2022年数学思维导图案例.pdf

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1、数学思维导图(2012 山东高考 满分 12 分)如图，几何体 EABCD 是四棱锥， ABD 为正三角形，CBCD，ECBD. (1)求证：BEDE；(2)若BCD120 ，M 为线段 AE 的中点，求证： DM平面 BEC. 教你快速规范审题 1审条件，挖解题信息观察条件 ABD为正三角形， CBCD，ECBD 取BD中点O连接EO，COCOBDECCOCBD平面 EOC2审结论，明解题方向观察所证结论求证BEDE需证明BDE是等腰三角形应证明 EOBD3建联系，找解题突破口CBCDO为BD中点COBDECBDBD平面 EOCOE? 平面EOCBDOEBDE是等腰三角形BEDE1审条件，挖

2、解题信息观察条件ABD为正三角形 BCD120 ，M是AE的中点取AB的中点 N，连接DM，DN，MNMNBE，DNAB，CBAB2审结论，明解题方向精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 观察所证结论 DM 平面 BEC 需证面面平行或线线平行平面DMN平面 BEC或DM 平行于平面 BEC内的一条线3建联系，找解题突破口结合条件与图形法一证明平面 DMN 平面BEC由面面平行推证线面平行DM平面 BEC法二在平面BEC内作辅助线 EF

3、DM利用线面平行的判定DM平面 BEC教你准确规范解题 (1)如图，取 BD 的中点 O，连接 CO，EO. 由于 CBCD，所以 COBD.(1 分) 又 ECBD，ECCOC，CO，EC? 平面 EOC，所以 BD平面 EOC.(2 分) 因此 BDEO. 又 O 为 BD 的中点，所以 BEDE.(3 分) (2)法一： 如图，取 AB 的中点 N，连接 DM，DN，MN . 因为 M 是 AE 的中点，所以 MN BE.(4 分) 又 MN?平面 BEC，BE? 平面 BEC，所以 MN 平面 BEC.(5 分) 又因为 ABD 为正三角形，所以 BDN30 .(6 分) 又 CBCD

4、，BCD120 ，因此 CBD30 .(7 分) 所以 DNBC.又 DN?平面 BEC，BC? 平面 BEC，所以 DN平面 BEC.(9 分) 又 MNDNN， 所以平面 DMN平面 BEC.(10 分) 又 DM ? 平面 DMN，所以 DM平面 BEC.(12分) 法二： 如图，延长 AD，BC 交于点 F，连接 EF.(4 分) 因为 CBCD，BCD120 ，所以 CBD30 .(5 分) 因为 ABD 为正三角形，所以 BAD60 ，ABC90 .(7 分) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - -

5、 - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 因此 AFB30 ，所以 AB12AF.(9 分) 又 ABAD，所以 D 为线段 AF 的中点(10 分) 连接 DM，由点 M 是线段 AE 的中点，得 DMEF. 又 DM?平面 BEC，EF? 平面 BEC，(11 分) 所以 DM平面 BEC.(12 分)函数实际应用题答题模板典例(2011 山东高考 满分 12 分)某企业拟建造如图所示的容器 (不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803立方米，且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形

6、部分每平方米建造费用为3 千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出 y关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r. 教你快速规范审题 1审条件，挖解题信息观察条件中间为圆柱形，左右两端均为半球形的容器，球的半径为 r，圆柱的母线为 l，以及容器的体积可根据体积公式建立关系式4 r33 r2l803利用表面积公式求球及圆柱的表面积S球4 r2，S圆柱2 rl2审结论，明解题方向精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3

7、页，共 5 页 - - - - - - - - - - 观察所求结论 求y 关 于r的 函 数 表 达 式 ，求y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域求总造价 y，应求出球形部分及圆柱形部分各自的造价球形部分的造价为 4 r2c，圆柱型部分的造价为 2 rl33建联系，找解题突破口总造价 y球形部分的造价圆柱型部分的造价，即y4 r2c2 rl3应消掉 l只保留 r由4 r33 r2l803，解得 l803r24r3故可得建造费用y160r8 r24 cr2由l2r可求r的范围即定义域0r 2 问题得以解决1审条件，挖解题信息观察条件 错误 !2审结论，明解题方向观察所求结论 求该容器的建造

8、费用最小时的r建造费用最小，即 y最小问题转化为当r为何值时， y取得最小值3建联系，找解题突破口分析函数特点：含分式函数可利用导数研究函数的最值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - y160r216 r8 cr8c2 r320r2，0r2求导数为零的点当r320c2时，y0320(0 22c与， 的系，求极值讨论区间关分320c22和0 320c22两种情况讨论，并求得结论精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -