最短路径问题(珍藏版纯word版)(共6页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上 第11讲：轴对称【问题概述】初中数学最值问题是每年中考必出题，更是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查一【十二个基本问题】【问题 1】作法作图原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小。连 AB，与 l 交点即为 P两点

2、之间线段最短PA+PB 最小值为 AB【问题 2】作法作图原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小作 B 关于 l 的对称点 B连 A B，与 l 交点即为 P两点之间线段最短PA+PB 最小值为A B【问题 3】“将军饮马”作法作图原理在直线 l1 、 l2 上分别求点M、N，使PMN 的周长最小分别作点 P 关于两直线的对称点 P和 P，连 PP，与两直线交点即为 M，N两点之间线段最短PM+MN+PN 的最小值为线段 PP的长。【问题 4】作法作图原理在直线 l1 、 l2 上分别求点M 、N ，使四边形 PQMN的周长最小。分别作点 Q 、P 关于直线l1 、 l2 的对称点

3、 Q和 P连 QP，与两直线交点即为 M，N两点之间线段最短四边形 PQMN 周长的最小值为线段 QP的长。【问题 5】“造桥选址”作法作图原理直线 m n ，在 m 、 n，上分别求点 M、N，使 MNm ，且 AM+MN+BN的值最小。将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A，连 AB，交 n于点 N，过 N 作 NM m 于M .两点之间线段最短AM+MN+BN 的最小值为AB+MN【问题 6】作法作图原理在直线 l 上求两点 M、N（M在左），使 MN = a ，并使AM+MN+NB 的值最小 .将点 A 向右平移 a 个长度单位得 A，作 A关于 l的对称点 A，连 AB，交直线

4、l 于点 N，将 N 点向左平移 a 个单位得 M两点之间线段最短AM+MN+BN 的最小值为AB+MN【问题 7】作法作图原理在 l1 上求点 A，在 l2 上求点 B，使 PA+AB 值最小作点 P 关于 l1 的对称点P，作 PB l2于B，交l1 于 A点到直线，垂线段最短PA+AB 的值最小为PB 【问题 8】作法作图原理A 为 l1 上一定点，B 为 l2 上；A 为 l1 上一定点，B 为 l2上一定点，在 l2 上求点M在l1上求点N ， 使AM+MN+NB 的值最小作点 A 关于 l2 的对称点A，作点 B 关于 l1 的对称点 B，连 AB交l2 于M，交 l1 于 N .

5、两点之间线段最短AM+MN+NB 的最小值为线段 AB的长【问题 9】作法作图原理在直线 l 上求一点 P，使的值最小 .连 AB，作 AB 的中垂线与直线 l 的交点即为 P垂直平分上的点到线段两端点的距离相等0 .【问题 10】作法作图原理在直线 l 上求一点 P，使的值最大 .作直线 AB，与直线 l 的交点即为 P三角形任意两边之差小于第三边AB .【问题 11】作法作图原理在直线 l 上求一点 P，使的值最大 .作 B 关于 l 的对称点 B作直线 A B，与 l 交点即为 P三角形任意两边之差小于第三边AB .【问题 12】“费马点”作法作图原理ABC 中每一内角都小于120，在A

6、BC 内求一点P，使 PA+PB+PC 值最小所求点为“费马点”，即满足APBBPCAPC120以 AB、AC为边向外作等边ABD、ACE，连 CD、BE 相交于 P，点 P 即为所求两点之间线段最短PA+PB+PC 最小值CD二“一次对称”常见模型:【精品练习】1 如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（）A.2 B. 2 C.3 D. 2 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，ABC60，若将ACD 绕点 A 旋转，当 AC、AD分别与 BC、CD交于点 E

7、、F，则CEF 的周长的最小值为（ ）A.2 B.2 C.2 D. 4 3四边形 ABCD 中，BD90，C70，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使AMN 的周长最小时，AMN+ANM 的度数为（ ） A120B130C110D1404如图，在锐角ABC 中，AB4，BAC45，BAC45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和AB上的动点，则 BM+MN 的最小值是_。 5如图，RtABC 中，C90，B30，AB6，点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边上（不与点 B、C 重合），且 EDAE，则线段 AE 的取值范围是_。6如图，AOB30，点 M、N

8、分别在边 OA、OB 上，且 OM1，ON3，点 P、Q 分别在边 OB、OA 上，则 MPPQQN 的最小值是_（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即 RtABC 中，C90，则有 AC 2 + BC 2 = AB 2 ）7如图，三角形ABC 中，OABAOB15，点 B 在 x 轴的正半轴，坐标为 B( 6，0)OC 平分AOB,点 M 在 OC 的延长线上，点 N 为边 OA 上的点，则 MAMN 的最小值_。8已知 A（2，4）、B（4，2）C 在 y 轴上，D 在 x 轴上，则四边形 ABCD 的周长最小值为_。此时 C、D 两点的坐标分别为_。9已知 A（

9、1，1）、B（4，2）（1）P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值和此时 P 点的坐标；（2）P 为 x 轴上一动点，求 PA - PB 的值最大时 P 点的坐标；（3）CD 为 x 轴上一条动线段，D 在 C 点右边且 CD1，求当 AC+CD+DB 的最小值和此时 C 点的坐标；10 点 C 为AOB 内一点（1）在 OA 求作点 D，OB 上求作点 E，使CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若AOB30，OC10，求CDE 周长的最小值和此时DCE 的度数11（1）如图，ABD 和ACE 均为等边三角形，BE、CE 交于 F，连 AF，求证：AF+BF+CFCD；（2）在ABC 中，ABC30，AB6，BC8，A，C 均小于 120，求作一点 P，使 PA+PB+PC 的值最小，试求出最小值并说明理由12荆州护城河在 CC处直角转弯，河宽相等，从 A 处到达 B 处，需经过两座桥 DD、EE，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直如何确定两座桥的位置，可使 A 到 B 点路径最短？专心-专注-专业