正弦定理和余弦定理(共10页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上 正弦定理和余弦定理一、 选择题1. (2014新课标全国卷高考理科数学T4)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5 B. C.2 D.1【解题提示】利用三角形面积公式求得角B,然后结合条件,利用余弦定理,求得AC.【解析】选B.因为SABC=acsinB=sinB=,所以sinB=,所以B=或.当B=时,经计算ABC为等腰直角三角形,不符合题意,舍去.（2） 所以B=,使用余弦定理,b2=a2+c2-2accosB,解得b=.故选B.二、填空题2. (2014湖北高考文科T13)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=

2、1,b=,则B=.【解析】依题意,由正弦定理知=,得出sinB=.由于0B,所以B=或.答案:或【误区警示】由于解题过程中无法判断B是锐角还是钝角,所以由sinB=得到两个结果:B=或.本题的易错点是漏掉其中一个.3.(2014广东高考理科)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则=.【解析】方法一:由正弦定理bcosC+ccosB=2b,即sinBcosC+sinCcosB=2sinB,即sin(B+C)=2sinB,sin(-A)=2sinB, 有sinA=2sinB,再由正弦定理得a=2b,=2.方法二:如图,作ADBC于点D, 则a=BC=B

3、D+DC=ccosB+bcosC=2b,即=2. 答案:2【创新提示】熟用三角形射影定理可迅速得解.4.（2014福建高考文科14）14在中，,则等于_【解题指南】直接应用余弦定理求解。【解析】由余弦定理，得，即，解得答案：15.（2014福建高考理科12） 在中，,则的面积等于_【解题指南】先利用余弦定理求出AB，再由面积公式求解。【解析】由题，即，解得，所以【答案】6. （2014山东高考理科12）在中，已知，当时，的面积为 .【解题指南】本题考查了平面向量的数量积及三角形的面积公式，先利用数量积的定义写出等式，再利用面积公式求出三角形面积.【解析】由已知及平面向量数量积的定义可得，所以，

4、所以答案：.7. （2014山东高考文科12）函数的最小正周期为.【解题指南】本题考查了三角恒等变换知识，可先降幂，再化为一个角的三角函数.【解析】： .答案：8. （2014天津高考理科12）在中，内角所对的边分别是.已知，则的值为_. 【解析】因为，所以，解得，.所以.【答案】三、解答题9、. （2014湖南高考理科18）（本小题满分12分）如图5，在平面四边形中，（1）求的值；（2）若求的长【解题提示】 利用三角形的内角和定理、余弦定理和正弦定理求解。【解析】（1）如图5，在中，由余弦定理，得由题设知，（2）如图5，设则因为所以于是在中，由正弦定理得，故10. （2014浙江高考文科18

5、）在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知（1）求角C的大小；（2）已知，的面积为6，求边长的值【解析】（1）因为，所以 = = =2+2=2+ 所以，。（2）由正弦定理知， 所以；由余弦定理知，所以 =10， 所以所以当，的面积为6时，边长的值为.11. （2014浙江高考理科18）（本题满分14分）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知，(1)求角C的大小；(2)若求ABC的面积.【解析】（1）由题意得，所以即由，得，又，得，所以，即（2）由，得由，得，从而，所以 所以，的面积为12. （2014辽宁高考理科17）（本小题满分12分）在中，内角A，B，C的对边，且，已知，

6、求：（）和c的值；（2）的值.【解析】（1）由，得，所以；又由及余弦定理得，所以结合，解得（）由得，由得;所以13、（2014辽宁高考文科17）在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，求：（1）a和c的值；（2）的值.【解析】（1）由，得，所以；又由及余弦定理得，所以结合，解得（）由得，由得;所以14. （2014山东高考文科17）在中，角所对的边分别是.已知（）求的值；（）求的面积.【解题指南】(1)本题先求出sinA，再利用A，B之间的关系求出sinB，然后用正弦定理求出b.(2)本题可利用余弦定理求出c，再利用三角形面积公式求出三角形面积.【解析】：（）由题意知：， ， 由正弦定

7、理得：（）由余弦定理得： 又因为为钝角，所以，即， 所以15.(2014陕西高考文科T16)(本小题满分12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C).(2)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cosB的值.【解题指南】(1)先利用等差数列得三边关系,再利用正弦定理将边转化为角的形式从而得证;(2)利用等比数列得三边关系,再结合所给条件用余弦定理求cosB的值.【解析】(1)因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.因为sinB=sin-(A+C)=sin(A+C

8、),sinA+sinC=2sin(A+C).(2)因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac,又c=2a,所以b=a.由余弦定理得cosB=.16.(2014陕西高考理科T16)(本小题满分12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C).(2)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.【解题指南】(1)先利用等差数列得三边关系,再利用正弦定理将边转化为角的形式从而得证.(2)利用余弦定理及基本不等式解决最值问题,注意取最值的条件须注明.【解析】(1)因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.由正弦定理得sin

9、A+sinC=2sinB.因为sinB=sin-(A+C)=sin(A+C),sinA+sinC=2sin.(2)因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.由余弦定理得cosB=.当且仅当a=c时等号成立.所以cosB的最小值为.16. （2014天津高考文科16）（本小题满分13分）在中，内角所对的边分别为，已知，（1） 求的值；（2） 求的值.【解析】(1)在ABC中,由及sin B=sin C,可得b=c,又由a-c=b,有a=2c.所以cos A=.(2)在ABC中,由cosA=,可得sin A=.于是cos 2A=2cos2A-1=-,sin2A=2sin Acos A=.所以cos

10、=cos 2Acos+sin 2Asin17.（2014安徽高考文科16）设的内角所对边的长分别是，且，的面积为，求与的值.【解题提示】根据三角函数的基本公式及正、余弦定理解答。【解析】（1）有三角形面积公式，得，因为，所以，（1）当时，由余弦定理得，所以。（2）当时，由余弦定理得18.（2014安徽高考理科16）设的内角所对边的长分别是，且（1）求的值；（2）求的值.【解题提示】根据三角函数的和角、倍角公式及正、余弦定理解答。【解析】（1）因为A=2B， 所以，由正、余弦定理得，因为b=3,c=1,所以。（3） 由余弦定理得=，因为，所以，故= 19. (2014新课标全国卷高考文科数学T1

11、7)(本小题满分12分)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD.(2)求四边形ABCD的面积.【解题提示】(1)画出图形,结合图形利用余弦定理求解.(2)利用SABCD=SABD+SBCD求解.【解析】(1)设x=BD,分别在ABD,BCD中,对角A,C用余弦定理,则cosA=,cosC=.因为A+C=,所以cosA+cosC=0,联立上式解得x=,cosC=,所以C=,BD=.(2)因为A+C=,C=,所以sinA=sinC=,四边形ABCD的面积SABCD=SABD+SBCD=ABADsinA+CBCDsinC= (1+3)=2.所以,四边形ABCD面积为2.专心-专注-专业