2022年数学八级上全部知识点-北师大版 .pdf

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1、第一章勾股定理一、勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。说明：若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为 c，则 a2+b2=c2。勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 有下面关系： a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。说明：根据勾股定理的逆定理，可以判定一个三角形是否是直角三角形：若已知三角形的三条边，只需验证最大边的平方是否等于另两边的平方和，若相等，则是直角三角形；若不等，则不是。勾股数：满足 a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。若 a，b，c 是一组勾股数，则ak，bk，ck（k 为正整数），也必然是一组勾股数。常用的几组勾股数有3,4,5 ；6

2、,8,10 ；5,12,13 ；8,15,17等，请熟记。勾股定理的应用：求两点之间的距离和线段的长度常构造直角三角形，利用勾股定理求解，求立体图形上两点之间的最短距离大致可分为：(1) 圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；(2) 长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。二、直角三角形三边之间的关系：不等量关系是：斜边的长大于每条直角边的长，其依据是“垂线段最短”；等量关系是：勾股定理，勾股定理是我们求直角三角形边长的依据，在直角三角形中，已知任意两边的长，可求第三边的长。直角三角形的判别： (1)利用定义，判断一个三角形中有一个角是直角； (2)根据三角形一边的平方等于另外两边的平方和，来

3、判定该三角形是直角三角形。三、勾股定理中的方程思想勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项。四、勾股定理中的转化思想在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

4、 - - - - - - - -第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 第二章实数一、无理数：无限不循环小数叫做无理数。说明： 1、无理数有两个本质属性，一是“无限”，二是“不循环”只有满足这两个条件的小数才是无理数。 2、虽然从开方运算可以得到无理数，但并不是所有的无理数都是从开方开不尽得到的，如圆周率是无理数，它并不是从开方开不尽产生的，因此不能误认为“无理数是开方开不尽的数”。 3、判断一个数是否是无理数，要根据定义看其本质属性，不能说“带根号的数是无理数”，事实上=5 是有理数而不是无理数。 4、要把无理数和它的有理数近似值严格区别开来。如是无理数，而它的近似

5、值1.4 ，1.41 ，1.414 ，1.4142都是有理数。无理数与有理数的区别： 1、有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数。 2、所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母为1 的分数）；而无理数写不成分数的形式，即无理数不能用n/m（n 不等于 0，m 、n 是整数）表示。二、实数：有理数与无理数统称为实数。1、实数的分类： 有理数和无理数。有理数包括（正有理数、0、负有理数）。无理数包括（正无理数、负无理数）。正有理数包括（正整数、正分数）。负有理数包括（负整数、负分数）。正无理数和负无理数都是无限不循环小数。2、实数的性质：实数 a 的相反数是 -a ；实数

6、 a 的倒数是（a0）。3、实数 a的绝对值= 4、实数的绝对值性质：a（a 0）0（ a = 0）-a （ a精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - - ； a = a；=；=（b）；=5、实数的大小：正数大于 0，负数小于0；两个正实数直接比较；两个负实数，绝对值大的反而小。6、实数的运算：在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方及开方运算，有理数的运算法则在实数范围内仍然成立，实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基

7、本相同：先乘方、开方，再算乘除，最后算加减同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的，先算括号里面的，但开方运算则需注意，负实数只能开奇次方，而不能开偶次方。有理数范围内适用的运算律、幂的运算法则、乘法公式，在实数范围内同样适用。7、实数和数轴上的点的对应关系：任何一个有理数，在数轴上都有一个惟一确定的点与之对应，但是数轴上的点并不都表示有理数，无理数也可用数轴上的点表示，由此可见，数轴上表示有理数的点是不连续的，而有理数、无理数合在一起，才能填满整个数轴，所以数轴上的点和实数一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，8、比较实数大小的方法：实数的

8、大小比较与有理数的大小比较的原则是相同的在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；正数大于零，零大于负数；两个负数进行大小比较时，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小；两个正实数的大小比较，一般采用作差法、作商法、作平方法等。（1）数轴法在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。（2）计算法：直接求实数的值（或近似值），然后根据实数的性质（正数0负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小）进行比较。求值时一般将实数写成小数的形式。（3）特殊性质法：利用某些数的特殊性质，如：（1）分母相同的两个正分数，分子大的分数较大；分子相同的两个正分数，分母大的反而小；（2）若

9、 ab0，则0，（n 为正整数）。（4）作差法：对实数 a、b，若 a-b0，则 ab；若 a-b0，则 ab；若 a-b0，则 ab。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - - （5）作商法：（1）对 a0，b0，若 a/b 1，则 ab；若 a/b 1，则 ab；若 a/b=1 ，则 a=b；（2）对 a0，b1 ，则 ab；若 a/bb；若 a/b=1 ，则 a=b。说明：（ 1）作差法是与0 比较，作商法是与1 比较。（ 2）作差法

10、适用于任意两个实数的大小比较。而用作商法时，需分两正数比较和两负数比较两种情况。三、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x 就叫做 a 的算术平方根，记为“”读作“根号a”。说明： 0的算术平方根是0，即=0。四、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a 即 x2=a，那么这个数x 和它的相反数X就叫做 a 的平方根，也叫做二次方根。平方根的性质：一个正数有两个平方根；0 只有一个平方根，它是0 本身；负数没有平方根。开平方： 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。五、立方根：一般地，如果一个数x 的立方等于a，即 x3=a，

11、那么这个数x 就叫做 a 的立方根（也叫做三次方根）。立方根的性质：正数的立方根是正数；0 的立方根是0；负数的立方根是负数。开立方： 求一个数的立方根的运算叫做开立方，其中a 叫做被开方数。六、确定平方根或立方根的大致范围有些数的平方根或立方根不是有理数，而是无理数，这些数都是开方开不尽的数，我们可以借助平方运算或立方运算，通过两边夹遭韵方法估计它们的值所在的范围，例如要估算43的大小，要求误差小于 O1首先找出43 邻近的两个完全平方数，如364349，则 364349，即6437，由 此 可 见 43 的 整 数 部 分 应 是6， 然 后 再 由6.52=42.25 ， 6.62=43

12、.56得42.254343.56 ， 得6.543O ）个单位，纵坐标就增加a，向下平移 a （a0） 个单位，纵坐标就减少a，比如已知点A(2，3) 、B(3，1) ，线段 AB向上平移1 个单位，点 A变为 A(2 ，4)，点 B变为 B(3 ，2)，线段 AB向下平移 1 个单位，点A变为 A”(2， 2)，点 B变为B”(3， 0). 反之，当图形上点的横坐标不变，纵坐标增大或减小时，图形会相应地向上或向下平移(2) 当图形左、右平移时，纵坐标不变，而横坐标发生变化，向左平移时，横坐标变小，向右平移时，横坐标变大反之，当图形上点的纵坐标不变，横坐标减小或增大时，图形就会相应地向左平移或

13、向右平移三、图形的伸长、压缩与图形坐标变化之间的关系当图形各点的横坐标不变，纵坐标扩大或缩小时，图形被纵向拉长或压缩；同样的，当图形各点的纵坐标不变，横坐标扩大或缩小时，图形被横向拉长或压缩四、图形轴对称与图形坐标变化之间的关系图形关于 x 轴或 y 轴对称，是坐标平面内常用到的一种变化，当图形关于x 轴对称时，对应点的连线被 x 轴垂直平分，因此，对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，比如点A(2，-3) 和点 B(2，3) 关于 x 轴对称，同样的，图形关于y 轴对称时，对应点的横坐标互为相反数，纵坐标不变反之，当图形上的各点横坐标相同，纵坐标互为相反数时，图形关于x 轴对称；当图形上的各

14、点纵坐标相同，横坐标互为相反数时，图形关于y 轴对称精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 当两点关于原点对称时，两点的横坐标、纵坐标都互为相反数，比如点五、直角坐标系中点的坐标特征及应用在平面直角坐标系中，(1) 若点 P(a，b) 在第一象限内，则其横、纵坐标均为正数，即a0，b0; 反过来，若a0，b0，则点 P(a，b) 在第一象限内(2) 若点 P(a，b) 在第二象限内，则a0；反过来，若 a0，则点 P （a，b）必在第

15、二象限内(3) 若点 P(a， b) 在第三象限内，则a0，b0; 反过来，若a0，b0，b0，b0 时， y 随 x 的增大而增大，即从左至右直线上升。（2）k0）或向下（ b0）平移个单位得到。四、用待定系数法求解析式的步骤：（1）设出含有待定系数的解析式。（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式中，得到关于待定系数的方程（组）。（3）解方程（组），求出待定系数的值。（4）将求得的待定系数代回所设的解析式中。说明：用待定系数法确定一次函数解析式，常将函数设为y=kx+b （k0） ，其中 k、b 为待定系数。再将 x、y 的两组对应值（或直线上任意两点的坐标）代入解析式，得到两个

16、关于k 和 b 的一次方程，解两个方程组成的方程组，即可确定k、b 的值。五、一元一次方程与一次函数的关系：一元一次方程ax+b=0(a 、b 为常数，且a0)可看做是一次函数y=ax+b（a、b 是常数， a0）的值是0的一种特例，其解是直线y=ax+b(a 、b 是常数， a0)与 x 轴交点的横坐标，所以解一元一次方程ax+b=0(a ，b 是常数， a0)可以转化为当一次函数y=ax+b(a ，b 是常数， a0)的值为0 时，求相应自变量的值因此可利用函数图象来解一元一次方程精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -

17、 - - - - - -第 18 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 第七章一元二次方程组一、二元一次方程：含有两个未知数，并且所含有的未知数的项的次数都是1 的方程叫做二元一次方程。二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。二元一次方程组的解法：解二元一次方程组的基本思想是消去一个未知数转化成一元一次方程求解。二元一次方程组的解法有三种： (1)代入消元法； (

18、2) 加减消元法； (3) 图象法二、代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用只含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，将二元一次方程组化为一元一次方程，这种解方程的方法叫做代入消元法，简称代入法。用代入法解二元一次方程组的步骤： 1、求表达式：选取一个系数较为简单的方程进行变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数。 2、代入消元：将求得的表达式代入另一个方程，得到一个一元一次方程，求解该方程可得一个未知数的值。 3、解这个一元一次方程。 4、将求出的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。三、加减消元法：使两个方程的某一未

19、知数的系数绝对值相等，然后将两个方程相加或相减，消去其中此未知数，转化为一元一次方程，这种解方程的方法叫做加减消元法，简称加减法。用加减法解二元一次方程组的步骤： 1、变换系数：将每个方程分别变形，用适当的数乘以方程的两边，使两个方程中某个未知数系数的绝对值相等。 2、加减消元：把两个方程的左右两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，求解可得一个未知数的值。 3、代回求解：将求出的未知数的值代入任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。四、二元一次方程与一次函数的关系：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归

20、纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 二元一次方程kx- y+b=O(kO)与一次函数y=kx+b(k 0)的关系是一一对应的，每个二元一次方程都可以转化为一个一次函数，反之亦然；二元一次方程kx-y+b=O( kO)的解与一次函数y=kx+b(k O)图象上的点的坐标是一一对应的。五、用图象法解二元一次方程组二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数的图象的交点坐标，同样，两个一次函数图象的交点坐标，就是对应的二元一次方程组的解因此，先把二元一次方程组中的两个方程化为y=klx+b1(k1O)和 y=k2x+b2 (k2O

21、)的形式，然后画出图象，找到交点的坐标，该交点的坐标就是二元一次方程组的解。六、列二元一次方程组解决实际问题的步骤： (1)审清题意，设出两个未知数； (2)找到两个等量关系； (3)列出二元一次方程组； (4)解方程组，求出方程组的解； (5)判断解的合理性，解决实际问题。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 第八章数据的代表一、算术平均数：一般地，对于n 个数 xl，x2， xn我们把 1/n （x1+x2+xn) 叫做这 n

22、个数的算术平均数，简称平均数，记为x二、加权平均数：在 n 个数据中，如果xl出现 f1次， x2出现 f2次， xk出现 fk次（这里 fl+f2+fk=n），那么这n个数据的平均数为x=l/n (x1f1+x2f2+xkfk) 就叫做这 n 个数据的加权平均数算术平均数是加权平均数的特殊情况。三、中位数：将一组数据按照大小顺序排列，若数据的个数是奇数，则最中间的那个数据就是该组数据的中位数；若数据的个数是偶数，则最中间两个数据的平均数就是该组数据的中位数. 四、众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。五、平均数、中位数和众数的区别与联系：联系：平均数、中位数和众数都是数据

23、的代表，它们能充分反映一组数据的“平均水平”区别： (1) 平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数据都有关，所以最为重要平均数的优点是所有数据都参与运算，它能充分利用数据所提供的信息，在实际生活中经常利用，但易受极端值的影响。 (2)中位数受极端值的影响较小，当一组数据的个别数据变动较大时，一般用它来描述集中趋势中位数的优点是计算简单，不受极端值影响较小，缺点是不能充分利用数据所提供的信息。 (3)众数只与数据出现的次数有关，不受个别数据影响，有时是我们最关心的众数的优点是它是人们尤为关心的，它是一组数据中出现次数最多的一个数，缺点是当各个数据出现次数大致相等时，众数就没有什么意义了。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - - -