2022年数值分析期末复习资料.pdf

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1、word 数值分析期末复习题型：一、填空二、判断三、解答（计算）四、证明第一章误差与有效数字一、 有效数字1、 定义：若近似值 x*的误差限是某一位的半个单位，该位到 x*的第一位非零数字共有n 位，就说 x*有 n 位有效数字。2、 两点理解：（1） 四舍五入的一定是有效数字（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. 3、 定理 1（P6） ：若 x*具有 n 位有效数字，则其相对误差限为4、 考点：（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题 3）二、 避免误差危害原则1、 原则：（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2= c / a

2、）（2） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. 或（3） 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题 14 三、 数值运算的误差估计1、 公式：（1） 一元函数：| *( f (x*)| | f (x*)| |*(x)| 或其变形公式求相对误差 （两边同时除以 f (x*)）eg.P19习题 1、2、5 （2） 多元函数（ P8）eg. P8例 4，P19习题 4 *(1)11102nra;xxxx;1lnlnlnxxxxcos12sin22x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，

3、共 18 页 - - - - - - - - - - word 第二章插值法一、 插值条件1、 定义：在区间 a,b上，给定 n+1 个点， ax0 x1 xnb 的函数值yi=f(xi)，求次数不超过 n 的多项式 P(x)，使2、 定理：满足插值条件、 n+1个点、点互异、多项式次数n 的 P(x)存在且唯一二、 拉格朗日插值及其余项1、 n 次插值基函数表达式（ P26（2.8） ）2、 插值多项式表达式（ P26（2.9） ）3、 插值余项（ P26（2.12） ） ：用于误差估计4、 插值基函数性质（ P27（2.17 及 2.18） ）eg.P28例 1 三、 差商（均差）及牛顿插

4、值多项式1、 差商性质（ P30） ：（1） 可表示为函数值的线性组合（2） 差商的对称性：差商与节点的排列次序无关（3） 均差与导数的关系（ P31（3.5） ）2、 均差表计算及牛顿插值多项式四、埃尔米特插值（书P36）两种解法：（1） 用定义做：设 P3(x)=ax3+bx2+cx+d，将已知条件代入求解（ 4 个条件：节点函数值、导数值相等各 2 个）（2） 牛顿法（借助差商）：重节点 eg.P49习题 14 五、三次样条插值定义niyxPiin,2 , 1 ,0)(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -

5、- - - -第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - - word （1） 分段函数，每段都是三次多项式（2） 在拼接点上连续（一阶、二阶导数均连续）（3）考点：利用节点函数值、导数值相等进行解题第三章函数逼近与曲线拟合一、 曲线拟合的最小二乘法解题思路：确定i，解法方程组，列方程组求系数（注意i应与系数一一对应） eg.P95习题 17 形如 y=aebx解题步骤：（1）线性化（ 2）重新制表（ 3）列法方程组求解（ 4）回代第四章数值积分与数值微分一、 代数精度1、 概念： 如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式准确成立，但对于 m+1次多项式不准确成立，则称该求积

6、公式具有m 次代数精度2、 计算方法：将 f(x)=1,x,x2, xn代入式子求解eg.P100例 1 二、 插值型的求积公式求积系数定理：求积公式至少具有n 次代数精度的充要条件是：它是插值型的。njyxSjj,1,0,)(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - - word 三、 牛顿-科特斯公式1、 掌握科特斯系数n=1,2的情况即可（ P104表 4-1） ，性质：和为 1，对称性2、 定理 ：当 n 为奇数时，牛顿 -柯斯特公式

7、至少有n 次代数精度；当阶n 为偶数时，牛顿 -科特斯公式至少具有 n+1次代数精度3、 在插值型求积公式中求积节点取为等距节点，即,kbaxakh hn，k=0，1，2，.n。则可构造牛顿 -柯斯特求积公式 : ( )( )n00000( 1)=b-a(),!()nnn knnnnnkkkkjjjkjkbatjICf xCdttj dthkjnknk（）！n=1 时，求积公式为梯形公式：2babafx dxf af bn=2 时，求积公式为辛普森公式：462babaabfx dxfaff bn=4 时，求积公式为柯特斯公式：012347321232790babafx dxfxfxfxfxfx

8、4、 低阶求积公式的余项：梯形公式：2,12TbaRbafa b辛普森公式：44,1802SbabaRfa b柯特斯公式：662,9454CbabaRfa b5、 复合梯形公式及余项（P106）1122nnkkhTfafxf b1210b-a,12nnnkkkkkRfITh fxx6、 复合辛普森公式及余项（P107）121101426nnnkkkkhSfafxfxfb41410b-a,1802nnnkkkkkhRfISfxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 18 页 - - -

9、 - - - - - - - word 四、 高斯型求积公式（书P117-120）1、定义：如果求积公式具有2n+1 次代数精度，则称其节点xk为高斯点。求积公式：21201,bbnnkkkkknkaafxx dxA f xAxdxxxx余项：222122 !nbnnafRfxx dxn2、第五章解线性方程组的直接方法一、 高斯消去法：利用增广矩阵二、 LU分解Ly=b ；Ux=y 1、特点： L对角线均为 1，第一列等于 A 的第一列除以 a11；U 的第一行等于 A 的第一行2、LU分解唯一性： A 的顺序主子式 Di0 三、 平方根法：;TLyb L xy例题：用平方根法解对称正定方程组

10、解：先分解系数矩阵A 91096858137576321xxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - - word 改进平方根法：1,TALDLLyb DL xy四、追赶法： A=LU ，Ly=f ，Ux=y 11112222211111111nnnnnnnnnbcabcrAabcrab五、 范数（误差分析）1、向量范数定义及常用范数i1 i nx=max x范数（最大范数）：ni1i=11x=x范数：1n22i2i=12x=x范数：1pi

11、=1px=x, 1NPpiP范数：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - - word 2、矩阵范数定义及常用范数nij1 i nj=1=maxaA范数（行范数）：nij11j ni=11= maxaA范数（列范数）：max22=TAA A范数：1n22iji,j=1=aFFA范数：其中maxTA A表示半正定矩阵TA A的最大特征值，矩阵的前三种范数分别与向量的前三种范数相容3、条件数条件数是线性方程组Ax=b的解对 b 中的误差或不确定

12、度的敏感性的度量。数学定义为矩阵 A 的条件数等于 A 的范数与 A 的逆的范数的乘积，即1cond AAA的逆 ，对应矩阵的 3 种范数，相应地可以定义3 种条件数。条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于线性方程组Ax=b，如果 A 的条件数大， b的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。如果A 的条件数小， b 有微小的改变， x 的改变也很微小，数值稳定性好。它也可以表示b 不变，而 A 有微小改变时， x 的变化情况。所以当 cound（A）1时，方程组 Ax=b是病态的，否则称为良态4、条件数的性质：1( )1.vAcond A、对任何非奇异矩阵，都有11( )1.

13、vvvvcond AAAA AI由定义20()( )vvAccond cAcond A、设 为非奇异矩阵且（常数），则22223()1()()( ) .Acond AARcond RAcond ARcond A、如果 为正交矩阵，则 ；如果为非奇异矩阵，为正交矩阵 , 则n62361112n1123ilbert=1n+1111nn+12n-1cound=27 cond748 cond(H )=2.910()ncond H例： H阵 H（H）（H）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共

14、18 页 - - - - - - - - - - word 第六章解线性方程组的迭代法一、 迭代法：k 10 xkB xf迭代法收敛的两种判断方法：1、 若A是nn矩阵，且满足iiijjiaa()iiijjiaa（1, 2,in） ，则称A为对角占优矩阵 （严格对角占优矩阵）。2、 （非常重要） 谱半径小于 1 收敛即：1max1ii nA（谱半径越小，收敛速度越快）3、 收敛性判别条件：1)SOR迭代法收敛的必要条件： SOR迭代收敛，则 0W2。2)SOR迭代法收敛的充要条件： A 为对称正定矩阵且0W2，则 SOR收敛。根据迭代法收敛性定理，SOR法收敛的充分必要条件为1wG，但要计算w

15、G比 较复杂，通常都不用此结论，而直接根据方程组的系数矩阵A 判断 SOR迭代收敛性，下面先给出收敛必要条件 . 定理 1： 设,01,2,.n nijijAaRain， 则解方程 Ax=b 的 SOR迭代法收敛的必要条件是 02. 定理 2： 若n nAR对称正定，且 02，则解 Ax=b的 SOR迭代法1kkxGxf对nxR迭代收敛 . 对于 SOR迭代法，松弛因子的选择对收敛速度影响较大，二、雅克比迭代法11 11221121 1222221 122.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb0iia11 221111221122221 1111.1

16、.1.nnnnnnnnnnnnxa xa xbaxa xa xbaxa xaxbaAx=b 1kkxBxf（f=b）由方程 Ax=b解得：11,1,2,3.niiijjjiij ixba xina精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - - word 对该方程应用迭代法即得解方程组Ax=b的雅可比迭代公式（分量形式）1k11,1,2,3.k=0 1 2.nkiiijjjiijixba xina， ，1112121221,1,1000+00nn

17、nnn nnnaaaaaALD Uaaaa11(),f=bBDLUD三、高斯 -赛德尔迭代法11112211211222221 122.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb0iia(1)(1)( )( )( )11211331441112(1)(1)( )( )( )221 12332442222(1)(1)(1)( )( )331 13223443333(1)1()1()1().1(kkkkknnkkkkknnkkkkknnknnnxa xa xa xa xbaxa xa xa xa xbaxa xa xa xa xbaxaa(1)(1)(1)(1

18、)1 1223311)kkkknnnnnnnxa xa xaxb应用迭代法即得解方程组Ax=b的高斯 -赛德尔迭代公式（分量形式）j-11k+1k111,1,2,3.k=0 1 2.nkiiijjijjjj iiixba xa xina， ，11,f=bBDLUDL4、逐次超松驰迭代法（ SOR法）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - - word (1)( )(1)( )( )( )111211331441112(1)( )(1)( )

19、( )()2221 12332442222(1)( )(1)(1)( )( )3331132234433331()1()1().kkkkkknnkkkkkknnkkkkkknnxxwa xa xa xa xbaxxwa xa xa xa xbaxxwa xa xa xa xba(1)( )(1)(1)(1)(1)1 1223311.1()kkkkkknnnnnnnnnnnxxwa xaxa xaxba111,f=wbBDwLw DwUDwL参数 w 称为松弛因子， 0w1 时，上式称为逐次超松弛迭代法；当w =1 时，上式为Gauss-Seidel迭代法；当 0 w1时，上式称为低松弛迭代法第

20、七章非线性方程与方程组的数值解法一、 二分法 P214 1、 优缺点：算法简单且总是收敛，但收敛慢。2、 公式可能考点：已知 、b、a，求 n 二、 不动点迭代及收敛性1、 形式：kkxx1(k=0,1,2,) （由 f(x)=0 移项得）x*= (x*)为 (x)的不动点2、 定理 1（不动点存在唯一性或整体收敛） ：设 (x)Ca, b满足以下两个条件：1o 对任意 xa, b有 a (x)b. 2o 存在正数 L1，使对任意 x,ya, b都有111*()()22nnnnxxbabayxLyx)()(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名

21、师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - - word 则 (x)在a, b上存在唯一的不动点x*。3、 定理 2：设 (x)Ca, b满足定理 1 中的两个条件，有误差估计式4、定理 3（局部收敛）：设 x*为 (x)的不动点，在 x*的某个邻域连续，且，则迭代法 xk+1= (xk)局部收敛 . 做法： 不动点 x*不知道，用 x*附近的 x0代替（题目已知“根附近x0” ，代入 x0证明，则迭代法局部收敛）5、 定理 4（收敛阶的定义及判定定理） ：对于迭代过程kkxx1，如果()( )px在所求根 x*的邻近连续，并且

22、则该迭代过程在x*的邻近是 p 阶收敛的 . 三、 牛顿迭代法（切线法）及应用（大小题都可考）1、 公式：2、 收敛性： x*为单根时，牛顿迭代法在根x*的邻近是二阶 (平方)收敛； x*为重根时，仅为线性收敛。3、 应用：用牛顿法求解法：令 f(x)=x2-c，代入公式求解。 Eg.P239习题 13 第八章矩阵特征值计算一、 格什戈林圆盘1、设 n 阶矩阵 A(aij)，则 A 的每一个特征值必属于下面某个圆盘之中1(1,2,. )niiiijjjiarain或者说A 的特征值都在n个圆盘的并集中. 2、如果 A 有 m 个圆盘组成一个连通的并集S，且 S与余下 n-m 个圆盘是分离的，则

23、S内恰包含A 的 m 个特)(x1)(x1)(xC.1或.1101kkkkkxxLLxxxxLLxx. 0)(, 0)()()()()1(xxxxpp), 1 , 0()()(1kxfxfxxkkkk精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - - word 征值。3、特别地，如果A 的一个圆盘Di是与其它圆盘分离(即孤立圆盘 )，则 Di中精确地包含A 的一个特征值. 掌握范围即可。 Eg.P243例 1 二、 幂法（ P248例 2）1、

24、幂法的基本思想是 : 任取非零的初始向量v0 , 2、 计算公式：0010,max, (1,2,). kkkkkkkvuvAuvkuv /向量的规范化3、 则有kk=maxku 表示特征向量，（）4、原点平移法：由前面讨论知道，应用幂法计算A 的主特征值的收敛速度主要由比值21r来决定，但当r 接近于 1 时，收敛可能很慢. 这时，一个补救办法是采用加速收敛的方法. 引进矩阵B=A-pI . 其中 p 为参数，设A 的特征值为i，则对矩阵B 的特征值为i-p，而且 A, B 的特征向量相同。如果要计算A 的主特征值1, 只要选择合适的数p，使1-p 为矩阵 B=A-pI 的主特征值，且2211

25、maxii npp那么，对矩阵 B=A-pI 应用幂法求其主特征值1-p, 收敛速度将会加快. 这种通过求B=A-pI 的主特征值和特征向量，而得到A 的主特征值和特征向量的方法叫原点平移法. 对于 A的特征值的某种分布，它是十分有效的. 5、 反幂法： 反幂法是用于求非奇异矩阵A 的按模最小的特征值和对应特征向量的方法. 而结合原点平移法的反幂法则可以求矩阵A 的任何一个具有先了解的特征值和对应的特征向量。设 矩 阵 A 非 奇 异 , 其 特 征 值i(i=1,2,.,n) , 满 足1210nn11iiiiiiAxxA xx其相应的特征向量x1,x2,xn线性无关，则A-1的特征值为1/

26、 i ，对应的特征向量仍为 xi(i=1,2,n).此时 , A-1的特征值满足11111nn.因此 , 对 A-1应用幂法 ,可求出其主,)max(lim11xxukk.lim1kk精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - - word 特征值?kn1和特征向量xn uk .从而求得A 的按模最小特征值1nku和对应的特征向量xn uk，这种求 A-1的方法就称为反幂法. 00110,(1,2,)maxkkkkkkkvuvA ukvuv

27、/为了避免求A-1, 可通过解线性方程组Avk=uk-1得到 vk， 采用 LU分解法，即先对A 进行 LU分解 A=LU , 此时反幂法的迭代公式为1,11,2,max/kkkkkknnkkkkkkkLzuzUvzvkxuvuv求出求出反幂法的收敛速度取决于比值1nn，比值越小，收敛越快. 6、三、 豪斯霍尔德变换（初等反射矩阵）1、 定义 : 设向量w Rn且 wTw=1，称矩阵2()TH wIww为初等反射阵(或称为豪斯霍尔德(Householder)变换).如果记12,.(),nww ww， 则211 2122 12221212222122( ).2212nnnnnwwwwww www

28、 wH ww ww ww2、 约化定理（ P255、P260例 7）设 x=(x1,x2,xn)T0, 则存在初等反射阵H, 使 Hx=-e1, 其中精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - - word 12211111221,1,11121211sgn()sgn(),1,0,.0,.,1().2,niiTnTinTiiiiiiiaxaaeXaaUXeUxHIU UAH A H考点：用初等反射矩阵将A 进行 QR分解或转化为上海森伯格矩阵

29、（思想相同，不同之处上海森伯格矩阵对角线下还有一列）四、 吉文斯变换（平面旋转变换）(P257)设 x, y R2, 则变换1122cossin,sincosyxyPxyx或是平面上向量的一个旋转变换，其中cossin( )sincosP为正交矩阵。 Rn中变换： y=Px，其中 x=(x1,x2,xn)T, y=(y1,y2,yn)T, 使而11cossin1( , , )1sincos11iPP i jj称为 Rn中平面 xi, xj的旋转变换 (或称为吉文斯 (Givens)变换)，P=P(i,j, )=P(i,j)称为平面旋转矩阵. 显然， P(i, j, )具有性质：(1) P 与单

30、位阵 I 只是在 (i, i), (i, j), (j, i) , (j, j)位置元素不一样，其它相同. (2) P 为正交矩阵 (P-1=PT). (3) P(i, j)A(左乘 )只需计算第i 行与第 j行元素， 即对 A=(aij)mn有(1,2, ).ililjljlaacslnaasc其中， c=cos ，s=sin . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - - word (4) AP(i, j)(右乘 )只需计算第i列与第

31、 j 列元素，即(,)(,)(1,2,).liljliljcsa aa almsc五、 矩阵的 QR分解，Q 是正交矩阵， R是上三角矩阵正交矩阵通常用字母Q 表示。举例： A=r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33 则有： r112+r212+r312=r122+r222+r322=r132+r232+r332=1 r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性质12211111211,1,1112121111211sgn()sgn(),1,0,.0,.,1().2,.niiTnTinTiiiiiiiiiiiiiiiiaxaaeXaaUXeUxHIU

32、UAH AH HAHARAQHAQR1213222212131213,1,11221211222213222222232223233232n=3cos,sin,.cossin0sincos0 ,001cos,sin1000cossin0sincosTinaaaaaaXaaTAT AT AAaaaaaaTAT A以阶矩阵为例对于而言23 1223 12=TT T A RQT TAQR精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - - word 第九

33、章常微分方程初值问题数值解法一、 欧拉公式1、 显示欧拉公式：1(,)nnnnyyhf xyeg.P317习题 4 2、 隐式欧拉公式：1+1+1(,)nnnnyyhf xy二、 梯形公式1、公式：111(,)(,)2nnnnnnhyyf xyf xy考法：用移项做，将右式中的yn+1移到左边，求出 yn+1的表达式，再将各节点代入求解yi eg.P317习题 3 三、 改进的欧拉方法（二阶R-K公式）1、公式：Eg.P316习题 2四、龙格-库塔法：11122111iiij12y(.),0,1,2,.,(2,3,., )cab.1nnnnnniininijjjnyh c Kc Kc knKf

34、xyKfxa h yhb Kincc其中， ，均为待定常数，且c五、 局部截断误差1、定义：Tn+1=y(xn+1)-yn+1=O(h(p+1). p 阶精度注意点：要求局部截断误差主项时还应多写一项；泰勒展开：21.2!nnnnyxy xy xyxhheg.P317-318习题 6、7、11、12 , ),(1nnnnyxhfyy.),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - - word 预

35、测考题：一、 填空1、 有效数字计算2、 避免误差危害原则3、 误差估计4、 插值条件定义：求n 次插值多项式5、 插值基函数性质6、 差商的对称性7、 三次样条插值定义：求系数8、 根据代数精确度定义求解等式右边的系数或求解代数精确度9、 向量或矩阵范数、条件数计算10、 二分法：求 n 二、 判断1、 插值条件定理（条件缺一不可） 。Eg.对给定的数据做插值，插值函数个数可以有许多。（）2、 给定点集的多项式插值是唯一的，则其多项式表达式也是唯一的。（）3、 代数精确度是衡量算法稳定性的一个重要指标。（）4、 求积公式的阶数与所依据的插值多项式的次数一样。（）5、 梯形公式与两点高斯公式的

36、精度一样。 （）6、 SOR迭代法收敛，则松弛参数0W2。 （）7、 A 对称正定则 SOR迭代一定收敛。（）8、 只要矩阵是对称的，则1AA。 （）9、 x*为单根时，牛顿迭代法是二阶收敛的，x*为重根时，是线性收敛的。所以牛顿迭代法总是收敛的。 （）10、一定收敛。（）或1 一定发散。（）11、 |1+h |1 为欧拉法的绝对稳定域， h越大越稳定。（）三、 计算1、 牛顿插值多项式计算2、 最小二乘拟合3、 复合梯形公式及余项或复合辛普森公式及余项考一题4、 利用 LU解方程组5、 代数精确度：求等式右边系数、代数精确度m、余项6、 利用初等反射矩阵或吉文斯变换进行QR分解1)(x)(x

37、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - - word 7、 用梯形公式或改进的欧拉公式求解初值问题四、 证明1、 用雅克比和高斯 -赛德尔迭代法证明收敛性（借助谱半径求解）eg.P209习题 3、5、6 2、 不动点迭代（应用定理4）可能考题：证明某个迭代式子至少3 阶收敛解法：计算 1 阶、2 阶导数为 0，无需证明 3 阶不为 0（如果题目是“证明某个迭代式子是3 阶收敛” ，则需证明 3 阶不为 0）eg.P239习题 15 3、 局部阶段误差可能考题：给定yn+1的式子，求式子中的系数及局部阶段误差主项，并说明是几阶解法：利用局部截断误差的定义并借助泰勒展开精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - - -