2022年数学模型狼追击兔子的问题.pdf

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1、数学模型 - 狼追击兔子的问题一、 问题重述与分析（一）问题描述神秘的大自然里， 处处暗藏杀机， 捕猎和逃生对动物的生存起着至关重要的作用，而奔跑速度和路线是能否追上和逃生的关键因素。狼追击兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达. 芬奇提出的一个数学问题。当一个兔子正在它的洞穴南面60 码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的100码处。当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴， 狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？为了研究狼是否能够追上兔子， 可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线，然后根据曲线来确定狼是否能够追上

2、兔子。（二）1、 本题目是在限定条件下求极值的问题, 可以通过建立有约束条件的微分方程加以模拟。2、 通过运用欧拉公式及改进欧拉公式的原理, 结合高等数学的有关知识, 对微分方程进行求解。3、将数学求解用 Matlab4、最后解方程的解结合实际问题转化为具体问题的实际结果。二、 变量说明1v：兔子的速度（单位：码/秒）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - r：狼与兔子速度的倍数；2v：狼的速度（单位：码 / 秒） ，显然有12rvvt：

3、狼追击兔子的时刻（t=0时，表示狼开始追兔子的时刻）1s：在时刻t，兔子跑过的路程（单位：码） ，)(11tss2s：在时刻t，狼跑过的路程（单位：码） ，)(22tssQ),(11yx：表示在时刻t时，兔子的坐标P),(yx：表示在时刻t时，狼子的坐标三、 模型假设1、狼在追击过程中始终朝向兔子；2、狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P),(yx的轨迹看作一条曲线，曲线方程表示为)(xyy。3、四、 模型建立（一）建模准备以t0 时，兔子的位置作为直角坐标原点，兔子朝向狼的方向为x 轴正向；则显然有兔子位置的横坐标01x。对狼来说，当 x100，y0，即0100 xy在 t 0

4、刚开始追击时， 狼的奔跑方向朝向兔子， 此时即 x 轴负方向，则有0100 xy（二）建立模型精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 1、追击方向的讨论由于狼始终朝向兔子， 则在狼所在位置P),(yx点过狼的轨迹处的切线方向在 y 轴上的截距为1y。设切线上的动点坐标为（X，Y） ，则切线方程为)(xXyyY（1）在（1）中，令X0，则截距xyyY。此时tvy11。则此时截距等于兔子所跑过的路程，即：1yY，从而可得xyyyY1（2）2、

5、狼与兔子速度关系的建模在 t 时刻，兔子跑过的路程为tvys111（3）由于狼的速度是兔子的r倍，则狼跑的路程为112ryrss（4）狼跑过的路程可以用对弧长的曲线积分知识得到，如下。dxysx100221（5）联立（ 2） 、 （4） 、 （5）得)(111002xyyrrydxyx（6）对（6）两边求对 x 的导数，化简得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - rxyy21（7）微分方程（ 7）式的初始条件有：0100 xy0100

6、xy3、是否追上的判断要判定狼是否追上兔子，可以通过（ 7）式判定。对（7）式，当 x0，如果计算求解得到60y，则视为没有追上；当 x0，如果计算求解得到60y，则视为兔子被追上；五、 模型求解由微分方程得到其Matlab 函数function yy=odefunlt(x,y) % 以狼在追击过程中的横坐标为自变量yy(1,1)=y(2); yy(2,1)=sqrt(1+y(2).2)./(2.*x); 主程序：tspan=100:-0.1:0.1;% 以狼的x坐标为自变量y0=0 0; % 下面只知道狼是否追上兔子，但是不易推得兔子刚刚到达窝边时，精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

7、 - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 狼与兔之间的距离T,Y = ode45(odefunlt,tspan,y0); n=size(Y,1); disp( 狼的坐标 (x=0.1) disp(Y(n,1)% 通过追击曲线计算当狼的横坐标为0.1( 即tspan=0.1)时，狼的纵坐标六、模型结果与分析运行结果：狼的坐标(x=0.1) 62.1932 通过上面运行结果可知，狼并没有追上兔子。七、 思考题通过上面的结果已经知道狼并没有追上兔子。那么兔子跑回窝边时，狼与兔子之间的距离

8、是多少？上面的程序不能解决此问题，那么用什么办法解决呢？（一）解决思路可以对狼与兔子的追击过程通过计算机进行模拟，然后从模拟结果获取。模拟程序如下，程序文件名sim_langtu.m ：function sim_langtu % 狼兔追击问题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - % （离散模拟）% 这里没有具体考虑狼、兔的具体速度% 主要通过二者的速度倍速关系及方向向量奔跑过程Q=0 0; % 兔子坐标P=100 0; % 狼坐标PQ=

9、Q-P; % 狼兔方向向量step =1; % 模拟步长：兔子奔跑的距离，step 越小就越精确count = 60/step;% 以兔子的奔跑距离划分PQ=PQ/norm(PQ)*step;% 归一化，单位向量trackP=P; trackQ=Q; for k=1:count; P = P + 2*PQ;%2 倍速度Q = Q + step*0 1;%0 1 为兔子奔跑方向的单位方向向量PQ = Q - P; trackP(1+k,:)=P; trackQ(1+k,:)=Q; PQ=PQ/norm(PQ)*step;% 归一化，单位向量dis= sqrt(sum(P-Q).2); plot(

10、trackP(:,1),trackP(:,2),*,Q(1),Q(2),rp,0,60, r+); pause(0.5) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - end%for dis % 兔子到达窝边时，狼兔之间的距离P % 兔子到达窝边时，狼的坐标Q % 兔子到达窝边时，兔子的坐标（二）模拟程序运行结果dis = 7.0619 P = 1.6805 53.1410 Q = 0 60 注：如果修改程序中的step 赋值，则结果稍有不同。

11、程序结束后，输出狼兔的位置图如下。通过下图可以直观的看到，当兔子回到窝边时，狼还与兔子有一段距离，这表示兔子成功逃脱。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 01020304050607080901000102030405060八、九、模型评价1可以熟练的运用Matlab 解决一些问题，对用 Matlab 编程有了更加深刻的了解。懂得了使用数学软件求解极限, 积分等问题的方法。对于追击问题的数学模型有了一定的了解，并能简单的运用。 对遇到

12、的一2、许多数学公式的符号十分难输入，致使数学理论表述十分困难。需要输入的数据太多，容易出现输入错误，特别是容易遗漏标点符号。3、应考虑向简单模型优化， 现有的模型还是很复杂， 尤其是一些数学的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 计算要能非常熟练的运用微积分知识。所以应考虑更加简便易懂的模型。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -