2022年数列基础知识点和方法归纳2 .pdf

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1、学习必备精品知识点数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义：（为常数），推论公式：，等差中项 ：成等差数列,等差数列前项和：性质：是等差数列（1）若，则（下标和定理）注意：要求等式左右两边项数相等（2）数列12212,nnnaaa仍为等差数列，仍为等差数列，公差为dn2；（3）若三个成等差数列，可设为；（4）若是等差数列，且前项和分别为，则；（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为 0 的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值. 当，由可得达到最小值时的值. (6)项数为偶数n2 的等差数列，有),)()()(111

2、22212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanSndSS奇偶，1nnaaSS偶奇. （7）项数为奇数12n的等差数列，有)()12(12为中间项nnnaanS,naSS偶奇，.1nnSS偶奇1nnaadd11naandxAy， ，2Axyn11122nnaann nSnadnamnpqmnpqaaaa ；232nnnnnSSSSS，adaad， ，nnab，nnnST，2121mmmmaSbTna2nSanbnab，nnS2nSanbnna100ad，100nnaanSn100ad，100nnaanSnnana精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -

3、 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 学习必备精品知识点2. 等比数列的定义与性质定义：（为常数，），.推论公式：且等比中项：成等比数列，或.等比数列中奇数项同号，偶数项同号等比数列前 n 项和公式 ：性质：是等比数列（1）若，则(下标和定理 ) 注意：要求等式左右两边项数相等。（2）仍为等比数列 ,公比为nq。. （3）是正项等比数列，则是等比数列。注意：由求时应注意什么？时，；时，.1nnaqaq0q11nnaa qxGy、2GxyGxynamnpqmnpqaaaa232nnnnnSSSSS，nanSna

4、1n11aS2n1nnnaSS精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 学习必备精品知识点3. 求数列通项公式的常用方法（1) 定义法求通项公式 ( 已知数列为等差数列或等比数列）（2）已知的关系与n或的关系时与nnas，求。)2()1(11nssnsannn例：数列的前项和求数列的通项公式 ; 解：当时，当时数列的通项公式为练习： 设数列的前项和为，且求数列的通项公式。（3）求差（商）法例：数列，求解：时，时， 得：，练习： 在数列中，,

5、 求数列的通项公式。(4)累乘法形如的递推式由1( )nnaf na，则31212(1)(2)( )nnaaafff naaa，两边分别相乘得，1111( )nnkaaf kanSnana12211125222nnaaanna1n112 152a114a12211125222nnaaan2n12121111215222nnaaan122nna12nna114(1)2(2)nnnan精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 学习必备精品知识点

6、例：数列中，求解，又，. 练习： 已知,求数列的通项公式。（5）累加法形如的递推式。由，求，用迭加法时，两边相加得例：已知数列满足,求与的值。（2）求数列的通项公式练习：已知数列中，（）求数列的通项公式；（6）构造法形如（为常数，）的递推式。可转化为等比数列，设令，是首项为为公比的等比数列，例：已知数列满足，.求数列的通项公式；解 ： （ 1），而，故数列是首项为 2，公比为 2的等比数列，因此na1131nnanaan，na3212112123nnaaanaaan 11naan13a3nan110( )nnaaf naa，na2n21321(2)(3)( )nnaafaafaaf n 1(2

7、)(3)( )naafff n0(2)(3)( )naafff n1nnacadcd、010ccd，111nnnnaxc axacacx(1)cxd1dxc1ndac11dacc，1111nnddaaccc1111nnddaaccc精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 学习必备精品知识点练习 1：已知数列中，求数列na的通项公式。练习 2：已知数列na满足112356nnnaaa，求数列na的通项公式。（7）倒数法例：，求由已知得：，为

8、等差数列，公差为，练习： 已知数列的首项，。求数列的通项公式。总结：公式法、利用1(2)1(1)nnSSnS nna、累加法、累乘法. 构造等差或等比1nnapaq或1( )nnapaf n、待定系数法、对数变换法、迭代法。11212nnnaaaa，na1211122nnnnaaaa11112nnaa1na111a1211111122nnna21nan精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 学习必备精品知识点4. 求数列前 n 项和的常用

9、方法（1）定义法 ：如果已知数列为等差或者等比数列，这用对应的公式求和等差数列前项和：等比数列前 n 项和公式 ：常见公式：, （2）错位相减法给两边同乘以一个适当的数或者式，然后把所得的等式与原等式相减，对应项互相抵消，最后得出前n 项的和.一般适用于为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比 . 例： 时，时，练习：已知数列是等差数列，是等比数列，且，（1）求数列和的通项公式（2）数列满足，求数列的前项和(2) 裂项法把数列的通项公式拆成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和。常见形式：若是公差为的等差数列，则n11122nnaann nSna

10、dnanbnna bnnnSqSnSqnb2311234nnSxxxnx23412341nnnx Sxxxxnxnx2111nnnx Sxxxnx2111nnnxnxSxx1x11232nn nSnnad精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 学习必备精品知识点如：是公差为的等差数列，求解：由练习： 已知数列的前 n 项和，求数列的通项公式；求数列的前 n 项和。（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 相加练习已知

11、，则由原式（3）分组求和法有一类数列，既不是等差数列也不是等比数列，若将这个数列适当拆分开，可分为几个等差或等比或常见数列，然后分别求和，再将其合并即可。一般适用于为等差数列，为等比数列，求数列前项和。nad111nkkka a11111110kkkkkkdaaaaddaa11111223111111111111nnkkkkkknna adaadaaaaaa11111ndaa121121nnnnnnSaaaaSaaaa12112nnnnSaaaaaa22( )1xf xx111(1)(2)(3)(4)234fffffff2222222111( )111111xxxf xfxxxxx11111(

12、1)(2)(3)(4)1 1 1323422fffffffnanbn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 学习必备精品知识点练习：已知数列为等差数列，公差为d，为等比数列，公比为q，且 d=q=2，,求的通项公式，求的前项和。nanb精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -