2022年数学分析教案第三章函数极限.pdf

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1、第三章函数极限教学目的：1. 使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质；2. 理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；3. 掌握两个重要极限和，并能熟练运用；4. 理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。教学重（难）点 ：本章的重点是函数极限的概念、 性质及其计算； 难点是海涅定理与柯西准则的应用。教学时数 ：14学时 1 函数极限概念（2 学时）教学目的 ：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。教学要求 ：使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确

2、表述函数不以某实数为极限等相应陈述。教学重点 ：函数极限的概念。教学难点 ：函数极限的定义及其应用。一、 复习： 数列极限的概念、性质等二、 讲授新课：（一）时函数的极限：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 以时和为例引入 . 介绍符号 : 的意义 ,的直观意义 . 定义 ( 和 . ) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数然后用这些邻域语言介绍几何意义例 1 验证例 2 验证例 3 验证证（二）时函数的极限：由考虑时的极限引入 .

3、定义函数极限的“”定义 . 几何意义 . 用定义验证函数极限的基本思路. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 例 4 验证例 5验证例 6 验证证由= 为使需有为使需有于是, 倘限制 , 就有例 7 验证例 8 验证 ( 类似有（三）单侧极限 : 1定义： 单侧极限的定义及记法 . 几何意义 : 介绍半邻域精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

4、- -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 然后介绍等的几何意义 . 例 9 验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: Th 类似有 : 例 10 证明: 极限不存在 . 例 11 设函数在点的某邻域内单调 . 若存在, 则有=2 函数极限的性质（ 2 学时）教学目的 ：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求 ：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点 ：函数极限的性质及其计算。教学难点 ：函数极限性质证明及其应用。教学方法 ：讲练结合。一、组织教学：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -

5、- 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 我们引进了六种极限 : , . 以下以极限为例讨论性质 . 均给出证明或简证 . 二、讲授新课：（一）函数极限的性质 : 以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性 : 2.局部有界性 : 3.局部保号性 : 4.单调性 ( 不等式性质 ): Th 4 若和都存在 , 且存在点的空心邻域, 使 ，都有证设= ( 现证对有) 註: 若在 Th 4 的条件中 , 改“”为“”, 未必就有以举例说明 . 5.迫敛性 : 6.四则运算性质 : ( 只证“ +”和“”)（二）利用极

6、限性质求极限：已证明过以下几个极限：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - （ 注意前四个极限中极限就是函数值）这些极限可作为公式用 . 在计算一些简单极限时 , 有五组基本极限作为公式用 , 我们将陆续证明这些公式 . 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限 , 代入基本极限的值 , 即计算得所求极限 . 例 1 ( 利用极限和) 例 2 例 3 註: 关于的有理分式当时的极限 . 例 4

7、利用公式 例 5 例 6 例 7 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 例 8 例 9 例 10 已知求和补充题 : 已知求和 () 3 函数极限存在的条件（ 4 学时）教学目的 ：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。教学要求 ：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。教学重点 ：海涅定理及柯西准则。教学难点 ：海涅定理及柯西准则运用。教学方法 ：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。本节介绍函数极限存

8、在的两个充要条件. 仍以极限为例. 一.Heine 归并原则函数极限与数列极限的关系：Th 1 设函数在点的某空心邻域内有定义 . 则极限存在,对任何且都存在且相等 .( 证 ) Heine 归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系, 是证明极限不存在的有力工具 . 对单侧极限 , 还可加强为单调趋于. 参阅1P70. 例 1 证明函数极限的双逼原理 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 例 2 证明例 3 证明不存在 . 二.

9、Cauchy准则: Th 2 (Cauchy准则) 设函数在点的某空心邻域内有定义. 则存在,证 ( 利用 Heine 归并原则 ) Cauchy准则的否定 : 不存在的充要条件 . 例 4 用 Cauchy准则证明极限不存在 . 证取例 5 设在 上函数. 则极限存在, 在上有界 . ( 简证, 留为作业 ). 4 两个重要极限（ 2 时）教学目的 ：掌握两个重要极限，并能熟练应用。教学要求 ：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用。教学重点 ：两个重要极限的证明及运用。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳

10、 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 教学难点 ：两个重要极限的证明及运用。教学方法 ：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。一（证）（同理有）例 1 例 2 . 例 3 例 4 例 5 证明极限不存在 . 二. 证对有例 6特别当等. 例 7 例 8 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 例 9 5 无穷小量与无穷大量阶的比较（ 2 学时）教学目的 ：理解无穷小（大）

11、量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。教学要求 ：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。一.无穷小量 : 定义. 记法. 例 1判断: 可怜虫是很小很可怜的虫 ; ( ) 无穷小量是很小很小的量 . ( ) 无穷小的性质 : 性质 1 ( 无穷小的和差 ) 性质 2 ( 无穷小与有界量的积 ) 例 2 无穷小与极限的关系 : Th 1 ( 证 ) 二. 无穷小的阶 : 设时1 高阶（或低阶）无穷小：2 同阶无穷小：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

12、- -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 三 等价无穷小：Th 2 ( 等价关系的传递性 ). 等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3 ( 等价无穷小替换法则 ) 几组常用等价无穷小 : （见2 ）例 3 时, 无穷小与是否等价 ? 例 4 四.无穷大量 : 1.定义: 2.性质: 性质 1同号无穷大的和是无穷大 .性质 2无穷大与无穷大的积是无穷大. 性质 3 与无界量的关系 . 无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论 , 有平行的结果 . 3.无穷小与无穷大的关系: 无穷大的倒数是无穷小 , 非零无穷小 的倒数是无穷大习题课（ 2 学时）一、理论概

13、述：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 二、范例讲析：例 1 设数集无界. 试证明 : 存在数列 使例 2 设为定义在上的递增函数 . 证明: 极限存在的充要条件是函数在上有上界 . 例 3证明: 对其中是 Riemann函数. 例 4 设函数定义在内, 且满足条件 对有试证明是内的常值函数 . 例 5求极限注意=有界例 6求和. 解法一又解法二， 由且原式极限存在， 即. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 例 7. 求. 注意时,且. 先求由 Heine 归并原则即求得所求极限.例 8 求和. 并说明极限是否存在 . 解; 可见极限不存在 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -