直线与圆的方程高考复习(共25页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上直线与圆的方程【考试大纲要求】1理解直线的斜率的概念，掌握两点的直线的斜率公式掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程 2掌握两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系 4了解解析几何的基本思想，了解坐标法5掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.6掌握直线与圆的位置关系的判断方法，能利用直线和圆的位置关系解决相关问题.【高考命题走向】从近几年的全国高考新课程高考试题分析研究来看，可以预测今后涉及本单元知识点的题目，仍会以基本题型为主，侧重于考查对基础知识的掌握、基本数

2、学思想方法的灵活运用，一般难度不会太大另一方面，本单元与其他章节的知识点综合题仍将是今后的热点、重点、难点，也可能会出现探索开放、新颖别致的实际应用题目，特别应注意解析与平面向量知识、导数等新知识综合题目可能会出现在今后高考题中直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程解直线与圆的问题,要尽量充分地利用平面几何中圆的性质,利用几何法解题要比解析方法来得简捷.预测2010年对本讲的考察是：（1）2道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考察也

3、会是一个出题方向；（2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程【基础知识归纳】1直线方程（1）直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为可见，直线倾斜角的取值范围是：.（2）直线的斜率倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即.倾斜角是90的直线没有斜率；倾斜角不是90的直线都有斜率，斜率的取值范围是（，+）.(3)直线的方向向量设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，

4、则向量=（x2x1，y2y1）称为直线的方向向量向量=（1，）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率.特别地，垂直于轴的直线的一个方向向量为(0,1) .说明：直线的倾斜角、斜率、方向向量都是刻划、描述直线的倾斜程度的每一条直线都有倾斜角和方向向量，但不是每一条直线都有斜率，要注意三者之间的内在联系（4）直线方程的五种形式点斜式：，(斜率存在)斜截式： (斜率存在)两点式：，(不垂直坐标轴)截距式： (不垂直坐标轴,不过原点)一般式：.引申：过直线,交点的直线系方程为：（R）(除l2外)2两条直线的位置关系（1）直线与直线的位置关系存在斜率的两直线；.有： 且； ；与相交 与重合 且

5、.一般式的直线,.有；且; ;与相交;与重合；且 （2）点与直线的位置关系若点在直线上，则有；若点不在直上，则有，此时点到直线的距离为平行直线与之间的距离为（3）两条直线的交点直线,的公共点的坐标是方程 的解相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解.重合方程组有无数解.3曲线与方程(1)“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.(2)求曲线方程的一般

6、步骤：建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；写出适合条件P的点M的集合；用坐标表示条件P（M），列出方程f(x,y)=0；化方程为最简形式；证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 (3)求曲线方程常用方法:直接法, 定义法,参数法,相关点法,待定系数法.(4)曲线交点：求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组 (5)由方程画曲线(图形)的步骤：化简方程,讨论曲线性质(对称性,趋势等)；讨论曲线的范围；求截距,或用反解法求出x、y的取值范围;列表; 描点、连线(6)解析几何的本质用代数的方法研究图形的几何性质,即: 根据已知条件求出表示平面曲线的方程；通过方程

7、，研究平面曲线的性质. 这也是解析几何中的两个基本问题4. 圆的方程(1)圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件:如三个点,半径和圆心(两个坐标)等.(2)圆的方程标准式：，其中为圆的半径，为圆心一般式：（）.其中圆心为，半径为参数方程:，是参数）.消去可得普通方程5. 点与圆的位置关系判断点与圆的位置关系代入方程看符号.6.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有：相离、相切和相交.有两种判断方法：（1）代数法：（判别式法）时分别相离、相交、相切.（2）几何法：圆心到直线的距离时相离、相交、相切. 7弦长求法（1）几何法：弦心距d，

8、圆半径r，弦长l，则 （2）解析法：用韦达定理，弦长公式.8圆与圆的位置关系看|O1O2|与和|的大小关系.【典型例题解析】题型1：直线的倾斜角【例1】（07上海）直线的倾斜角 【答案】 【解析】直线可化为， 题型2 ：直线的斜率【例2】（08安徽卷）若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为 （ ） A BC D【答案】C【解析】记圆心为,记上、下两切点分别记为，则，的斜率即.（图9-1-1）题型3 直线的方程【例3】（07浙江）直线关于直线对称的直线方程是 （ ）【答案】D【解析】 (利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于对称点为(2-x, y)在直线上,即，化简得

9、答案D.题型4：直线方程的综合题 y xOBAFEPC【例4】（08江苏卷）在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE的方程：，请你求OF的方程： _.【答案】【解析】如图9-1-2.（图9-1-2）直线AB的方程为 直线CP的方程为 -得，直线AB与CF的交点F坐标满足此方程，原点O的坐标也满足此方程，所以OF的方程为.若敢于类比猜想，交换x的系数中b、c的位置，便很快可得结果.题型5：直线与

10、直线的位置关系【例5】（06福建）已知两条直线和互相垂直，则等于 ( )A2 B1 C0 D【答案】 D【解析】两条直线和互相垂直，则， a=1，选D.题型6：点与直线的位置关系【例6】（06湖南）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 ( )A36 B. 18 C. D. 【答案】C【解析】圆的圆心为(2，2)，半径为3，圆心到直线的距离为3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6，选C.题型7：平行线间的距离【例7】（07四川）如图，、是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在、上，则的边长是 ( ) A B C D【答案】D【解析】过

11、点作的垂线（图9-1-3），以、为轴、轴建立平面直角坐标系设、，由知边长，检验A：，无解；检验B：，无解；检验D：，正确.题型8：动点的轨迹方程【例8】（07四川）已知的方程是，的方程是，由动点向和所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是_.【答案】【解析】：圆心，半径；：圆心，半径设，由切线长相等得【例9】（08上海）如图9-1-4，在中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点若点、点满足且，则称P优于如果中的点满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 ( ) ABCDOxy弧ABB弧BC C弧CD

12、 D弧DA （图9-1-4）【答案】D 【解析】分别在弧AB、弧BC、弧CD、弧DA上任意取一点Q，只有在弧DA上的点Q满足不存在中的其它点优于Q，故选D【例10】（06北京）平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是 ( ) A一条直线 B一个圆C一个椭圆 D双曲线的一支（图9-1-5）【答案】A【解析】如图9-1-5所示，因为过定点的动直线与垂直，直线绕定点旋转形成一个平面，这个平面与平面相交，有一条交线，点C在这条交线上，所以点C的轨迹是这条交线故选A题型9：圆的方程【例11】(06重庆)以点（2，1）为圆心且与直线相切的圆的方程为 （ ）A BC D【答案】C【解

13、析】3，故选C.【例12】（08福建)若直线3x+4y+m=0与圆 （为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是 .【解析】将圆化成标准方程得，圆心，半径. 直线与圆相离， .题型10：直线与圆的位置关系【例13】（09辽宁）已知圆C与直线xy0 及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为 （ ）A.B.C. D. 【答案】B【解析】圆心在xy0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.题型11：圆与圆的位置关系【例14】（07山东）与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是_【答案】【解析】曲线化为，其圆心到直线的距离为所求的最小圆的圆心在直线上，

14、其到直线的距离为，圆心坐标为标准方程为.（图9-1-6）【重点方法提炼】抓好“三基”，把握重点，重视低、中档题的复习，确保选择题的成功率本讲所涉及到的知识都是平面解析几何中最基础的内容.它们渗透到平面解析几何的各个部分，正是它们构成了解析几何问题的基础，又是解决这些问题的重要工具之一.这就要求我们必须重视对“三基”的学习和掌握，重视基础知识之间的内在联系，注意基本方法的相互配合，注意平面几何知识在解析几何中的应用，注重挖掘基础知识的能力因素，提高通性通法的熟练程度，着眼于低、中档题的顺利解决在解答有关直线的问题时，应特别注意的几个方面：（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件

15、，其次要注意倾角的范围（2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m倍（m0）”等时，采用截距式就会出现“零截距”，从而丢解.此时最好采用点斜式或斜截式求解（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”，从而造成丢解.如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，或讨论两直线的平行、垂直的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论（4）有关圆的问题解答时，应注意利用圆的平面几何性质，如圆与直线相切、相交的性质，圆与圆相

16、切的性质，这样可以使问题简化 （5）对本章中介绍的独特的数学方法坐标法要引起足够重视要注意学习如何借助于坐标系，用代数方法来研究几何问题，体会这种数形结合的思想 （6）首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终【高考实战演习】一选择题 1（09湖南重点中学联考）过定点作直线分别交轴、轴正向于A、B两点，若使ABC（O为坐标原点）的面积最小，则的方程是 （ ） A. B. C. D.2（09湖北重点中学联考）若P（2，1）为圆（x1）2+y2=25的弦AB的中点，

17、则直线AB的方程是 （ ） A.xy3=0 B.2x+y3=0C.x+y1=0 D.2xy5=0 3.（09陕西）过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为（ ）A. B.2 C. D.2 4.（09宁夏海南）已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 ( )A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=15.（09重庆）直线与圆的位置关系为 （ ）A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心D相离6.（09重庆）圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为 （ ）A B CD7（08湖北）过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有 （）A.16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条8（0

18、8北京）过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为 （ ）A BCD二填空题9（07上海）已知与，若两直线平行，则的值为_.10.（08天津）已知圆C的圆心与点关于直线对称直线与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为_ 11.（09四川）若与相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 w.12.（09全国）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是: 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）13.（09天津）若圆与圆（a0）的公共弦的长为，则a=_ .14（09辽宁）已知圆C与直线xy0 及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C

19、的方程为_.三解答题15 （09广西重点中学第一次联考）设直线过点A（2，4），它被平行线xy +1=0与x-y-l=0所截得的线段的中点在直线x+2y-3=0上，求直线的方程.16（08北京）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1（）当直线过点时，求直线的方程；（）当时，求菱形面积的最大值17（08江苏）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C求：（）求实数b 的取值范围；（）求圆C 的方程；（）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论18(08海淀一模)如图，在平面直角坐标系中，N为圆A：上的一动点，点B（1，0），点M

20、是BN中点，点P在线段AN上，且 （）求动点P的轨迹方程； （）试判断以PB为直径的圆与圆=4的位置关系，并说明理由.19（08年西城一模）在面积为9的中，且.现建立以A点为坐标原点，以的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示.（）求AB、AC所在的直线方程；()求以AB、AC所在的直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；()过D分别作AB、AC所在直线的垂线DF、DE（E、F为垂足），求的值.20.（08朝阳一模）已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且 的面积为定值2(）求线段中点的轨迹的方程；（）过点作直线，与曲线交于不同的两点，与射线分别交于点，若点恰为线段的两个三等分点，求此时

21、直线的方程参考答案一选择题1【答案】D【解析】由题设，可知，且， 当且仅当时，. 的方程为： 应选D. 2【答案】A【解析】由（x1）2+y2=25知圆心为Q（1，0）.据kQPkAB=1，kAB=1（其中kQP=1）.AB的方程为y=（x2）1=x3，即xy3=0. 应选A.3. 【答案】D【解析】直线方程,圆的方程为：圆心到直线的距离，由垂径定理知所求弦长为 ，选D.4.【答案】B【解析】设圆的圆心为（a，b），则依题意，有，解得，对称圆的半径不变，为1.5.【答案】B【解析】圆心为到直线，即的距离，而，选B.6.【答案】A【解法】设圆心坐标为，则由题意知，解得，故圆的方程为.7【答案】C

22、【解析】由已知得圆心为P(-1，2)，半径为13，显然过A点的弦长中最长的是直径，此时只有一条，其长度为26，过A点的弦长中最短的是过A点且垂直于线段PA的弦，也只有一条，其长度为10（PA的长为12，弦长=2=10），而其它的弦可以看成是绕A点不间断旋转而成的，并且除了最长与最短的外，均有两条件弦关于过A点的直径对称，所以所求的弦共有2（26-10-1）+2=32故选C8【答案】C【解析】此圆的圆心为C（5，1），半径.设直线上的点P符合要求，连结PC，则由题意知，又.设与切于点A，连结AC，则.在中，l1与l2的夹角为60. 故选C.二填空题9【答案】 【解析】 .10.【答案】.【解析】

23、圆C的圆心与P（2,1）关于直线y=x+1对称的圆心为(0,-1),设该圆的方程为设AB中点为M，连结CM、CA，在三角形CMA中故圆的方程为11.【答案】4【解析】由题知，且，又，所以有.12.【答案】或【解析】两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或.13.【答案】1【解析】由知的半径为,解之得.14【答案】【解析】圆心在xy0上,结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.三解答题15【答案】3x-y-2=0【解析】由几何的基本的性质，被两平行线所截得的线段的中点一定在y=x上，将x+2y-3=0与y=x联立构成方程组解得交点的坐标为（1

24、，1）点，又由直线 过点A（2，4）由两点式得直线 的方程为：3x-y-2=0.16【解析】（）由题意得直线的方程为因为四边形为菱形，所以于是可设直线的方程为由得因为在椭圆上，所以，解得设A，B两点坐标分别为，则，所以所以的中点坐标为由四边形为菱形可知，点在直线上， 所以，解得所以直线的方程为，即（）因为四边形为菱形，且，所以所以菱形的面积由（）可得 所以所以当时，菱形的面积取得最大值17【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法（）令0，得抛物线与轴交点是（0，b）；令，由题意b0 且0，解得b1 且b0（）设所求圆的一般方程为：，令0 得这与0 是同一个方程，故D2，F令0

25、得0，此方程有一个根为b，代入得出Eb1所以圆C 的方程为.（）圆C 必过定点（0，1）和（2，1）证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，左边0120（b1）b0，右边0，所以圆C 必过定点（0，1）同理可证圆C 必过定点（2，1）18【解析】由点M是BN中点，又，可知PM垂直平分BN.所以|PN|=|PB|，又|PA|+|PN|=|AN|，所以|PA|+|PB|=4.由椭圆定义知，点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.设椭圆方程为，由2a=4，2c=2，可得a2=4，b2=3.动点P的轨迹方程为 （II）设点的中点为Q，则，即以PB为直径的圆的圆心为，半径为，又圆的圆心为O（0，0），半径r2=2，又故|OQ|=r2r1，即两圆内切. 19【解析】（）设则由为锐角，AC所在的直线方程为y=2xAB所在的直线方程为y= -2x（）设所求双曲线为设，由可，即,由，可得，又， ，即，代入（1）得，双曲线方程为（）由题设可知，设点D为，则又点D到AB，AC所在直线距离，=20.【解析】（I）由题可设，其中.则 的面积为定值2， ，消去，得 由于，所以点的轨迹方程为（） （II）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为由消去得， 设点、的横坐标分别是、，由得 解之得： 由消去得：，由消去得：，. 由于为的三等分点，. 解之得. 经检验，此时恰为的三等分点，故所求直线方程为. 专心-专注-专业