振动力学习题集(共34页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上例：一等截面简支梁质量不计，长度，。有一质量的物块从梁的中点上方处落下，且物块与梁接触后不分开，试计算接触后系统自由振动的固有频率及振幅。解：（1）梁中点受竖直向下单位力作用的挠度即为柔度系数，因此固有频率为 ：（2）重物落下与梁接触时开始振动，初始条件为 振幅为梁中点的最大位移为瑞利法（Rayleigh）:等效质量的计算方法。应用这种方法时，必须做有关振动过程中系统形态的某些假设，称之为形状函数或振型。所假设的振型与真实振型存在差异，相当于对系统附加了某些约束，增加了系统的刚度，固有频率略高于精确值。以静变形曲线作为振动形状，所得结果误差很小。如果对结构的弹性曲线假

2、设任一适当形状，可以期望得到接近振动真实周期的近似值，如果选的形状精确，就会得到精确的周期。插P10例1.4.1 如图示，悬臂梁（棱柱形）自由端处带有重量mg，设梁的密度为，求考虑梁的质量时，系统的固有频率。解：无重悬臂梁端有荷载mg时的静力挠曲线方程为：由此可得B端挠度 令 则 为梁作用在B点的等效质量对于这种情况，振动的周期与端点处承受下列质量的无质量悬臂梁相同 B端总重为: 即使在不太小的情况下，等效质量也可以应用将结果用于的极端情况（悬臂段的集中质量为零），可有：所得的振动周期则为：同一情况的精确解为：(此处参看Timoshenko,工程中的振动问题，P89，式（m）)近似解的误差约为

3、1.5%，故，即近似解的周期小于精确解的周期，固有频率大于精确解的固有频率。原因近似解是对梁的变形做了假设，相当于增加了约束，即增加了系统的刚度，所以固有频率略大，周期略小。若不考虑梁的质量,则：若，误差10.0%若，误差5.7%等效质量、等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度；使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量。例1.4.2假设图示系统中的杠杆是不计质量的刚体，求系统对于坐标的等效质量和等效刚度。 图1解：（1）能量法，动能 ：取静平衡位置为零势能点：（对于有重力势能影

4、响的弹性系统，如果以平衡位置为零势能位置，则重力势能与弹性势能之和相当于由平衡位置（不由自然位置）处计算变形的单独弹性力的势能。）因此简化后的弹簧质量系统的等效质量及等效刚度为：如果 ，那么质量振动中的速度将比质量的速度大。由上面公式可知，由高速部分向低速部分简化（以的位移为广义坐标，表示的位移）时，质量将被放大；由低速向高速部分简化时，质量将被缩小。（2）按定义方法：设使系统在方向上产生单位加速度需要施加力P（图2），则在质量及上将有图2所示的惯性力对点取矩：图2 P即为系统在x坐标上的等效质量，故设使系统在x方向上产生单位位移需要施加力P（图3） 图3 由图3：（从静平衡位置开始计算，平衡

5、位置时的弹性力矩和重力矩相抵消）（3）动量矩定理 图4 由图4，取 为广义坐标，应用质点系对固定点的动量距定理，有：（取逆时针为正）（从静平衡位置开始计算，平衡位置时的弹性力矩和重力矩相抵消）即：故有 同学们可取x2为广义坐标试算结果插P15例1.5.1 图示为一阻尼缓冲器，静载荷P去除后质量越过平衡位置的最大位移为初始位移的10%，求缓冲器的相对阻尼系数x。静平衡位置解：将初始条件式代入式（1.3.13）,并注意到：，得求导得速度为：设在时刻，质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为由此求出 即经过半个周期后出现第一个振幅，求得由此题已知条件得解得：(由（1.4.4），同样得)做此类题目特别

6、是考虑阻尼的系统，运动方程都比较复杂，要细心推导各个公式。此题关键是求得插P22例2.2.1：此题中（P21，例2-2），若通过改变转速，测得共振时的垂直振幅为1.07cm，而超过共振很远时，垂直振幅值趋于0.32cm。若偏心质量为12.7kg，偏心距为15cm，支承弹簧总刚度，计算支承阻尼器的阻尼比以及转速时机器的垂直振幅。解：机器与偏心总质量为M（是个未知量），由式（2.1.4）推导出 当式（2.1.4）中1时，有 ，故： /得： 由得： 激励频率 故 又由：得垂直振幅 若 此结果亦说明激扰力频率愈高，振幅愈小。例2.2.2 有四根钢杆悬挂着一块刚性平板，在平板上搁置一台电动机，每一钢杆的

7、刚度为k=2KN/mm，截面积A=3cm2，电动机与平板的总质量M =12t（钢杆质量不计），当电动机开动后产生垂直简谐激励力，激励力幅值为P=2KN，激励力频率为245r/min。阻尼的对数衰减系数。试求钢杆的最大应力。解：因平板绝对刚性，故电动机与平板（视为一个质量）的竖向位移，即为钢杆的竖向位移。重力产生的静变形为 系统的固有频率：故激振力频率与固有频率近似相等，产生共振式（2.1.15）为共振时的动力放大系数（）故钢杆中的最大动应力为钢杆中总的最大应力注意：计算此类题目时，一定注意各力学量单位的统一。例2.2.3 如图是汽车的拖车在波形道路上行驶时于垂直方向上振动的力学模型。已知拖车的

8、质量满载时为m1=1000kg，空载时为m2=250kg，悬挂弹簧的刚度是k=350KN/m，阻尼比在满载时为，车速为V=100Km/h，路面呈正弦波形，可表示为，其中l=5m。求拖车在满载和空载时的振幅比。 图1解：拖车行驶的路程可表示为：因此： 所以路面的激励频率运动微分方程：即： 得： 由式1.3.12，得 c、k为常数，因此与成反比 故满载及空载时的频率比 同理 于是得满载和空载时的振幅比插P24例2.3.1 对图示的周期性方波作谐波分析。设其周期，求系统（无阻尼）的稳态响应，并且画出响应的频谱图。 图1解：在一个周期内，可表示为：因为为奇函数，故有 由于，故有当n取奇数时则有： 于是

9、，周期性方波的富氏级数为：下图表示了富氏级数的前三项对方波的贡献图2记 （n为奇数），则周期性方波的振幅频谱图为： 图3由式（2.2.9），得： ， 令从频谱图看到，系统只对激励所包含的谐波分量有响应，对于频率靠近系统固有频率的那些谐波分量，系统响应的振幅放大因子比较大，在整个稳态响应中占主要成分。插P24任意干扰力 图1是单位质量的干扰力，且表达为虚构时间变数的函数，如图示，于是在 图2任何时刻，可以计算图解中阴影线窄条所代表的增量冲量，冲量给每一单位质量的速度瞬时增加（或增量速度）等于1 （增量动量，m=1），无论有何力作用它上面（例如弹簧力），也不管时刻处质量的位移和速度，将此速度增量做

10、为初始速度（在时刻）那样来处理，应用式（1.3.13）、（1.3.15）可得出结论：在任何后面时间t处，系统的增量位移为：由于和之间，每一增量冲量有这样一种效应，于是干扰力的连续作用，得到总位移为： 即得本书式（2.3.10）这种数学形式，称为杜哈梅积分（Duhamels integral）上式代表由于作用在时间间隔0至t过程中，干扰力q所产生的整个位移，包括稳态项和瞬态项。如果函数不能用解析函数来表达，则上式总可以用一适当的图解或积分的数值法来近似求算，为了考虑处初始位移和初始速度的影响，其全解为：插P43例3.2.1：图中表示一个带有附于质量和上的约束弹簧的双摆。采用质量的微小水平平动和作

11、为位移坐标。试对此系统导出刚度矩阵k和重力矩阵G，按矩阵形式写出运动的作用力方程（不考虑阻尼）。图1解： 也可给j点一个单位加速度，计算i点所需的力，即对图2 图2AB 整体 即： 对图3 图3AB 整体 令 作用力方程：例3.3.2 试对图中两层楼建筑框架确定其刚度矩阵S，并按矩阵形式写出运动的作用力方程。为此目的，假设梁是刚性的，并采用微小的水平平动和作为位移坐标。框架中诸柱均为棱柱形的，下层的弯曲刚度为，上层为。解：图1图2 图2中，为剪力，悬臂梁自由端转角为零时的刚度系数对图2， 对图3图3， ，同理可求出位移法，求柔度矩阵R 图4插P46例3.3.3：试对图中所示两个质量的系统，确定

12、其刚度矩阵K，并按矩阵形式写出运动的作用力方程，假设，并取。试确定其特征值和以及振幅比（固有振型）和。令初始条件和，并计算无阻尼自由振动反应。解：1计算K 2计算特征值：由式（3.2.4）得，频率方程：即：求得：由 得 由初始条件（3.2.10b）可求得：代入式（3.2.8b） 插P86例4.15 选取试探向量矩阵 ，则 令 误差比例4.15略大 精确解 求得若取试探矩阵 ，试算固有频率和一阶振型。插P92习题4.5答案 同理，得： 与精确值相比（），误差3.8%（注：精确解的计算：令得，）P106.例5.3 一端固定，一端自由的均匀杆长度为,在自由端带有集中质量M，试求该系统纵向振动的固有频

13、率与固有振型。解：边界条件：固定端 有 由其振型通解得： C=0自由端 由 得M对杆端的惯性力 故 将固有振型代入上式：即 式中 又 式为 令 上述频率方程式超越方程，它的根必须用数值方法或查表得到。当依次计算出正根后，即可计算出固有频率和相应的固有振型。， 讨论极端情况1），很大，频率方程式为，其正根为： 是未知量固有频率与相应的固有振型为 ， 上式表述了一端固定一端自由的均匀杆在自由端不带集中质量时的固有频率与固有振型2），很小，频率方程的最小正根也很小，可用来代替。于是得到确定基本频率的近似方程即：，或从而解得基本频率若不计杆的质量，杆可视为一个无质量的，刚度为K的弹簧。，是不计杆件本身

14、质量时杆的拉压刚度。按一个自由度系统计算得到固有频率，正好与上式一致。3）一般地，取杆集中质量比为 若=0.1时，精确解：=0.32 而忽略杆的质量 误差约为1.25%如果杆的质量与集中质量相比不是很小，可取则 即 得 （）结果与单自由度系统中瑞利法结果相同P115： 为正规化的固有振型，其中（形如P70(4.3.25) ） 称为系统的主坐标弹性杆受迫振动方程 M、K为算子，依赖于振动形式，为弹性杆或弯曲梁的位移函数u=u(x,t)根据已知条件，得初始条件 ，将式代入式，用左乘等式两端，并对变量在区间上积分。并由正交关系式（5.4.1516）或（5.4.1112），得：即所以得： 或 其中 为

15、广义干扰力分量进而求得主坐标下的初始条件由 得 同理可得： 式、构成主坐标下关于 的微分方程的定解问题，求解，并代入式即可求得连续体的动力学响应。推导式（5.5.19）P117.例5.7一端固定，一端自由的均匀杆，在自由端作用一轴向拉力P，如图所示。在时间t=0时，突然将P力卸除，试求系统对此初始条件的响应。（15分）提示：此系统的固有频率与相应的固有振型为，0解：由题目已知条件知 ， 相应系统为自由振动，由以上运动初始条件得： 其中 （ 求得） 将初始条件和固有振型代入式得 从上式可以看出，傅里叶级数的系数包含因子，这表明固有振动的阶数愈高，对响应的贡献愈小。P122.习题：5.11 简支梁距左端距离a处作用一周期荷载，求系统的零初值响应。ABLxaw解：1运动微分方程 对归一化：，得2以左乘上式两端，对变量在区间上积分，并应用正交关系式、，得即：或： （）这个答案还有问题例：考察一锥形杆的纵向振动。杆在的一端固定，的一端自由，杆的刚度与质量分布为，试用瑞利法计算该系统的基本频率。解：取试函数为 专心-专注-专业