2022年数学分布+生存分析+贝叶斯概率公式+全概率公式.pdf

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1、数学期望：随机变量最基本的数学特征之一。它反映 随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均 的一种推广。例如某城市有 10 万个家庭，没有孩子的家庭有1000 个，有一个孩子的家庭有9 万个，有两个孩子的家庭有6000 个，有 3 个孩子的家庭有 3000 个， 则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值 0，1，2，3，其中取 0的概率为 0.01，取 1 的概率为 0.9，取 2 的概率为 0.06，取 3 的概率为 0.03，它的数学期望为 00.0110.920.0630.03等于 1.11， 即此城市一个家庭平均有小孩 1.11个，用数学式子表示为

2、： E(X)=1.11。也就是说， 我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭， 最有可能它家的孩子为1.11个。可以简单的理解为 求一个概率性事件 的平均状况。各种数学分布的方差是：1、一个完全符合 分布的样本2、这个样本的方差概率密度 的概念是：某种事物发生的概率占总概率 (1)的比例 ,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80 的正态分布，即平均分是80 分，由正态分布的图形知x=80 时的函数值最大，即随机变量在80 附近取值最密集，也即考试成绩在80 分左右的人最多。下图为概率密度函数图 (F(x)应为 f(x)，表示概率密度 )：精品资料 - - -

3、 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 离散型分布：二项分布、泊松分布连续型分布：指数分布、正态分布、X2分布、 t 分布、 F 分布抽样分布只与自由度，即样本含量（抽样样本含量）有关二项分布（ binomial distribution） ：例子抛硬币1、 重复试验（ n 个相同试验，每次试验两种结果，每种结果概率恒定伯努利试验）2、抽样分布精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -

4、 - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 3、 P(X=0), P(X=1), P(X=3), .所有可能的概率共同组成了一个分布，即二项分布泊松分布（ possion distribution ） ：1、 一个单位 内（时间、面积、空间）某稀有事件2、 此事件发生 K 次的概率3、P(X=0), P(X=1), P(X=3), .所有可能的概率共同组成了一个分布，即泊松分布精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - -

5、 - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 二项分布与泊松分布的关系：二项分布 在事件发生 概率很小 ，重复次数 n 很大的情况下，其分布 近似泊松分布均匀分布 (uniform distribution)：分为连续型均匀分布 和离散型均匀分布离散型均匀分布：1、n 种可能的结果2、每个可能的概率相等 (1/n) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - -

6、 - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 连续型均匀分布：1、可能的结果是连续的2、每个可能的概率相等 () 连续型均匀分布概率密度函数如下图：指数分布（ exponential distribution ） ：用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、 中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。指数分布常用于各种 “寿命”分布 的近似。1、连续型分布，每个点的概率：2、无记忆性。已经使用了s 小时的元件，它能再使用t 小时的概率，与一个从未使用过的元件使用t 小时的概率相同。即它对已经使用过的s 小时没有记忆。精品资料 -

7、- - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 指数分布的概率密度函数如下图：正态分布（ normal distribution） ：又称高斯分布。1、描述一个群体的某个指标。2、这个指标是连续的。3、每个特定指标在整个群体中都有一个概率（） 。4、所有指标概率共同组成了一个分布，这个分布就是正态分布。正态分布的概率密度函数如下图：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

8、- -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 中心极限定理：不论总体 的分布形式 如何（正态或非正态），只要样本（ 抽样样本 ）含量 n 足够大时，样本均数 的分布就近似 正态分布 ，且均数与总体均数相等，标准差为（总体标准差） /（n 的开方） 。中心极限定理使得t 分布、 F 分布和 X2分布在抽样样本含量很大时不需要对总体样本是否正态有要求。t 分布（ student t distribution ）: 1、t 分布是以 0 为中心的 一簇曲线 ，每个自由度决定一个曲线2、自由度 是一个抽样小样本中的具体观测值 的个数（抽样样本含量） - 13、总体样本呈 正态

9、分布（抽样样本含量较小时，要求总体样本呈正态分布，如果抽样样本含量很大（ eg. n = 100） ，由中心极限定理可知抽样样本均数也近似正态分布，因而“差值”的概率也呈正态分布，而t 分布的每一条曲线实际上都是正态分布曲线）4、从一个总体样本中 抽取很多个 小样本 抽样5、每个小样本都有一个 均值6、每个 小样本的均值 与总体样本均值 有一个 差值 ，这个差值用 t 估计7、可能有多个小样本的差值估计都是t，t 出现的次数 占所有小样本的 比例可以用一个 概率衡量精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -

10、 -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 8、所有 t 值的概率 组成一个 分布，就是 t 分布的 一个曲线9、另外做一个抽样，每个小样本包含的观测值不同，则形成t 分布的 另外一个曲线10、自由度越大，则曲线越接近于标准正态分布11、t 分布只与 自由度 相关t 分布的概率密度函数如下图（v 为自由度）：X2分布（ chi square distribution ） ：1、X2分布也是 一簇曲线 ，每个自由度决定一个曲线2、自由度 是一个抽样小样本中的具体观测值 的个数（抽样样本含量） - 12、总体样本呈 正态分布（抽样样本含量（n）较小时，要求总体样本呈正态分

11、布）3、从总体样本中 抽取 n 个观测值 ：z1，z2，z3抽样4、将它们 平方后求和，这个和用一个 新变量表示 ，即 X25、重复抽样 并获得多个 X2：X12，X22，X32，X426、可能有多次抽样的X2值相同， 同一个 X2值的抽样次数 占总次数的 比例可以用一个 概率表示精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 7、所有的 概率值共同组成一个 分布，就是 X2分布 的一条曲线8、另外做一次，只要从总体中选取观测值数目n 不同，得

12、到的就是 另外一条曲线10、自由度越大，则曲线越接近于标准正态分布11、X2分布只与 自由度 相关X2分布的概率密度函数如下图（n 在这里为自由度）：F 分布（F-distribution） ：1、F 分布也是 一簇曲线 ，每对自由度 决定一个曲线2、自由度 是一个抽样小样本中的具体观测值 的个数（抽样样本含量） - 12、两总体样本方差比的分布3、总体样本呈 正态分布（抽样样本含量（n）较小时，要求总体样本呈正态分布）4、从总体样本中 抽取两个样本 ， 两个样中的观测值数目可相同也可不同，分别记为 n1和 n25、分别 计算出 X2：X1，X26、构建一个 新变量 F：精品资料 - - -

13、欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 7、重复抽取样本，计算 多个 F 值：F1，F2，F3. 8、可能有多次抽样的F 值相同， 同一个 F 值的抽样次数 占总次数的 比例可以用一个概率表示9、所有的 概率值共同组成一个 分布，就是 F 分布的一条曲线10、另外做一次， 只要从总体中选取观测值数目n 不同，得到的就是 另外一条曲线10、两个自由度越大，则曲线越接近于标准正态分布11、F 分布只与 自由度 相关F 分布的概率密度函数如下图（m，n 在这里为

14、自由度）：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 【在推估总体平均值时，基于样本平均数的抽样分布】t 分布【在用样本方差来推估总体方差时，必须知道样本方差的抽样分布】X2分布【比较两个总体的方差是否相等时，必须知道样本方差的联合抽样分布】F分布生存分析（ survival analysis ） ：1、2、多种影响慢性疾病的因素（不同手术方法、不同药物 ）3、随访一群患者4、5、一段时间后统计生存和死亡3、最终给出的结果是一个 评价各种

15、因素对生存时间的 影响（生存时间、生存率有无差异）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 贝叶斯公式（ bayes formula ） ：1、2、描述两个 条件概率 之间的 关系 P(Bi|A)与 P(A|Bi)，A 为事件， Bi 为一个划分3、P(Bi|A)=P(A|Bi)*P(Bi)/P(A) 或者4、看图理解全概率公式（ full probability formula） ：1、描述一个特定 事件的概率 与条件概率 间的关系2、3、 P(A)=P(A|B1)*P(B1) + P(A|B2)*P(B2) + . + P(A|Bn)*P(Bn) 4、 看图理解精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -