2022年数学选修学案排序不等式.pdf

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1、选修4-5 学案3.2.1排序不等式姓名学习目标：1. 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题; 2. 体会运用经典不等式的一般思想方法?知识情景：1. 一般形式的柯西不等式：设n为大于 1 的自然数，,iia bR(i1,2,n)，则：. 当且仅当时, 等号成立 .(若0ia时，约定0ib，i1,2,n). 变式 10.设,0(1,2, ),iiaR bin则：iiniiibaba212)(. 当且仅当时, 等号成立 . 变式 20. 设0(1,2, ),iiabin则：iiiniiibaaba21)(. 当且仅当nbbb21时,等号成立. 变 式30. (积分形式)

2、设)(xf与)(xg都在,ba可积，1212,jninB BBBB A AA AA则dxxgdxxfdxxgxfbababa)()()()(222，当且仅当)()(xgtxf时,等号成立. 2. 探究如图，设AOB，自点O沿OA边依次取n个点12,nAAA，OB边依次取取n个点12,nB BB，在OA边取某个点iA与OB边某个点jB连接，得到ijAOB，这样一一搭配，一共可得到n个三角形。显然，不同的搭配方法，得到的ijAOB不同，问 ：OA边上的点与OB边上的点如何搭配，才能使 n 个三角形的面积和最大（或最小）？设,( ,1,2, )iijjOAa OBb i jn，由已知条件，得1231

3、23,nnaaaabbbb因为ijAOB的面积是，而是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为代数问题：1212,nnc ccb bb设是数组的任何一个排列则1 122n nSa ca ca c何时取最大（或最小）值？我们把1 122nnSa ca ca c叫做数组12(,)na aa与12( ,)nb bb的乱序和 .精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 其中 , 1121321nnnnSaba ba ba b称为序和. 21 1223

4、3nnSa ba ba ba b称为序和 .这样的三个和大小关系如何?新知建构：1.检验操作 : 填表 :2.一般性证明 :12,naaa设12nbbb1212c ,nnccb bb是的任意一个排列(有个不同的排列 ). 所以 , 1 122nnSa ca ca c的不同值也只有有限个(个).其中必有最大值和最小值. 考察1 122nnSa ca ca c, 10.若11cb,则应有某1(1 )kcbk,且1kcc,对换1,kc c得11kknnSa ca ca c0SS. SS.说明将1 122nnSa ca ca c中第一项换为1 1a b后, 和式变.20.若11cb,则转而考察2c,并

5、进行类似讨论.可证将式中第二项换为22a b后,和式变. 如此继续下去 , 经有限步调整 , 可知一切和数中, 最大和数只能是. 且不难知道 , 最小和数只能是. 因此12SSS反序和乱序和顺序和即. 30.容易发现 , 当12,naaa或12nbbb时, 12SSS; 如果12, , , ,na aa不全相等 , 12,nb bb也不全相等.则, (1,)i ji jn和, (1 ,)l kl k n使,ijlkaa bb,考察和数2()()iijjllkkikjllikjSSaba baba baba ba ba b2()()iijjllkkiljklikjSSaba ba ba baba

6、 baba b()()0ijklSSaabbSS12SSSS. 定理(排序 不等式 , 又称 排序原理 ):12,naaa设12nbbb为两组数 , 1212c ,nnccb bb是的任意一个排列 , 则121321nnnna ba ba ba b1 122nna ca ca c1 12233nnaba ba ba b. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 当且仅当12,naaa或12nbbb时, 等号成立 . 排序不等式的应用：例

7、1. 若 a1，a2，an为两两不等的正整数，求证 :32122211112323naaaann. 例 2 5 个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5 个人的水桶需要的时间分别是4 分钟 ,8 分钟 ,6 分钟 ,10 分钟 ,5 分钟 . 那么如何安排这5 个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？选修4-5练习3.2.1排序不等式姓名1、若121212120,01aabbaabb, 且，则下列代数式中值最大的是（） A1 122a ba b B1212a ab b C122 1a ba b D122、对a,b,cR+, 比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小3、ba

8、abbaRba，求证：已知,4、正实数 a1,a2,an的任一排列为a1/,a2/,an/， 则有1212nnaaanaaa5、 设1a，2a，3a，na为正数，求证：nnnnaaaaaaaaaaa211221322221.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 6、, ,a b cR设试证: 121212101010abcabcbccaab. 7、设, ,a b cR, 用排序不等式 求证: 3()a b cabca b cabc8、,

9、:ABC在中 试证32aAbBcCabc9、设 a1,a2,an是 1,2,n 的一个排列，求证：nnaaaaaann1322113221精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 10、设 a,b,c R+,求证：abccabbcabacacbcbacba333222222222精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -