2020年北京市高考数学试卷(有详细解析)(共16页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2020年北京市高考数学试卷 班级：_姓名：_得分：_一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A=1,0，1，2，B=x|0x0的解集是()A. (1,1)B. (,1)(1,+)C. (0,1)D. (,0)(1,+)7. 设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线()A. 经过点OB. 经过点PC. 平行于直线OPD. 垂直于直线OP8. 在等差数列an中，a1=9，a5=1.记Tn=a1a2an(n=1,2，)，则数列Tn()A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无

2、最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项9. 已知，R，则“存在kZ使得=k+(1)k”是“sin=sin”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(Day).历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是()A. 3n(sin30n+tan30n)B. 6n(sin30n+t

3、an30n)C. 3n(sin60n+tan60n)D. 6n(sin60n+tan60n)二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 函数f(x)=1x+1+lnx的定义域是_12. 已知双曲线C：x26y23=1，则C的右焦点的坐标为_；C的焦点到其渐近线的距离是_13. 已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP=12(AB+AC)，则|PD|=_；PBPD=_14. 若函数f(x)=sin(x+)+cosx的最大值为2，则常数的一个取值为_15. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t

4、)，用f(b)f(a)ba的大小评价在a,b这段时间内企业污水治理能力的强弱已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示给出下列四个结论：在t1,t2这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在0,t1，t1,t2，t2,t3这三段时间中，在0,t1的污水治理能力最强其中所有正确结论的序号是_三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BB1的中点()求证：BC1/平面AD1E；()求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值17. 在A

5、BC中，a+b=11，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：()a的值；()sinC和ABC的面积条件：c=7，cosA=17；条件：cosA=18，cosB=916注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分18. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案；方案一、方案二为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立()分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；()从该校全体男生中

6、随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；()将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0.假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1.试比较p0与p1的大小(结论不要求证明)19. 已知函数f(x)=12x2(1)求曲线y=f(x)的斜率等于2的切线方程；(2)设曲线y=f(x)在点(t,f(t)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值20. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A(2,1)，且a=2b()求椭圆C的方程；()过点B(4,0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA

7、分别交直线x=4于点P，Q.求|PB|BQ|的值21. 已知an是无穷数列给出两个性质：对于an中任意两项ai，aj(ij)，在an中都存在一项am，使得ai2aj=am；对于an中任意一项an(n3)，在an中都存在两项ak，al(kl)，使得an=ak2al()若an=n(n=1,2，)，判断数列an是否满足性质，说明理由；()若an=2n1(n=1,2，)，判断数列an是否同时满足性质和性质，说明理由；()若an是递增数列，且同时满足性质和性质，证明：an为等比数列答案和解析1. D 解：集合A=1,0，1，2，B=x|0x0，即2xx+1由于函数y=2x和直线y=x+1的图象都经过点(

8、0,1)、(1,2)，如图所示：不等式f(x)0的解集是(,0)(1,+)， 7. B 解：不妨设抛物线的方程为y2=4x，则F(1,0)，准线l为x=1，不妨设P(1,2)，Q(1,2)，设准线为l与x轴交点为A，则A(1,0)，可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直，故可得线段FQ的垂直平分线，经过点P， 8. B 解：设等差数列an的首项为d，由a1=9，a5=1，得d=a5a151=1(9)4=2，an=9+2(n1)=2n11由an=2n11=0，得n=112，而nN*，可知数列an是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值可知T1=90，T3=3150为最大

9、项，自T5起均小于0，且逐渐减小数列Tn有最大项，无最小项 9. C 解：当k=2n，为偶数时，=2n+，此时sin=sin(2n+)=sin，当k=2n+1，为奇数时，=2n+，此时sin=sin()=sin，即充分性成立，当sin=sin，则=2n+，nZ或=2n+，nZ，即=k+(1)k，即必要性成立，则“存在kZ使得=k+(1)k”是“sin=sin”的充要条件， 10. A 解：如图，设内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b，可得a=2sin36012n=2sin30n，b=2tan36012n=2tan30n，则26na+6nb2=6n(sin30n+tan30n)，即

10、3n(sin30n+tan30n)， 11. x|x0 解：要使函数有意义，则x+10x0，得x1x0，即x0，即函数的定义域为x|x0， 12. (3,0)；3 解：双曲线C：x26y23=1，则c2=a2+b2=6+3=9，则c=3，则C的右焦点的坐标为(3,0)，其渐近线方程为y=36x，即x2y=0，则点(3,0)到渐近线的距离d=31+2=3， 13. 5；1 解：由AP=12(AB+AC)，可得P为BC的中点，则|CP|=1，|PD|=22+12=5，PBPD=PB(PC+CD)=PC(PC+CD)=PC2PCCD=1， 14. 2(答案不唯一) 解：f(x)=sin(x+)+co

11、sx=sinxcos+cosxsin+cosx =sinxcos+(1+sin)cosx =cos2+(1+sin)2sin(x+)，其中cos=coscos2+(1+sin)2，sin=1+sincos2+(1+sin)2，所以f(x)最大值为cos2+(1+sin)2=2，所以cos2+(1+sin)2=4，即2+2sin=4，所以sin=1，所以=2+2k，kZ，当k=0时，=2 15. 解：设甲企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t)，乙企业的污水排放量W与时间t的关系为W=g(t)对于，在t1,t2这段时间内，甲企业的污水治理能力为f(t2)f(t1)t2t1，乙企业的污水治理

12、能力为g(t2)g(t1)t2t1由图可知，f(t1)f(t2)g(t1)g(t2)，f(t2)f(t1)t2t1g(t2)g(t1)t2t1，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故正确；对于，由图可知，f(t)在t2时刻的切线的斜率小于g(t)在t2时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值，在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故正确；对于，在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故正确；对于，由图可知，甲企业在0,t1，t1,t2，t2,t3这三段时间中，在t1,t2的污水治理能力最强，故错误正确结论的序号是 16. 解：()由

13、正方体的性质可知，AB/C1D1中，且AB=C1D1，四边形ABC1D1是平行四边形，BC1/AD1，又BC1平面AD1E，AD1平面AD1E，BC1/平面AD1E.()以A为原点，AD、AB、AA1分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为a，则A(0,0，0)，A1(0,0，a)，D1(a,0，a)，E(0,a，12a)，AA1=(0,0,a)，AD1=(a,0,a)，AE=(0,a,12a)，设平面AD1E的法向量为m=(x,y,z)，则mAD1=0mAE=0，即a(x+z)=0a(y+12z)=0，令z=2，则x=2，y=1，m=(2,1,2)，设直线AA1与平面

14、AD1E所成角为，则sin=|cos|=|mAA1|m|AA1|=2aa3=23，故直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为23 17. 解：选择条件()由余弦定理得a2=b2+c22bccosA，即a2b2=4914b(17)=49+2b，(a+b)(ab)=49+2b，a+b=11，11a11b=49+2b，即11a13b=49，联立a+b=1111a13b=49，解得a=8，b=3，故a=8()在ABC中，sinA0，sinA=1cos2A=437，由正弦定理可得asinA=csinC，sinC=csinAa=74378=32，SABC=12absinC=128332=63选择条件()在

15、ABC中，sinA0，sinB0，C=(A+B)，cosA=18，cosB=916，sinA=1cos2A=378，sinB=1cos2B=5716，由正弦定理可得asinA=bsinB，ab=sinAsinB=65，a+b=11，a=6，b=5，故a=6；()在ABC中，C=(A+B)，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=378916+571618=74，SABC=12absinC=126574=1574 18. 解：()设“该校男生支持方案一”为事件A，“该校女生支持方案一”为事件B，则P(A)=+400=13,P(B)=+100=34；()由()知，P(A)=

16、13,P(B)=34，设“这3人中恰有2人支持方案一”为事件C，则P(C)=C22(13)2(134)+C2113(113)34=1336；()p0p1 19. 解：(1)f(x)=12x2的导函数f(x)=2x，令切点为(m,n)，可得切线的斜率为2m=2，m=1，n=121=11，切线的方程为y=2x+13；(2)曲线y=f(x)在点(t,f(t)处的切线的斜率为k=2t，切线方程为y(12t2)=2t(xt)，令x=0，可得y=12+t2，令y=0，可得x=12t+6t，S(t)=12|12t+6t|(12+t2)，由S(t)=S(t)，可知S(t)为偶函数，不妨设t0，则S(t)=14

17、(t+12t)(12+t2)，S(t)=14(3t2+24144t2)=34(t24)(t2+12)t2，由S(t)=0，得t=2，当t2时，S(t)0，S(t)单调递增；当0t2时，S(t)0，解得12kj，所以2ijN*，则必存在m=2ij，此时，2m1ai且满足ai2aj=22ij1=am，性质成立，对于任意的n，欲满足an=2n1=ak2al=22kl1，满足n=2kl即可，因为kN*，lN*，且kl，所以2kl可表示所有正整数，所以必有一组k，l使n=2kl，即满足an=ak2al，性质成立()首先，先证明数列恒正或恒负，反证法：假设这个递增数列先负后正，那么必有一项al绝对值最小或

18、者有al与al+1同时取得绝对值最小，如仅有一项al绝对值最小，此时必有一项am=al2aj，此时|am|al|与前提矛盾，如有两项al与al+1同时取得绝对值最小值，那么必有am=ai2ai+1，此时|am|akal，即3kl，所以a22a1=a3，此时a1，a2，a3成等比数列，数学归纳法：(1)已证n=3时，满足an是等比数列，公比q=a2a1，(2)假设n=k时，也满足ak是等比数列，公比q=a2a1，那么由知ak2ak1=qak等于数列的某一项am，证明这一项为ak+1即可，反证法：假设这一项不是ak+1，因为是递增数列，所以该项am=al2al1=qakak+1，那么akak+1qak，由等比数列ak得a1qk1ak+1a1qk，由性质得a1qk1am2alamal，所以k+1ml，所以am，al分别是等比数列ak中两项，即am=a1qm1，al=a1ql1，原式变为a1qk1a1q2ml1a1qk，所以k12ml1k，又因为kN*，mN*，lN*，不存在这组解，所以矛盾，所以知ak2ak1=qak=ak+1，前ak+1为等比数列，由数学归纳法知，an是等比数列得证，同理，数列恒负，an也是等比数列 专心-专注-专业