2022年数学第一轮复习专题函数第三讲反比例函数.pdf

《2022年数学第一轮复习专题函数第三讲反比例函数.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数学第一轮复习专题函数第三讲反比例函数.pdf（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第三讲：反比例函数知识梳理知识点 l. 反比例函数的概念重点：掌握反比例函数的概念难点：理解反比例函数的概念一般地，如果两个变量x、y 之间的关系可以表示成xky或 y=kx-1（k 为常数，0k）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。反比例函数的概念需注意以下几点：（1）k 是常数，且 k 不为零；（2）xk中分母 x 的指数为 1，如，22yx就不是反比例函数。（3）自变量 x 的取值范围是0 x的一切实数 . （4）自变量 y 的取值范围是0y的一切实数。（5）反比例函数左边是函数y，右边是分母为自变量x的分式。 也就是说， 分母不能是多项式，只能是 x 的一次单项式。（6）反比例函数可

2、以理解为两个变量的乘积是一个不为的常数，因此可以写成或的形式。（7）反比例函数中，两个变量成反比例关系。例 1、如果函数22(1)mymx为反比例函数，则m的值是（）A 、1 B 、0C 、21D、1解题思路：由反比例函数的定义可知22m=-1 ，解得m= 1, 但须考虑(1)m0，则 m=-1 解答： A 练习当 n 取什么值时， y（n2+2n）x是反比例函数 ? 答案：当 n-1 时，知识点 2. 反比例函数的图象及性质重点：掌握反比例函数的图象及性质难点：反比例函数的图象及性质的运用反比例函数xky的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。它们关于原点

3、对称、反比例函数的图象与x 轴、 y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。画反比例函数的图象时要注意的问题：（1）画反比例函数图象的方法是描点法；反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的两个分支时断开的。（2） 画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是0 x，因此不能把两个分支连接起来。（3）由于在反比例函数中，x 和 y 的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点， 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是因为，。反比例函数的性质xky)0k(的变形形式为kxy（常数）所

4、以：（1）其图象的位置是：当0k时， x、y 同号，图象在第一、三象限； Y Y X X 当0k时， x、y 异号，图象在第二、四象限。（2）若点 (m,n) 在反比例函数xky的图象上，则点（-m,-n ）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。（3）当0k时，在每个象限内，曲线从左向右下降，y 随 x 的增大而减小；当0k时，在每个象限内，曲线从左向右上升,y随 x的增大而增大；注意：（）反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数的符号决定的。反过来，有双曲线所在的位置或函数的增减性，也可以判断出的符号。（）反比例函数的增减性，只能在每个象限内讨论；当时，在每一象限（第一、三

5、象限）随的增大而减小，但不能笼统地说： 当时， 随的增大而减小，同样，当时，在每一象限（第二、四象限）随的增大而增大， 也不能笼统地说： 当时， 随的增大而增大。例 1 如图，函数ykx与 y-kx+1 （k0）在同一坐标系内的图像大致为（）解题思路： 本题考查反比例函数图像与性质的应用，因为一次函数y-kx+1 与 y 轴的交点为（ 0，1），所以结论B和 C都要可以排除 .A 中直线 y-kx+1 经过第一、二、四象限， -k 0，则 k0，而 k0 时，双曲线ykx两分支各在第一、三象限，所以结论A可以排除 . 故选 D. 例 2 当 n 取什么值时， y（n2+2n）x是反比例函数?它

6、的图像在第几象限内?在每个象限内， y 随 x 的增大而精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 增大或是减小 ? 解题思路： 本题考察反比例函数的定义与性质，根据反比例函数的定义y=kx（k0）可知，要本题是反比例函数，必须且只须n2+2n0 且n2+n-1=-1. 解： y（ n2+2n）x是反比例函数，则n2+2n0， n2+n-1 -1 n0 且 n -2， n0 或 n-1. 故当 n-1 时，y（ n2+2n）x是反比例函数y-

7、kx. k-1 0，双曲线两支分别在二、四象限内， 并且 y 随 x 的增大则增大 . 练习 1 已知点A（11xy，） 、B（22xy，） 是反比例函数xky（0k） 图象上的两点， 若210 xx， 则有 （）A210yyB120yyC021yyD012yy2 矩形面积为4，它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可表示为（）答案： 1.A 2.B 知识点 3. 反比例函数解析式的确定。重点：掌握反比例函数解析式的确定难点：由条件来确定反比例函数解析式（1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法， 由于在反比例函数关系式xky中，只有一个待定系数k，确定了 k 的值，也就确定了反比例函数，因

8、此只需给出一组x、y 的对应值或图象上点的坐标，代入xky中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的关系式。（2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：设所求的反比例函数为：xky（0k） ；根据已知条件，列出含k 的方程；解出待定系数k 的值；把 k 值代入函数关系式xky中。例反比例函数的图象经过A （1，-2 ） ，求反比例函数的关系式解题思路：设反比例函数的关系式为kyx，把点 A（1，-2 ）代入kyx可得 k=-2 则所求反比例函数的关系式为2yx练习已知点(3,3)是反比例函数图象上的一点，则此反比例函数图象的解析式是_答案：3yx知识点 4. 用反比例函数解决实际问题反比例

9、函数的应用须注意以下几点：反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。例某商场出售一批进价为2 元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x 元与日销售量y 之间有如下关系：x（元）3 4 5 6 y（元）20 15 12 10 （1）根据表中的数据， 在平面直角坐标系中描出实数对（x，y）的对应点；（2） 猜测并确定y 与 x 之 间的函数关系式，并画出图象；（3）设经营此卡的销售利润为w元，试求出w与 x 之间的函数关系式，若物价局

10、规定此卡的售价最高不超过10 元/个，请求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大销售利润？解题思路：（1）注意两个变量之间的关系。（2）观察数据特点 xy=60, 可知 y 与 x 之间的反比例函数关系； （3）注意销售利润 =（销售单价 - 进价）销售数量即：w=(x-2) y= (x-2) 60 x则 y=60-120 x由于 x10 当 x=10 时 y 最大练习某气球内充满了一定质量的气球, 当温度不变时, 气球内气球的压力 p(千帕 ) 是气球的体积V(米2) 的反比例函数 , 其图象如图所示 ( 千帕是一种压强单位) （1）写出这个函数的解析式；（2） 当气球的体积为0.8 立方

11、米时 , 气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144 千帕时 , 气球将爆炸 , 为了安全起见 , 气球的体积应不小于多少立方米？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 答案： （1）96pv（2）120 （3）23知识 点 5. 反比例函数综合例1 ： 如 图 ， 反 比 例 函 数kyx的 图 象 与 一 次 函 数ymxb的图象交于(13)A ，(1)B n，两点（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：

12、当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值解题思路： (1) 由(13)A ，在kyx的图象上，则k=3，反比例函数关系式为3yx；由(1)B n，也在3yx的图象上， 则 n=-3, 所以 B（-3 ，-1 ） 。把(13)A ， B（-3，-1 ）代入ymxb中，由待定系数法可求得 m和 b. （2）由图象可知：当x=-3 或 1 时反比例函数的值等于一次函数的值，再结合图象回答。解答：（1）(13)A ，在kyx的图象上，3k，3yx又(1)B n，在3yx的图象上，3n，即( 31)B，313mbmb，解得：1m，2b，反比例函数的解析式为3yx，一次函数的解析式为2yx，（2）从图

13、象上可知，当3x或01x时，反比例函数的值大于一次函数的值例 2 反比例函数xky的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果 SMON2，求k的值分析：设 M （x,y ）又根据 MON 的面积与点M的关系可得：SMON =11222xyk所以 k=4, 又函数图象在第二、四象限，则k=-4 练习 1如图，矩形AOCB 的两边 OC ，OA分别位于 x 轴， y轴上，点 B 的坐标为 B（203，5） ，D是 AB边上的一点，将 ADO沿直线 OD翻折，使 A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点 E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是 _ 2. 两个反比

14、例函数y=kx和 y=1x在第一象限内的图像如图3所示，点 P在 y=kx的图像上， PC x 轴于点 C，交 y=1x的图像于点 A，PD y 轴于点 D，交 y=1x的图像于点B，当点P在 y=kx的图像上运动时，以下结论： ODB与 OCA的面积相等；四边形 PAOB的面积不会发生变化；PA与 PB始终相等当点 A是 PC的中点时，点B一定是 PD的中点其中一定正确的是_（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分） 答 案： 1.12yx 2 知识点 6 比例函数比例系数的几何意义：反比例函数中比例系数的几何意义：如图所示， 过双曲线上任意一点作轴、轴的垂涎、 ， 所得矩形的面积

15、。 即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积均为。同时，（或）的面积均为。知识点 7 y x A O B 图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 函数正比例函数反比例函数解析式图象形状K0K0) ，如果不与实际相结合，图象分布在一、三象限，但事实上，自变量的取值范围应为y0。答案： C。例2 已知反比例函数)0(kxky的图 像上有 两点A(1x，1y) ，B(2x，2y) ，且21xx，则21yy的值是（）A 、正数 B、负

16、数 C 、非正数 D 、不能确定解题思路： k0, 反比例函数图象双曲线两个分支分别位于二、四象限，若A、B两点都在第二或四象限（21xx） ，由性质可知：21yy0; 若 A 点在第二象限， B点在第四象限（21xx） ，21yy0，所以不能确定。答：D 考查目标三、反比例函数图象的面积与k 问题例 1、反比例函数xky（k0）在第一象限内的图象如图 1 所示，P为该图象上任一点，PQx轴，设POQ的面积为S，则S与k之间的关系是（） A4kS B2kS C S=k DS k解题思路： 设 P （x,y ）SPOQ=1122xyk(k0) 则2kS解：选 B说明：由上述分析过程我们可以得出这

17、样的结论：从同一反比例图象上一点P作X轴的垂线PQ所围POQ面积，为2k例 2(08 山东潍坊 )设 P 是函数4px在第一象限的图像上任意一点，点P 关于原点的对称点为P ，过 P 作 PA平行于y轴，过 P 作 P A平行于x轴， PA与 P A交于 A点，则PAP的面积（）A等于 2 B等于 4 C等于 8 D随 P点的变化而变化解题思路：点P关于原点的对称点为P ， P与 P 的横坐标与纵坐标都互为相反数，AP=px2，PA=py2842221ppyxAPPAs答案： 8。考查目标四 . 利用图象，比较大小例 1(08 泰安市 ) 已知三点111()P xy，222()P xy，3(1

18、2)P，都在反比例函数kyx的图象上，若10 x，20 x，则下列式子正确的是（）A120yy B120yyC120yyD 120yy解题思路： P3（1，-2）是一隐含条件，求出k，则根据反比pvOpvOpvOpvOABCDD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 例函数2yx的图象分布，可得出函数值的大小。答案： D 考查目标五 . 反比例函数经常与一次函数、二次函数、圆等知识相联系例 1(四川省眉山市 )如图， A、B是反比例函数y

19、2x的图象上的两点。AC 、BD都垂直于x轴，垂足分别为C、D。AB的延长线交x轴于点 E。若 C、D 的坐标分别为（ 1，0） 、 （4，0） ，则 BDE的面积与 ACE的面积的比值是（）A21 B4181 D161解题思路： A、B均在反比例函数图象上，又都知道横坐标，可求出点 A、B的坐标分别为（ 1，2） 、 （4，12） ，求出过 A、B的直线：2521xy，令 y=0，得 x=5；所以 E点坐标（ 5，0） ，所以 CE=4 ，DE=1 ， BDE与ACE相似，面积比等于相似比的平方。答： D。例2 （09扬州）如图，二次函数mxmxy)14(412（m0）的图像在第一象限，则k

20、_；?写出一个图像在一，二，四象限的一次函数关系式：_4 （2005，贵州省）反比例函数y=21mx（m 为常数）的图像如图3 所示，则 m 的取值范围是 _5 （2005，威海市）已知双曲线y=kx经过点（ 1，3） ，如果 A（a1，b1） ，B（a2，b1）?两点在该双曲线上，且a1a20）与双曲线y=4x交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）?两点， ?则 2x1y27x2y1的值等于_精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -

21、图 4 图 5 图 6 7 （2008，福州）如图5 所示，在反比例函数y=2x（x0）的图像上， 有点 P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4分别过这些点作x 轴与 y 轴的垂线， ?图中的构成的阴 影 部 分 的 面 积 从 左 到 右 依 次 为S1， S2， S3， 则S1+S2+S3=_8如图 6 所示，矩形AOCB 的两边 OC，OA 分别位于x轴， y 轴上，点 B 的坐标为 B（203，5） ，D 是 AB 边上的一点， 将 ADO 沿直线 OD 翻折，使 A 点恰好落在对角线 OB 上的点 E 处， ?若点 E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_

22、二、选择题9 （2006，绵阳）如图所示，梯形AOBC 的顶点 A，C 在反比例函数图像上， ?OA?BC，上底边 OA 在直线 y=x上，下底边 BC 交 x 轴于 E（2，0） ，则四边形 AOEC 的面积为（）A3 B3C31D3+1 10函数y=kx+b （k0）与y=kx（k0）在同一坐标系中的图像可能是（）11 （2006，绍兴）如下左图所示，正方形OABC，ADEF的顶点 A，D，C 在坐标轴上，点F 在 AB 上，点 B，E在函数 y=1x（x0）的图像上，则点E 的坐标是（）A （512，512）B （352，352）C （512，512）D （352，352）12在一个可以

23、改变容积的密闭容器内，装有一质量m 的某种气体，?当改变容积V 时， 气体的密度p 也随之改变 p与 V 在一定范围内满足p=mV， 它的图象如上右图所示，?则该气体的质量m 为（）A 1.4kg B 5kg C6.4kg D7kg 13如图所示，在梯形ABCD中， AD BC， C=90，AD=1 ，AB=32，BC=2，P是 BC 边上的一个动点（点P与点 B 不重合，可以与点C 重合） ，DEAP 于点 E，设 AP=x ，DE=y ?在下列图像中，能正确反映y 与 x 的函数关系的是（）14 （2005，宁波市）正比例函数y=x与反比例函数y=1x的图像相交于A，C 两点， AB? x

24、 轴于 B，CD x 轴于D （如图） ，则四边形ABCD 的面积为（）A1 B32C2 D5215 （2008，烟台）在反比例函数y=12mx的图像上有两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，当 x10 x2时，有 y1y2，则 m 的取值范围是（）Am0 Cm1216 （2005，南宁市）函数y=ax2a 与 y=ax（a0）在同一直角坐标系中的图像可能是（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 三、解答题17 （2006，天

25、津市）已知正比例函数y=kx（k0）的图像与反比例函数y=mx（m0）的图像都经过点A（4，2） （1）求这两个函数的解析式；（2）这两个函数的图像还有其他交点吗？若有，请求出交点的坐标；若没有，?请说明理由18 （2005，四川省） 如图所示，一次函数y=ax+b的图像与反比例函数y=kx的图像交于A， B两点， 与 x轴交于点 C，与 y 轴交于点 D 已知OA=5， tan AOC=12，点 B 的坐标为（12，m） （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求 AOB 的面积19 （2006，广东）如图所示， 直线 y=k1x+b 与双曲线 y=2kx只有一个交点（ 1，2） ，且与

26、 x 轴， y轴分别交于B，C 两点， AD 垂直平分 OB，垂足为 D，求直线，双曲线的解析式20 （2006，常德市） 如图所示，已知反比例函数y1=mx（m0）的图像经过点 A（ 2，1） ，一次函数 y2=kx+b（ k0）的图像经过点C（0，3）与点A，且与反比例函数的相交于另一点B（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）求点 B 的坐标21 （2005，甘肃省）如图所示，反比例函数y=8x与一次函数y=x+2 的图像交于A，B 两点 （1）求 A， B 两点的坐标；（2）求 AOB的面积22 （2008，金华）如图所示，已知双曲线y=kx（k0）与直线 y=kx 交于 A

27、，B两点，点 A 在第一象限，试解答下列问题：（1） 若点 A 的坐标为（4，2） ， 则点 B 的坐标为 _；若点 A 的横坐标为m，则点B?的坐标可表示为 _（2）如图所示，过原点O 作另一条直线L， 交双曲线y=kx（k0）于 P，Q 两点，点P?在第一象限说明四边形APBQ 一定是平行四边形；设点 A，P 的横坐标分别为m，n，四边形 APBQ 可能是矩形吗？可能是正方形吗？?若可能，直接写出m，n应满足条件；若不可能，请说明理由答案12 23.6 30；y=x+1（答案不唯一，合理即可）4m1250， AH =1， HO=2点 A（2，1） 点 A 在反比例函数y=kx的图像上1=2

28、k，解得 k=2反比例函数的解析式为y=2x将 B（12，m）代入 y=2x中，得 m=4B（12， 4） 把 A（ 2，1） ，B（12， 4）分别代入y=ax+b 中，得12,14.2abab，解得 a=2，b=3一次函数的解析式为y=2x3（2） OD=b =3SAOB=SAOD +SBOD=12b x+12b x=1232+12312=15419直线解析式为y=2x+4 双曲线解析式为y=2x20 （1）点 A（2， 1）在反比例函数y1=mx的图像上1=2m，即 m=2又 A（ 2，1） ，C（0，3）在一次数y2=kx+b 图像上21,3.kbb即13kb反比例函数与一次函数解析式

29、分别为：y=2x与 y=x+3 （2）由32yxyx得 x+3=2x，即 x2+3x+2=0 x=2 或 x=1于是21xy或12xy点 B 的坐标为（ 1， 2） 21 （1）解方程组82yxyx得121242,24xxyyA，B 两点的坐标分别为A（2，4） ，B（4， 2） （2）直线 y=x+2 与 y 轴交点 D 的坐标是（ 0，2） SAOD =12 22=2，SBOD =1224=4SAOB =2+4=622 （1） （ 4， 2） （ m， km）或（ m，km）（2）由勾股定理OA=22( )mk m，OB=22()()mk m=22( )mk m，OA=OB 同理可得OP=OQ，四边形APBQ 一定是平行四边形四边形APBQ 可能是矩形，m， n应满足的条件是mn=k四边形 APBQ 不可能是正方形理由：点A，P 不可能达到坐标轴，即POA90精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -