第04讲-直线参数t的几何意义-2020届一轮复习数学套路之极坐标与参数方程(解析版)(共26页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第四讲 直线参数t的几何意义知识解读1直线的参数方程(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数为(2)由为直线的倾斜角知0，)时，sin 0.2直线参数方程中参数t的几何意义参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离(1)当与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数(2)当与e反向时，t取负数，(3)当M与M0重合时，t0.3.经过点P(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0=； (2)|PM|=|t0|=；(

2、3)|AB|=|t2t1|；(4)|PA|PB|=|t1t2|（5）（注：记住常见的形式，P是定点，A、B是直线与曲线的交点，P、A、B三点在直线上）【特别提醒】(1)直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|=|t|.(2)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为，则弦长；知识运用考向一 参数t的系数的平方和为1【例1】已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l经过定点P(3,5)，倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；(2)设直线l与曲线C相交于A

3、，B两点，求|PA|PB|的值【答案】（1）见解析 （2）3【解析】(1)曲线C：(x1)2(y2)216，直线l：(t为参数)(2)将直线l的参数方程代入圆C的方程可得t2(23)t30，设t1，t2是方程的两个根，则t1t23，所以|PA|PB|t1|t2|t1t2|3.学科&网【总结套路】第一步-化：曲线化成普通方程，直线化成参数方程；第二步-查：检查直线参数t的系数平方和是否为1，如果是，进行第三步；第三步-代：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t的一元二次方程：第四步-写：写出韦达定理：第五步-选：选择公式代入计算。【举一反三】1.已知曲线C1的极坐标方程为， C2的参数

4、方程为（1）将曲线C1与C2的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）若C1与C2相交于A、B两点，求.【答案】(1)曲线C1的普通方程y2=4x ,C2的普通方程x+y-6=0 ；（2）【解析】（1）曲线C1的普通方程为y2=4x，曲线C2的普通方程为x+y-6=0（2） 将C2的参数方程代入C1的方程y2=4x，得整理可得 ，由韦达定理可得2.已知曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为.（）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（）设直线l与曲线C交于A、B两点，求的值.【答案】（）曲线C的直角坐标方程为：x2+(y-

5、2)2=4，直线l的参数方程为（）.【解析】（）因为曲线C的极坐标方程是即曲线C的直角坐标方程为：x2+(y-2)2=4直线l的参数方程即 （）设点A、B对应的参数分别为t1，t2将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得整理，得，由韦达定理得因为t1t20，所以考向二 t 系数平方和不等于1【例2】在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以为极点， 轴的非负半轴为极轴，曲线的极坐标方程为： .（）将曲线的方程化为普通方程；将曲线的方程化为直角坐标方程；（）若点，曲线与曲线的交点为，求的值.【答案】() ；（）.【解析】（） ，即： ； ，即： （）方法一：由t的几何意义可得C1

6、的参数方程为代入得，.方法二：把代入得所以， 所以【总结套路】直线参数t几何意义运用最终版套路第一步-化：曲线化成普通方程，直线化成参数方程；第二步-查：检查直线参数t的系数平方和是否为1，如果是，进行第三步； 如果否，则先化1.第三步-代：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t的一元二次方程：第四步-写：写出韦达定理：第五步-选：选择公式代入计算。【举一反三】1.在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设点M(,0)，直线l与曲线C交于不同的两点

7、A、B，求的值.【答案】（1）直线l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程(x-2)2+y2=4；（2）【解析】（1）直线l的普通方程为因为曲线C的极坐标方程为.所以曲线C的直角坐标方程(x-2)2+y2=4；(2)点M(,0)在直线l上，且直线l的倾斜角为120，可设直线的参数方程为：代入到曲线C的方程得：，由韦达定理得由参数的几何意义知。2.以直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.（）求直线和曲线的普通方程；（）直线与轴交于点，与曲线交于， 两点，求.【答案】(1) C的普通方程为, l的普通方程为;(2) .【解析】（），

8、化为，即l的普通方程为，消去，得C的普通方程为.（）在中令y=0得P(3,0），倾斜角，l的参数方程可设为即，代入得， ， ， .学科&网考向三 常考公式的变形运用【例3】已知直线的参数方程为（其中为参数， 为常数），以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于点两点.（1）若，求实数的值；（2）若，点坐标为，求的值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）曲线C的极坐标方程可化为，转化为普通方程可得，即.把代入并整理可得，由条件可得，解之得.设A、B对应的参数分别为，则， ， ，解之得或；（2）当m=1时， 式变为， ， ，由点P的坐标为(1,0)可得

9、.举一反三1.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为(1,0)，若直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程是（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求.【答案】（1）直线l的直角坐标方程x-y-1=0，曲线C的普通方程y2=4x；（2）1【解析】（1）由，得x-y-1=0因为曲线C的参数方程是得y2=4x，所以直线l的直角坐标方程为x-y-1=0，曲线C的普通方程为y2=4x.（3） 点M的直角坐标为(1,0)，点M在直线l上.设直线l的参数方程为代入y2=4x，得.设点A、B对应的参数分别为t1、t2，

10、则，.2.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，且设定点P(2,1)，求的值.【答案】（1）l普通方程为x-y-1=0，C直角坐标方程为；（2）【解析】（1）由直线l的参数方程消去t，得普通方程为x-y-1=0.因为曲线C的极坐标方程为.得曲线C的直角坐标方程为.（2）点P(2,1)在直线x-y-1=0上，所以直线l的参数方程可以写为，将上式代入，得.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则，考向四 利用t的几何意义求参数【例4】在平面直

11、角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设直线l的极坐标方程为（R），若直线l与曲线C交于M，N两点，且|MN|，求直线l的直角坐标方程【答案】（1）曲线C的极坐标方程为24cos50（2）【解答】（1）曲线C的参数方程为，曲线C的普通方程为（x2）2+y29，即x2+y24x50，曲线C的极坐标方程为24cos50（2）直线l的极坐标方程为（R），直线l的参数坐标方程为，代入（x2）2+y29，得（tcos2）2+（tsin）29，整理，得t24tcos50，设M，N两点对应的参数分别为t1，t

12、2，则t1+t24cos，t1t25，|MN|t1t2|解得，直线l的斜率为ktan直线l的直角坐标方程为【举一反三】1.在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线相交于两点，且，求实数的值.【答案】（1）曲线C的普通方程为，直线l的直角坐标方程为；（2）或m=0或m=2.【解析】（1）曲线C的参数方程是（为参数）故曲线C的普通方程为.因为直线l的极坐标方程为.所以直线l的直角坐标方程为.（2）直线l的参数方程可以写为（为参数）.设A、B两点对应

13、的参数分别为，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得到，所以 或，解得或m=0或m=2.2.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为其中a0，直线l与曲线C相交于M，N两点.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若点P(0,0)满足，求a的值.【答案】（1）y=x2（2）【解析】（1）由题意，曲线C的极坐标方程可化为：，得曲线C的直角坐标方程为：y=x2.（2）将直线l的参数方程代入y=x2，得：，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则所以解得所以.学科&网考向五 求最值【例5】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参

14、数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的直角坐标方程；（2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于不同的两点， ，求的取值范围.来源:学。科。网【答案】(1) ;(2) .【解析】（） ;（）因为点P在椭圆C的内部，故l与C恒有两个交点，即，将直线l的参数方程与椭圆C的直角坐标方程联立，得，整理得，则.【举一反三】1已知直线l过点P(0,1)，曲线参数方程，直线l与曲线C相交于A、B两点.（1）若直线l的倾斜角为，求线段AB的长；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】（1）l参数方程为：代入曲线C的方程得：则 （2） l:参数方程为：代

15、入曲线C的方程得：2.在直角坐标系中，直线l的参数方程为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)当时，写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；(2)已知点P(-1,1)，设直线l与曲线C交于A，B两点，试确定的取值范围【答案】（1）直线l的普通方程，曲线C的直角坐标方程；（2）【解析】（1）当时，直线l的参数方程为由曲线C的极坐标方程为,所以曲线C的直角坐标方程(2)由直线l的参数方程为可知直线l是过点P（-1，1）且倾斜角为的直线，又由（1）知曲线C为椭圆，所以易知点P（-1，1）在椭圆C内，将代入中并整理得设A，B两点对应的参数分

16、别为t1、t2，则所以精选习题1.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 .现以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点坐标为，直线交曲线于两点，求的值.【答案】（1）， ；（2）.【解析】（1）由消去参数t，得直线l的普通方程为又由得，由得曲线C的直角坐标方程为（2）其代入得，则所以.2.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为在极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴中，圆C的方程为(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为，求的值

17、【答案】（1）（2）【解析】(1)圆C的方程为，圆C的直角坐标方程为.(2) 将直线l的参数方程为代入，得设t1，t2是上述方程的根，则，3.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）写出直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）过点且与直线平行的直线交于， 两点，求.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】（1）由消去参数t，得直线l的普通方程为又由得，所以曲线C的直角坐标方程为 （2） 过点且与直线l平行的直线的参数方程为将其代入得，则，所以学科&网4.已知直线l的参数方程为,曲线C的极坐标方程为.

18、（I）分别将直线l的参数方程和曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（II）若直线l经过点(0,1)，求直线l被曲线C截得线段的长【答案】（I）x+y-a=0,y2=4x；(II) 8.【解析】(I）因为直线l的参数方程为所以l的普通方程x+y-a=0。因为曲线C的极坐标方程为.所以曲线直角坐标方程C：y2=4x(II)直线l 过（0，1），则a=1,将直线l的参数方程代入y2=4x得，由直线参数方程的几何意义可知。5在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为。（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）直线与曲线

19、C交于A、B两点，记弦AB的中点为Q，点，求.【答案】（1）曲线C的直角坐标方程为，直线l的普通方程为；（2）【解析】（1）因为曲线C的极坐标方程为。所以曲线C的直角坐标方程为因为直线l的参数方程为所以直线l的普通方程为（2）易知点在直线l上，则直线l的参数方程为将其代入曲线C的直角坐标方程可得，所以所以6已知圆锥曲线和定点，F1,F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线AF2的直角坐标方程；（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求的值.【答案】（1）（2）.【解析】（1）因为曲线得圆锥曲线C的直角坐标方程为，椭圆

20、C的左焦点为F1(-1,0)，右焦点为F2(1,0)，直线AF2的直角坐标方程为.（2）直线l与直线AF2垂直且过点F1(-1,0)，直线l的参数方程为。将其代入得7已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l过点P(-1，2)，且倾斜角为，圆C的极坐标方程为（）求圆C的普通方程和直线l的参数方程； （）设直线l与圆C交于M、N两点，求的值【答案】() 圆C的方程为：；直线l的方程为：（）【解析】（1）因为圆C的极坐标方程为所以圆C的普通方程为：因为直线l过点P(-1，2)，且倾斜角为所以直线l的方程为：（）将直线l的参数方程代入圆C的方程，得：所以8.已知曲

21、线的极坐标方程是.以极点为平而直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）（）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值.【答案】（1）（2）或.【解析】（1）由得， ， ，曲线C的直角坐标方程为，即.（2）将代入圆的方程，化简得.设A、B两点对应的参数分别为、，则.，即或.9.已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为 (t为参数，为倾斜角)，曲线C的极坐标方程为4cos (其中坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)(1)写出曲线C的直角坐标方程；(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M，N，

22、设P(4,2)，求|PM|PN|的取值范围【答案】（1）x2+y2-4x=0；（2）【解析】(1)4cos ，24cos ，曲线C的直角坐标方程为x2y24x.(3) 直线l的参数方程 (t为参数)，代入x2y24x，得t24(sin cos )t40，sin cos 0，又0，且t10，t20)因为直线l的参数方程为直线l的普通方程为x-y-2=0；（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax中，得，化简得，设A,B两点对应的参数方程分别为t1、t2，则有因为，所以，所以64+16a+a2=80+10a整理得a2+6a-16=0，解得a=2或-8所以a的值为2.12.已知曲线E

23、的极坐标方程为，倾斜角为的直线l过点P(2,2).（1）求曲线E的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设l1,l2是过点P且关于直线x=2对称的两条直线，l1与E交于A、B两点，l2与E交于C, D两点. 求证：.【答案】（1）曲线E的直角坐标方程（2）见解析【解析】（1）因为直线l倾斜角为，且过点P(2,2)，所以其参数方程为：（2）关于直线x=2对称，的倾斜角互补，设l1的倾斜角为，则的倾斜角为,把直线(t为参数)代入,并整理得：根据韦达定理，. 同理即.13.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为，其左焦点F在直线l上.（1）若直线l与椭圆C交于A、B两点，求的值；（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）椭圆C的极坐标方程为c2481632，所以F的坐标为（，0），又因为F在直线l上，所以m=把直线l的参数方程代入x23y248，化简得t24t80，所以t1t24，t1t28，（2）由椭圆C的方程，可设椭圆C上在第一象限内的任意一点M的坐标为内接矩形的面积，当时，面积S取得最大值学科&网专心-专注-专业