求直线的方程.六、定比分点和弦长公式仿射变换定理七：定比分点的比值不变性原理，.仿射变换定理八：弦长公式的转化，纵向拉伸并不改变横向的性质，设，则，即.例11（2011重庆）如图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程是.（1）求椭圆的标准方程；（2）设动点满足，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在定点，使得与点到直线的距离之比为定值；若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由.例12（2016四川）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆有且只有一个公共点.（1）求椭圆的方程及点的坐标；（2）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点，且与直线交于

7、点.求证：存在常数，使得，并求的值.例13（2016重庆模拟）椭圆，作直线交椭圆于两点，为线段的中点，为坐标原点，设直线的斜率为，直线的斜率为，.（1）求椭圆的离心率；（2）设直线与轴交于点，且满足，当的面积最大时，求椭圆的方程.达标训练1（2018三明期末）设椭圆的离心率为，且内切于圆.（1）求椭圆的方程；（2）若直线交椭圆于两点，椭圆上一点，求面积的最大值.2（2018龙海期末）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，是坐标原点.（1）求的方程；（2）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求直线的方程.3. 如图，已知是长轴为4的椭圆上的三点，点是长轴的右顶点，过椭圆中心

8、，且，.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过关于轴对称的点作椭圆的切线，则与有什么位置关系？证明你的结论.4（2016佛山二模）已知点是圆上一动点，点是在轴上的投影，为线段上一点，且与点关于原点对称，满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点做的切线与圆相交于两点，当面积取最大值时，求的方程.5（2018株洲期末）椭圆上的两点关于直线对称，则弦的中点坐标为（ ）A. ； B. ； C. ； D. .6（2016兰州模拟）已知椭圆的焦点坐标是，过点垂直于长轴的直线交椭圆于两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）过定点且斜率为的直线与椭圆相交于不同两点，试判断：在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形

9、为菱形？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.7（2018抚顺模拟）已知离心率为的椭圆，右焦点在椭圆上的点的距离的最大值为3.（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上的两个动点，直线与椭圆的另一个交点分别为，且直线的斜率之积等于，问四边形的面积是否为定值？请说明理由.8（2017淮北一模）已知椭圆，直线与圆相切且与椭圆交于两点.（1）若线段中点的横坐标为，求的值；（2）过原点作的平行线交椭圆于两点，设，求的最小值.9（2012山东）如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形的面积为8.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆有两个不同的交点，与矩形有两个不同的交点，求的最大值及取得最

10、大值时的值.10（2019成都模拟）已知椭圆的离心率为，且以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）若一条不过原点的直线与椭圆相交于两点，设直线的斜率分别为，且恰好构成等比数列，求的值.11. 如图，已知椭圆的中心在原点，左焦点为，左顶点为，且为的中点.（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆的方程为，椭圆的方程为，则称椭圆是椭圆的倍相似椭圆，已知是椭圆的3倍相似椭圆，若椭圆的任意一条切线交椭圆于两点，试求弦长的最大值.12（2016宁波二模）已知为椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，的面积为1，当点在椭圆上运动时，试问是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，求出的取值范围.专心-专注-专业