2022年数学分析上册练习题.pdf

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1、一、填空题1. _sinlimxxxx2. 已知25lim232nanbnn，则a_，b_; 3. 若)3)(2)(1(xxxxy，则y(0) =_；4. 设函数)(xf在),(上可导，且0)(xf,3)0(f,则)(xf。5. xxx1sinlim_. 6. 若函数0),ln(, 0,)(xexxaxxf在),(连续，则a二、选择题1下列函数在给定区间上不满足拉格朗日中值定理的有（） 。Axy2, 1；B. 15423xxxy1 , 0；C21lnxy3, 0；D. 212xxy1 , 1。2若函数)(xf在点0 x处可导，则 ( )是错误的A函数)(xf在点0 x处有定义BAxfxx)(l

2、im0，但)(0 xfAC函数)(xf在点0 x处连续D函数)(xf在点0 x处可微3设)(xfy是可微函数，则)2(cosdxf（） Axxfd)2(cos2Bxxxfd22sin)2(cosCxxxfd22sin)2(cosDxxxfd2sin)2(cos24当00 xfxx时，；当00 xfxx时，则点0 x一定是函数xf的（） 。A. 极大值点B. 极小值点C. 驻点D.以上都不对5设axnn|lim，则（）(A) 数列nx收敛；(B) axnnlim；(C) axnnlim；(D) 数列nx可能收敛，也可能发散。6设|sin)(xxxf，则0 x是f的（）(A) 连续点；(B) 可去

3、间断点；(C) 跳跃间断点；(D) 第二类间断点。7若函数)(xf在),(ba上连续，则)(xf（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - (A) 在),(ba有界；(B) 在),(ba的任一闭区间上有界；(C) 在),(ba无界；(D) 在,ba有界。8设)(xf是奇函数，且0)(lim0 xxfx，则（）(A) 0 x是f的极小值点；(B) 0 x是f的极大值点；(C) )(xfy在0 x的切线平行于x轴； (D) )(xfy在0 x

4、的切线不平行于x轴。9设)(xfy在0 x可微，记0 xxx，则当0 x时，dyy（）(A) 是x的高阶无穷小；(B) 与x是同阶无穷小；(C) 与x是等价无穷小；(D) 与x不能比较。三、解答题1222111lim12nnnnn；2设sin1cosxa ttyat，求22d ydx3设,为可导函数，22)()(xxy,求y; 4)122(limnnnn四、1. 设,00,0g xxfxxx，且已知000gg，04g, 试求0f2. 设12a，12nnaa ，1,2,n，证明 : 数列na的极限存在并求其值。3. 设0k,试问k为何值时 ,方程0arctankxx存在正实根 . 五、1. （1

5、）若函数)(xf在,ba上可导，且mxf)(，证明；)()()(abmafbf；（2）若函数)(xf在,ba上可导，且Mxf|)(|，证明：)(|)()(|abMafbf，（3）证明：对任意实数21, xx，都有|sinsin|1221xxxx。2. 设函数ax 在点)(连续，)()(),()(afafxaxxf和求，问在什么条件下)(af存在。六、按函数作图步骤，作函数2arctanfxxx的图像。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - -

6、 一、填空题1. 20lim_;1cosxxx2.1cos sinyxx函数的连续区间为; 3. 数集|Sx x为（ 0，1）内的无理数 ，其上下确界分别为_ ；4. 数列( 1)1nnn的全体聚点为; 5. 设函数)(xf在),(上可导，且( )cosfxx,(0)1f,则)(xf6. )1(lim2xxxx_; 7 xxx1sinlim08. 设曲线2axy与曲线xyln相切，则a; 9 设2|2xxE，则Esup；Einf10. 若函数0),ln(,0,)(xexxaxxf在),(连续，则a. 二、选择题1. 设aunnlim，则当n时，nu与a的差是（）(A) 无穷小量 (B)任意小的

7、正数 (C)常量 (D) 给定的正数2. 设函数)(xf在),(ba内连续，),(0bax，且0)()(00 xfxf，则函数在0 xx处（）. （A）取得极大值（B）取得极小值（C）一定有拐点)(,(00 xfx（D）可能有极值，也可能有拐点。3. 设)(xf是偶函数，在0 点可导，则)0(f（ ）(A) 1 (B)-1 (C) 0 (D) 以上都不对 . 4. 函数328)(xxxf，则(A)在任意区间 a,b上罗尔定理成立； （B）在 0,8上罗尔定理不成立；（C）在0,8上罗尔定理成立； (D) 在任意闭区间上罗尔定理不成立.5. 函数f xxx( )sin1在点x0处（） (A) 有

8、定义且有极限； (B) 无定义但有极限；(C) 有定义但无极限； (D)无定义且无极限6. 设|sin)(xxxf，则0 x是函数f的（）(A) 连续点；(B) 跳跃间断点；(C) 可去间断点；(D) 第二类间断点。7. 若函数f在),(ba上连续，则函数f在（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - (A) ),(ba有界； (B) ),(ba无界； (C) ,ba有界(D) ),(ba的任一闭区间上有界。8. 设)3)(2)(1()(

9、xxxxxf，则方程0)(xf在)3,0(上（）(A) 没有根；(B) 最多有两个根；(C) 有且仅有三个根；(D) 有四个根。9设f在,ba上二阶可导，且0f，则axafxfxF)()()(在),(ba上（）(A) 单调增；(B) 单调减；(C) 有极大值；(D) 有极小值。10设f在,ba上可导，,0bax是f的最大值点，则（）(A) 0)(0 xf; (B) 0)(0 xf；(C) 当),(0bax时0)(0 xf; (D) 以上都不对。三、解答题1.( )( ) | ( ),( )( )xaf xxaxf xafa设在点 处连续，函数求在点 处的左右导数。并求存在的条件 .2. 设23

10、(1)(2)3xxyx，计算ddyx。3. 已知. 012lim2baxxxx求a和b .4. 求极限011lim1xxxe5. 求极限nnnn2111lim.6. 设23(1)(2)3xxyx，计算ddyx。7. 求极限xxxsin0)(tanlim；8. 求极限21limln(1)xxxx四、1. 证明：当02x时， sintan2xxx 。2. 设1163,6(1,2,)nnxxxn.证明数列nx收敛，并求其极限. 3. 按N定义证明352325lim22nnnn. 4. 设( )f x在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f，有2( )( )F xx f x，证明：在(0,1)内至少存在

11、一点，使得：( )0F。5. 证明：当02x时，tansinxxxx。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 6 给定两正数1a与1b(1a1b),作出其等差中项2112baa与等比中项112bab,令21nnnbaa,nnnbab1.证明: nnalim与nnblim皆存在且相等。7 设321,aaa为正数，321，证明：方程0332211xaxaxa在区间),(21与),(32内各有一个根。8.若( )f x在 , a b上连续，在(

12、 , )a b上可导，( )( )0f af b，证明：R ，( , )a b使得：( )( )0ff。五、1、设0001sin)(24xxxxxf（ 1）证明：0 x是f的极小值点；（ 2）说明f的极小值点0 x处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。2、设函数( )f x在区间I满足利普希茨条件，即存在常数0L，使得任意两点12,x x都有2112()(),f xf xL xx证明（1）函数( )f x在区间I上一致连续；（2）函数( )sinf xx在区间(,)上一致连续。六、1. 在ba,上的连续函数f为一致连续的充要条件是0,0bfaf都存在 .2.用有限覆盖定理或者用闭区间套定理证明根的存在定理。3、设函数f在),0(上满足方程)()2(xfxf且.证明: Axf)(,),0(x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -