2019中考数学专题练习-圆的相交弦定理(含解析)(共23页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上 2019中考数学专题练习-圆的相交弦定理（含解析）一、单选题1.如图，弦CD垂直于O的直径AB，垂足为H，且CD=2 ，BD= ，则AB的长为（ ） A.2B.3C.4D.52.如图，O中，弦AB与直径CD相交于点P，且PA=4，PB=6，PD=2，则O的半径为（ ） A.9B.8C.7D.63.如图，在RtABC中，C=90， ，BC=1，如果以C为圆心，以CB长为半径的圆交AB于点P，那么AP的长为（ ） A.B.C.D.34.如图所示，O中，弦AB，CD相交于P点，则下列结论正确的是（ ）A.PA ABPC PBB.PA PBPC PDC.PA ABPC CD

2、D.PAPBPCPD5.如图，正方形ABCD内接于O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q若QP=QO，则 的值为（ ） A.B.C.D.6.如图，已知O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB=4，DE=CE+3，则CD的长为（ ） A.4B.5C.8D.107.如图，矩形ABCD为O的内接四边形，AB=2，BC=3，点E为BC上一点，且BE=1，延长AE交O于点F，则线段AF的长为（ ） A.B.5C.+1D.8.在O中，弦AB与CD相交于点M，AM=4，MB=3，则CMMD=（ ） A.28B.21C.12D.79.如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过

3、点P，且CD=13，PD=4，则两圆组成的圆环的面积是（ ） A.16B.36C.52D.8110.如图，O的直径AB=8，弧AC=弧BC，E为OB上一点，AEC=60，CE的延长线交O于D，则CD的长为（ ） A.6B.4 C.D.11.如图，O的直径AB与弦CD交于点，AE=6，BE=2，CD=2 ，则AED的度数是（ ） A.30B.60C.45D.3612.如图，A、B、C、D为O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA=2，PC=CD=3，则PB=（ ） A.6B.7C.8D.913.如图，O中弦AB，CD相交于点P，已知AP=3，BP=2，CP=1，则DP=（ ） A.3B.4C.5

4、D.614.如图，O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD=6cm，则直径AB的长是（ ）A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.4 cm二、填空题15.如图，在O中，直径CD与弦AB相交于点E，若BE=3，AE=4，DE=2，则O的半径是_ 16.一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为_米 17.已知弦AB和弦CD相交于O内一点P，AP=8，BP=3，PD=PC，则CD=_ 18.如图，正方形ABCD内接于O，E为DC的中点，直线BE交O于点F，如果O的半径为 ，则O点到BE的距离OM=_ 19.一圆周上有三点A，B，C，A的平分线交边BC于D，交圆于E，

5、已知BC=2，AC=3，AB=4，则ADDE=_ 三、解答题20.已知G是ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GCGD 21.如图，O的直径AB与弦CD交于点E，AE=5，BE=1，CD=4 ，求EC的长 四、综合题22.如图， （1）已知：P为半径为5的O内一点，过P点最短的弦长为8，则OP=_ （2）在（1）的条件下，若O内有一异于P点的Q点，过Q点的最短弦长为6，且这两条弦平行，求PQ的长 （3）在（1）的条件下，过P点任作弦MN、AB，试比较PMPN与PAPB的大小关系，且写出比较过程你能用一句话归纳你的发现吗？ （4）在（1）的条件下，过P点的

6、弦CD= ，求PC、PD的长 23.根据题意解答 （1）九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PAPB=PCPD，小刚很想知道是如何证明的，可异证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程 （2）小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是O弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出

7、详细的证明过程 答案解析部分一、单选题1.如图，弦CD垂直于O的直径AB，垂足为H，且CD=2 ，BD= ，则AB的长为（ ） A.2B.3C.4D.5【答案】B 【考点】勾股定理，垂径定理，相交弦定理 【解析】【解答】解：连接OD 由垂径定理得HD= ，由勾股定理得HB=1，设圆O的半径为R，在RtODH中，则R2=（ ）2+（R1）2 ， 由此得2R=3，或由相交弦定理得（ ）2=1（ 2R1），由此得2R=3，所以AB=3故选B【分析】根据垂径定理和相交弦定理求解2.如图，O中，弦AB与直径CD相交于点P，且PA=4，PB=6，PD=2，则O的半径为（ ） A.9B.8C.7D.6【答案

8、】C 【考点】相交弦定理 【解析】【解答】解：由相交弦定理得：APBP=CPDP， PA=4，PB=6，PD=2，CP=12，DC=12+2=14，CD是O直径，O半径是7故选C【分析】根据相交弦定理得出APBP=CPDP，求出CP，求出CD即可3.如图，在RtABC中，C=90， ，BC=1，如果以C为圆心，以CB长为半径的圆交AB于点P，那么AP的长为（ ） A.B.C.D.3【答案】B 【考点】勾股定理，相交弦定理 【解析】【解答】解：如图，延长AC交C于E， 设与圆的另一个交点为Q，在RtABC中，C=90， ，BC=1，AB= = ，CQ、CB、CE都是圆的半径，CQ=CB=CE=1

9、，根据割线定理得AQAE=APAB，AP= = = 故选B【分析】如图，延长AC交C与E，设与圆的另一个交点为Q，首先在RtABC中，C=90， ，BC=1，利用勾股定理即可求出AB的长度，根据题意可以知道CQ=CB=CE=1，然后根据割线定理即可求出AP的长度4.如图所示，O中，弦AB，CD相交于P点，则下列结论正确的是（ ）A.PA ABPC PBB.PA PBPC PDC.PA ABPC CDD.PAPBPCPD【答案】B 【考点】相交弦定理 【解析】【解答】连接AC与BD， 与 是 所对的圆周角， 故答案为：B.【分析】可以根据圆的性质证明BPD和CPA相似，由此可得出PA PBPC

10、PD，即为相交弦定理。5.如图，正方形ABCD内接于O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q若QP=QO，则 的值为（ ） A.B.C.D.【答案】D 【考点】勾股定理，相交弦定理 【解析】【解答】解：如图， 设O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=rm在O中，根据相交弦定理，得QAQC=QPQD即（rm）（r+m）=mQD，所以QD= 连接DO，由勾股定理，得QD2=DO2+QO2 ， 即 ，解得 所以， 故选D【分析】设O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=rm利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值6.如图，已知O的两条

11、弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB=4，DE=CE+3，则CD的长为（ ） A.4B.5C.8D.10【答案】B 【考点】相交弦定理 【解析】【解答】解：设CE=x，则DE=3+x 根据相交弦定理，得x（x+3）=22，x=1或x=4（不合题意，应舍去）则CD=3+1+1=5故选B【分析】运用相交弦定理求解7.如图，矩形ABCD为O的内接四边形，AB=2，BC=3，点E为BC上一点，且BE=1，延长AE交O于点F，则线段AF的长为（ ） A.B.5C.+1D.【答案】A 【考点】相交弦定理 【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形， B=90，AE= = = ，BC=3，BE=1，CE=2

12、，由相交弦定理得：AEEF=BECE，EF= = ，AF=AE+EF= ；故选：A【分析】由矩形的性质和勾股定理求出AE，再由相交弦定理求出EF，即可得出AF的长8.在O中，弦AB与CD相交于点M，AM=4，MB=3，则CMMD=（ ） A.28B.21C.12D.7【答案】C 【考点】相交弦定理 【解析】【解答】解：由相交弦定理知，CMMD=AMMB=34=12，故选C 【分析】由相交弦定理进行分析即可9.如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PD=4，则两圆组成的圆环的面积是（ ） A.16B.36C.52D.81【答案】B 【考点】勾股定理，

13、垂径定理，切线的性质，相交弦定理 【解析】【解答】解：连接OP、OB 大圆的弦AB与小圆相切于点P，OPAB，PA=PBCD=13，PD=4，PC=9根据相交弦定理，得PA=PB=6，则两圆组成的圆环的面积是OB2OP2=PB2= AB2=36故选B【分析】连接OP，先根据切线的性质定理和垂径定理证出PA=PB，再根据相交弦定理求得AB的长，最后根据圆环的面积公式进行计算即可求解10.如图，O的直径AB=8，弧AC=弧BC，E为OB上一点，AEC=60，CE的延长线交O于D，则CD的长为（ ） A.6B.4 C.D.【答案】D 【考点】含30度角的直角三角形，勾股定理，垂径定理，相交弦定理 【

14、解析】【解答】解：连接OC、OD，过点O作OFCD于点F AB是O的直径，C为弧AB的中点，AOC=BOC=90（等弧所对的圆心角相等）；又O是圆心，OFCD，CF=DF= CD，（垂径定理）；在RtOEC中，AEC=60，OCE=30（直角三角形的两个锐角互余）；在RtOCF中，CF=OCcos30；又AB=8，OC=4；CF=4 =2 CD=2CF=4 故选D【分析】连接OC、OD，过点O作OFCD于点F由等弧所对的圆心角相等知AOC=BOC=90；根据垂径定理推知CF=DF= CD；然后根据直角三角形的特殊角的三角函数值求得CD=2CF=OCcos3011.如图，O的直径AB与弦CD交于

15、点，AE=6，BE=2，CD=2 ，则AED的度数是（ ） A.30B.60C.45D.36【答案】C 【考点】垂径定理，相交弦定理 【解析】【解答】解：连接OD，过圆心O作OHCD于点H DH=CH= CD（垂径定理）；CD=2 ，DH= 又AE=6，BE=2，AB=8，OA=OD=4（O的半径）；OE=2；在RtODH中，OH= = = （勾股定理）；在RtOEH中，sinOEH= = ，OEH=45，即AED=45故选：C【分析】连接OD，过圆心O作OHCD于点H根据垂径定理求得DH=CH= CD= ；然后根据已知条件“AE=6，BE=2”求得O的直径，从而知O的半径；最后利用勾股定理求

16、得OH=1，再边角关系得到AED=4512.如图，A、B、C、D为O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA=2，PC=CD=3，则PB=（ ） A.6B.7C.8D.9【答案】D 【考点】相交弦定理 【解析】【解答】解：PB，PD是O的割线， PAPB=PCPD，PA=2，PC=CD=3，2PB=36解得：PB=9故选：D【分析】直接利用割线定理得出PAPB=PCPD，进而求出即可13.如图，O中弦AB，CD相交于点P，已知AP=3，BP=2，CP=1，则DP=（ ） A.3B.4C.5D.6【答案】D 【考点】相交弦定理 【解析】【解答】解：由相交弦定理得：PAPB=PCPD， DP= =

17、=6故选D【分析】根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算14.如图，O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD=6cm，则直径AB的长是（ ）A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.4 cm【答案】D 【考点】垂径定理，相交弦定理 【解析】【解答】利用垂径定理可知，DP=CP=3，P是半径OB的中点AP=3BP，AB=4BP，利用相交弦的定理可知：BP3BP=33，解得BP= ，即AB=4 故答案为：D【分析】先根据利用垂径定理可得，DP=CP=3，再利用相交弦的定理可知：BP3BP=33，解答即可求得直径AB的长.二、填空题15.

18、如图，在O中，直径CD与弦AB相交于点E，若BE=3，AE=4，DE=2，则O的半径是_ 【答案】4 【考点】相交弦定理 【解析】【解答】解：根据相交弦定理，AEBE=CEDE， 又BE=3，AE=4，DE=2，CE=6CD=CE+DE=8那么圆的半径等于4故此题应该填4【分析】利用相交弦定理，可以求出CE的长，从而知道CD的长，就可求出O的半径16.一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为_米 【答案】【考点】相交弦定理 【解析】【解答】解：设半径为x，则根据相交弦定理可知：22=1（2x1），解得x= 【分析】根据题意画出图形，根据相交弦定理或勾股定理列出方程即可。17

19、.已知弦AB和弦CD相交于O内一点P，AP=8，BP=3，PD=PC，则CD=_ 【答案】4 【考点】相交弦定理 【解析】【解答】解：弦AB和弦CD相交于O内一点P， PAPB=PCPD，而AP=8，BP=3，PD=PC，PC2=83=24，PC=2 ，CD=2PC=4 故答案为4 【分析】根据相交弦定理得到PAPB=PCPD，则可计算出PC，然后利用CD=2PC求解18.如图，正方形ABCD内接于O，E为DC的中点，直线BE交O于点F，如果O的半径为 ，则O点到BE的距离OM=_ 【答案】【考点】勾股定理，正方形的性质，垂径定理，相交弦定理 【解析】【解答】解：作OMBE于M，连接OE，BD

20、，DCB=90，BD是直径，OE=DE=1，BE= = ，EF= = ，BF= ，MF= ，ME= ，OM= = 【分析】作OMBE于M，连接OE，BD，根据90的圆周角所对的弦是直径，得BD是直径根据勾股定理及相交弦定理求得BE，EF的值，从而得到BF的值，利用垂径定理求得MF，ME，最后根据勾股定理即可求得OM的值19.一圆周上有三点A，B，C，A的平分线交边BC于D，交圆于E，已知BC=2，AC=3，AB=4，则ADDE=_ 【答案】【考点】相交弦定理 【解析】【解答】解：A的平分线交边BC于D，交圆于E， ，BC=2，AC=3，AB=4， ，解得：BD= ，CD=2 = ，CDBD=A

21、DDE= = 故答案为： 【分析】根据角平分线的性质得出 ，求出BD与CD的长，再利用相交弦定理求出即可三、解答题20.已知G是ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GCGD 【答案】证明：延长GP至F，使PF=PG，连接AD，BF，CF， G是ABC的重心，AG=2GP，BP=PC，PF=PG，四边形GBFC是平行四边形，GF=2GP，AG=GF，BGCF，1=2过A、G的圆与BG切于G，3=D，又2=3，1=2=3=D，A、D、F、C四点共圆，GA、GF=GCGD，即GA2=GCGD 【考点】圆内接四边形的性质，相交弦定理 【解析】【分析】构造以重心G

22、为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD因G是重心，故AG=2GP因GBFC是平行四边形，故GF=2GP从而AG=GF又1=2=3=D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GCGD于是GA2=GCGD21.如图，O的直径AB与弦CD交于点E，AE=5，BE=1，CD=4 ，求EC的长 【答案】解：设EC=x，则ED=CDCE=4 x， 根据题意得AEBE=CEDE，所以x（4 x）=51，整理得x24 x+5=0，解得x=2 ，即EC的乘为2 + 或2 【考点】相交弦定理 【解析】【分析】设EC=x，则ED=CDCE

23、=4 x，根据相交弦定理x（4 x）=51，然后解一元二次方程即可四、综合题22.如图， （1）已知：P为半径为5的O内一点，过P点最短的弦长为8，则OP=_ （2）在（1）的条件下，若O内有一异于P点的Q点，过Q点的最短弦长为6，且这两条弦平行，求PQ的长 （3）在（1）的条件下，过P点任作弦MN、AB，试比较PMPN与PAPB的大小关系，且写出比较过程你能用一句话归纳你的发现吗？ （4）在（1）的条件下，过P点的弦CD= ，求PC、PD的长 【答案】（1）3（2）解：根据平行线的性质和垂线的性质，知O、P、Q三点共线 根据（1）的求解方法，得OQ=4，则PQ=1或7（3）解：连接AM、BN

24、 A=N，M=B，APMNPB， ，即PMPN=PAPB（4）解：作直径AB， 根据相交弦定理，得PCPD=PAPB=（53）（5+3）=16，又CD= ，设PC=x，则PD= x，则有x（ x）=16，解，得x=3或x= 即PC=3或 ，PD= 或3 【考点】勾股定理，垂径定理，相交弦定理 【解析】【解答】解：（1）连接OP，过点P作CDOP于点P，连接OD 根据题意，得CD=8，OD=5根据垂径定理，得PD=4，根据勾股定理，得OP=3；【分析】（1）过点P的最短的弦即为过点P垂直于OP的弦，根据垂径定理、勾股定理进行计算；（2）根据（1）的方法求得OQ的长，进而求得PQ的长；（3）根据相

25、似三角形的判定及性质进行证明；（4）过点P作直径EF，根据（3）中得到的结论，知PCPD=PEPF，再结合已知条件进行计算23.根据题意解答 （1）九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PAPB=PCPD，小刚很想知道是如何证明的，可异证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程 （2）小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是O弦，P是AB上一点，AB=1

26、0cm，PA=4cm，OP=5cm，求O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过程 【答案】（1）解：圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等 已知，如图1，O的两弦AB、CD相交于E，求证：APBP=CPDP证明如下：连结AC，BD，如图1，C=B，A=D，APCDPB，AP：DP=CP：BP，APBP=CPDP；所以两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等（2）解：过P作直径CD，如图2， AB=10，PA=4，OP=5，PB=104=6，PC=OCOP=R5，PD=OD+OP=R+5，由（1）中结论得，PAPB=PCPD，46=（R5）（R+5），解得R=7（R=7舍去）所以O的半径R=7 【考点】相似三角形的判定与性质，相交弦定理 【解析】【分析】（1）连结AC，BD，根据圆周角定理得到C=B，A=D，再根据三角形相似的判定定理得到AECDEB，利用相似三角形的性质得AE：DE=CE：BE，变形有AEBE=CEDE；由此得到相交弦定理；（2）由AB=10，PA=4，OP=5，易得PB=104=6，PC=OCOP=R5，PD=OD+OP=R+5，根据相交弦定理得到PAPB=PCPD，即46=（R5）（R+5），解方程即可得到R的值专心-专注-专业