2022年初中几何最值问题doc资料.pdf

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1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流一、三点共线1、构造三角形【例 1】在锐角ABCV中，AB=4，BC=5，ACB=45 ，将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，得到 A1BC1点E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在 ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P1，求线段 EP1长度的最大值与最小值P1C1A1PECBA【巩固】以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作 AOB 和COD，其中 ABO=DCO =30 如图，若BO=3 3，点 N 在线段 OD 上，且 NO=2点 P 是线段 AB 上的一个动点，在将

2、 AOB 绕点 O 旋转的过程中，线段PN 长度的最小值为_，最大值为 _OPNDCBAOCDN备用图初中几何最值问题例题精讲精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流【例 2】如图，90MON ，矩形 ABCD 的顶点 AB 分别在边OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时， A随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点

3、O 的最大距离为 _ 【巩固】已知：AOB中，2ABOB，COD中，3CDOC,ABODCO.连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点 .若A、O、C三点在同一直线上，且2ABO，固定AOB，将COD绕点O旋转，则PM的最大值为 _ PNMDCBAO【巩固】在平面直角坐标系xOy 中，点 A 、 B 分别在x轴、y轴的正半轴上，点M 为线段 AB 的中点点D 、 E分别在x轴、y轴的负半轴上，且10DEAB以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，请求出线段MG长度的最大值，并直接写出此时直线MG所对应的函数的解析式GFEDxyOABM精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

4、- - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流【例 3】如图，已知11(,)2Ay，2(2,)By为反比例函数1yx图像上的两点，动点( ,0)P x在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是 _ 2、轴对称【例 1】求22341xx的最小值【例 2】ABCD是半 径 为5 的Oe的两条弦，8AB，6CD，MN为直径 ，ABMN于点E,CDMN于点F，P为EF上任意一点，则+PA PC的最小值为 _ PO

5、NMFEDCBA【巩固】 设半径为 1 的半圆的圆心为O，直径为AB,CD、是半圆上两点，若弧AC的度数为96 ，弧BD的度数为36 ，动点P在直径AB上，则+CP PD的最小值是 _ 【巩固】设正三角形ABC的边长是2，M是AB边上的中点，P是边BC上任意一点，则+PA PM的最大值为 _,最小值为 _ y x O A B P 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流【例 3】

6、如图，已知等边ABC的边长为1，D、E、F 分别是 AB、 BC 、AC 边上的点（均不与点A、B、C 重合） ，记 DEF的周长为p.若 D、E、F分别是 AB、BC、AC边上任意点， 则p的取值范围是. FEDCBA【例 4】如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线yx22x3 与 x 轴交于 AB 两点，与y 轴交于点C，点 D 是抛物线的顶点（1）求直线 AC 的解析式及BD 两点的坐标；（2）请在直线AC 上找一点 M，使BDM 的周长最小，求出点M 的坐标图 1 【例 5】如图，直线323yx分别交 x 轴、y 轴于 C、A 两点，将射线AM 绕点 A 顺时针旋转45 得到射线 A N

7、，D 为 AM 上的动点， B 为 AN 上的动点，点C 在 MAN 的内部（1）当 AMx 轴，且四边形ABCD 为梯形时，求BCD的面积；（2）求 BCD 周长的最小值；（3）当 BCD 的周长取得最小值，且5 23BD时，求BCD的面积A x y 1 O D 2 1 2 M N B 3 4 C A x y 1 O 2 1 2 3 4 C 备用图A x y 1 O 2 1 2 3 4 C 备用图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - -

8、 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流【例 6】在直角坐标系中，1, 2A，4,1B，,0C m，,D n n为四边形的4 个顶点，当四边形ABCD的周长最短时，mn_ OyxABCD【巩固】如图1，抛物线 yax2bxc（a0 ）的顶点为C（1，4），交 x 轴于 A、B 两点，交y 轴于点 D，其中点 B 的坐标为（ 3，0）。（1）求抛物线的解析式；（2）如图 2，过点 A 的直线与抛物线交于点E，交 y 轴于点 F，其中点E 的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为直线 PQ 上的一动点，则x 轴上师范存在一点H，使 D、G、H、F四点所围成的四边形周

9、长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。图 13 ABxyODC图 2 ABxyODCPQEFABxyODC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流【例 7】已知，如图1，二次函数2230yaxaxa a的图像的顶点为H ，与x轴交于 AB、 两点（ B 在A 的右侧），点HB、 关于直线 l ：333yx对称（1）求 AB、 两点的坐标，并证明点A

10、 在直线 l 上；（2）求二次函数的解析式；（3）过点 B 作 BKAH交直线 l 于点 K ， MN、分别为直线AH 和直线 l 上的两个动点，连结HNNMMK、，求 HNNMMK 的最小值图1yxlHKBOA【巩固】 如图， 在平面直角坐标系xOy 中,二次函数232yxbxc的图象与x轴交于A（-1,0）、B（3,0）两点, 顶点为C . (1) 求此二次函数解析式；(2) 点D为点 C 关于 x 轴的对称点，过点A作直线 l ：3333yx交 BD 于点 E，过点B作直线BKAD交直线 l 于K点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在

11、，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在（2）的条件下，若M、 N 分 别为直线AD和直线 l 上的两个动点，连结DN 、 NM 、MK，求 DNNMMK 和的最小值 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流【例 8】在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点A、B 分别在x轴、y轴的正半轴上，3OA，4OB，D 为边 OB 的中点 . （）若

12、 E 为边 OA 上的一个动点，当CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；（）若 E 、 F 为边 OA 上的两个动点，且2EF，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、 F 的坐标 . 【巩固】已知点A（3，4），点 B 的坐标为（ 1，1）时，在 x 轴上另取两点E，F，且 EF=1线段 EF 在x 轴上平移，线段EF 平移至何处时，四边形ABEF 的周长最小？求出此时点E 的坐标y B O D C A x E Dy B O D C A x 温馨提示：如图，可以作点 D 关于x轴的对称点D，连接CD与x轴交于点 E，此时 CDE的周长是最小的.这样，你只需求出 OE的长，就可以确定点E的精

13、品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流【例 9】已知直线112yx与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212yxbxc与直线交于A、E两点，与x轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为 (1，0). （1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC的值最大，求出点M 的坐标。【巩固】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线364yx与x轴、y轴的交点分别

14、为A、B，将OBA 对折，使点O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交x 轴于点 C. （1）直接写出点C 的坐标，并求过A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为 T， Q 为线段 BT 上一点，直接写出QAQO的取值范围 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流3、旋转【例 1】如图，已知在 ABC 中，BC=a，AC=b，以 AB

15、为边作等边三角形ABD.当 ACB 变化 ,且点 D 与点 C位于直线 AB 的两侧时，求CD 的最大值及相应的ACB 的度数 . 【例 2】如图， 在平面直角坐标系xOy 中，点B的坐标为 (0,2) ，点D在x轴的正半轴上，30ODB，OE为BOD 的中线，过B、E两点的抛物线236yaxxc 与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）（1）求抛物线的解析式；（2）点P为三角形 ABO 内的一个动点，设mPAPBPO ，请直接写出m的最小值 ,以及m取得最小值时，线段AP的长 . EOGFAyxDB【巩固】已知矩形ABCD，=10AD，=6AB，在矩形ABCD内有一点P，在BC边上有一点H,分

16、别确定点P和H的位置，使得APDPPH最小HPDCBAABCD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流【巩固】直角梯形ABCD中，90BC，在梯形内求作一点O使OQBC于Q且+O+OAD OQ的值最小QODCBA二、垂线段最短【例 1】已知10AB,P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和BP为边作两个等边三角形APC和BPD，则线段CD长度的最小值是_ PDCBA【例

17、2】如图， 在锐角ABCV中，4 245ABBAC，BAC的平分线交BC于点DMN，、分别是AD和AB上的动点，则BMMN的最小值是 _ 【巩固】 矩形ABCD中，20AB，10BC.在AC、AB上各取一点M、N，使+BM MN的值最小，求这个最小值A B C D N M 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流NMDCBA【例 3】如图，在ABC中， AB=15，AC=12，

18、BC=9，经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA 分别相交于点 E、F，则线段EF长度的最小值是_ FECBA【例4】已知在ABCV的BC边上取一点D，设ABDV和ACDV的外接圆的圆心分别是O和O，求：使两圆半径为最小值时点D 的位置DOOCBA【巩固】点M在ABCV的AC边上，分别作ABMV和CBMV的外接圆。问当M点在什么位置时，两外接圆公共部分的面积最小？MOOCBA【例 5】在已知ABCV内，作内接矩形DEMN，使一边DE在最大边BC上，另外两个顶点M、N分别在边AC， AB上。试确定矩形DEMN的位置，使对角线DM 长最短 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -

19、- - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流NMEDCBA【巩固】点P在锐角ABCV的边上运动，试确定点P的位置，使+PA PB PC最小，并证明你的结论. 【例 6】如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于AB、两点，D为抛物线的顶点，O为坐标原点若OAOB OAOB、（）的长分别是方程2430 xx的两根，且45DAB （1）求抛物线对应的二次函数解析式；（2）过点A作ACAD交抛物线于点C，求点C的坐标；（ 3）在

20、（ 2）的条件下，过点A任作直线l交线段CD于点P，求CD、到直线l的距离分别为12dd、，试求12dd+的最大值yc Cc l xc Bc Pc Dc A O 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流【例 7】在直角坐标系中，点 A 坐标为 （-3，-2），圆 A 的半径为1，P为 x 轴上一动点， PQ 切圆 A 于点 Q，则当 PQ 最小时， P 点的坐标为 _ 【巩固】

21、如图，在平面直角坐标系中，已知OAB是等腰三角形（OB为底边），顶点A的坐标是24（，），点B在x轴上，点 Q 的坐标是60，ADx轴于点D，点C是AD的中点，点P是直线BC上的一动点（1）求点C的坐标（2）以点P为圆心、2为半径作圆，得到动圆Pe，过点 Q 作Pe的两条切线，切点分布为EF、，问：是否存在以OEPF、 为顶点的四边形的最小面积为S？若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由QOyxDCBA三、与圆相关的最值1、过圆内任一点的弦中，最长的弦是直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的弦【例 1】如图，O的半径为5，点P到圆心O的距离为10，如果过点P作弦，那么长度为整数值的弦的条数为

22、_ PO精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流2、设A是O 内一点，在连接A与圆上各点的线段中，圆心所在线段最短，圆心在其反向延长线上的线段最长；设A是O 外一点，在连接A与圆上各点的线段中，圆心所在线段最长，圆心在其延长线上的线段最短【例 1】在直线 MN 的同侧有定点A 及定圆圆O，试在 MN 上求一点P，在圆O上求一点Q，使APPQ最短APQONM【例 2】点P在图形M

23、上，点 Q 在图形 N 上，记maxdMN，为线段 PQ 长度的最大值，mindMN，为线段 PQ 长度的最小值，图形MN、的平均距离maxmin2dMNdMNEd MN，（1）在平面直角坐标系xOy 中，Oe是以 O 为圆心， 2 为半径的圆，且1322A，2 23B，求Ed AOe，及Ed BOe，；（直接写出答案即可）（2）半径为 1 的Ce的圆心与坐标原点O重合，直线34 3-33yx与x轴交于点D，与y轴交于点F，记线段DF为图形G，求Ed GCe，（ 3）在（ 2）的条件下，如果Ce的圆心C从原点沿x轴向右移动，Ce的半径不变，且52Ed GCe，求圆心C的横坐标精品资料 - -

24、- 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流3、过圆上点作割线的垂线段，当圆心在这垂线段上时，该点是圆上所有点中到这割线的距离最长的点【例 1

25、】已知：AB是Oe中一条长为4的弦，P是Oe上一动点，1cos3APB 问是否存在以APB、为顶点的面积最大的三角形,试说明理由；若存在，求出这个三角形的面积4、过圆上的一点作与圆相离的直线的垂线段，当圆心在这条垂线段上时，这点是圆上所有点与该直线距离最长的点；当圆心在这条线段的反向延长线时，这点事圆上所有点与该直线距离最短的点【例 1】如图， AB 是半圆的直径，线段CAAB 于点 A，线段DB 上 AB点 B，AB=2， AC=1，BD=3，P是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB 的最大面积是 _ OPDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -

26、欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流5、一条弧所对的圆内角大于它所对的圆周角，而这圆周角则大于该弧所对的圆外角【例 1】B 为MON的边OM上的两点，试在ON上求作一点C，使ACB最大CNMOBA【例 2】如图所示，直线CD与线段AB为直径的圆相切于点D，并交BA的延长线于点C，且2AB，1AD，P点在切线CD上移动 .当APB的度数最大时，则ABP的度数为 _ 四 、转化类【例 1】如图，正方形ABCD的边长为 1，点 P为边 BC上任意一点（可

27、与B 点或 C 点重合），分别过B、C、D 作射线 AP 的垂线，垂足分别是B、 C、 D，则 BB+CC +DD的最大值为 _，最小值为_PDCBDCBA【巩固】在ABCV中，120A，6BC，若ABCV的内切圆半径为r，则r的最大值为 _ P O A C D B 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流【例 2】已知抛物线2yaxbxc经过43A， 、20B，两点，当3x和

28、3x时，这条抛物线上对应的纵坐标相等经过点C02，的直线 l 与x轴平行， O 为坐标原点（1）求直线 AB 和这条抛物线的解析式；（2）以 A 为圆心， AO 为半径的圆记为圆A ,判断直线 l 与圆 A的位置关系，并说明理由；（3）设直线 AB 上的点 D 的横坐标为1,P mn，是抛物线2yaxbxc上的动点，当PDO的周长最小时，求四边形CODP 的面积【例 3】在平面直角坐标系xOy 中， O 的半径为 2，且 A（4， 0） ，B（4，4） ，点 P 在 O 上运动。（1）求 2BP+AP 的最小值。（ 2）若点 M 是函数4yx（x0,x2 ）的图象上一点，MEx 轴于点 E，M

29、F y 轴于点 F，记 M 的横坐标为 t（t0,t2 ）,请用含 t 的表达式表示22tPEPFt的最小值。BAOOyx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流【巩固】在平面直角坐标系xOy中，抛物线222yxmxmm的顶点为C. （1）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；（2）直线2yx与抛物线交于A、B两点， 点A在抛物线的对称轴左侧.抛物线的对称轴与直线AB交于点M，

30、作点B关于直线MC的对称点B. 以M为圆心，MC为半径的圆上存在一点Q，使得22QBQB的值最小，则这个最小值为_ . 【例 4】已知抛物线21yaxbx经过点13A， 和点21B，（1）求此抛物线解析式；（2）过点B作x轴的垂线，垂足为E点点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点，再沿FE到达E点，若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的2倍，试确定点F的位置，使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短（要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明）21321Oyx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - -

31、- - - - - - -第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流【巩固】在平面直角坐标系xOy 中，设 G 为 y 轴上一点，点P 从点0,63，)出发，先沿y 轴到达 G 点，再沿 GA 到 A(6，0)点若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2 倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短(要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明 ) 【例 5】射线OM垂直平分CD,垂足为O，10CD,点 A 、 B 为射线OM上两动点，且OBCODA，求+OA OB的最小值MBAODC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - - -