2022年初中数学二次函数做题技巧.pdf

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1、学习资料收集于网络，仅供参考学习资料初中数学二次函数做题技巧I. 定义与定义表达式一般地，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数， a0，且 a 决定函数的开口方向， a0 时，开口方向向上， a0时，开口方向向上， a0时，开口方向向下。IaI 还可以决定开口大小 ,IaI越大开口就越小 ,IaI越小开口就越大。）则称y为 x 的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x 是自变量， y是 x 的函数二次函数的三种表达式一般式： y=ax2+bx+c(a,b,c为常数 ,a 0) 顶点式 抛物线的顶点 P(h ，k) ：y=a(x-h)

2、2+k 交点式 仅限于与 x 轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线 ：y=a(x-x1)(x-x2) 以上 3 种形式可进行如下转化：一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b2)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b2)/4a 一般式和交点式的关系 x1,x2=-b(b2-4ac)/2a(即一元二次方程求根公式 ) 中考数学精选例题解析：一次函数（1）知识考点：掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。精典例题：【例 1】二次函数cbxaxy2的图像如图

3、所示，那么abc、acb42、ba2、cba24这四个代数式中，值为正的有（）A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个解析： abx21 ba20 答案： A 评注： 由抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴的位置判定b的符号，由抛物线与y轴交点位置判定c的符号。由抛物线与x轴的交点个数判定acb42的符号，若x轴标出了 1 和 1， 则结合函数值可判定ba2、cba、cba的符号。【例 2】已知0cba，a0，把抛物线cbxaxy2向下平移1 个单位， 再向左平移 5 个单位所得到的新抛物线的顶点是（2，0） ，求原抛物线的解析式。分析： 由0cba可知：原抛物线的图像经过点（1，0）

4、；新抛物线向右平移5 个单位，再向上平移1 个单位即得原抛物线。解 ： 可 设 新 抛 物 线 的 解 析 式 为2)2(xay， 则 原 抛 物 线 的 解 析 式 为yx例 1 图-11O精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料1)52(2xay，又易知原抛物线过点（1，0）1)521(02a，解得41a原抛物线的解析式为：1)3(412xy评注： 解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系

5、，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：开口反向（或旋转1800） ，此时顶点坐标不变，只是a反号；两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a反号；两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称；探索与创新：【问题】已知，抛物线22)1(ttxay（a、t是常数且不等于零）的顶点是A，如图所示，抛物线122xxy的顶点是 B。（1）判断点 A是否在抛物线122xxy上，为什么？（2）如果抛物线22)1(ttxay经过点 B，求a的值；这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，

6、请说明理由。解析： （ 1）抛物线22)1(ttxay的顶点 A（1t，2t） ， 而1tx当时，222)11()1(12xxxxy2t，所以点 A在抛物线122xxy上。（2）顶点 B（1，0） ，0)11 (22tta，0t，1a；设抛物线22)1(ttxay与x轴的另一交点为C， B （1，0） ，C （12t，0） ，由抛物线的对称性可知，ABC为等腰直角三角形，过A作 ADx轴于 D，则 AD BD 。当点 C在点 B的左边时，)1(12tt，解得1t或0t（舍）；当点 C在点 B的右边时，1)1(2tt，解得1t或0t（舍）。故1t。评注：若抛物线的顶点与x轴两交点构成的三角形是直

7、角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。跟踪训练：一、选择题：1、二次函数cbxaxy2的图像如图所示，OA OC ，则下列结论：abc0；yx问题图OB第 1 题图yx-21CBAO精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料24bac；1bac；02ba；acOBOA；024cba。其中正确的有（） A 、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5

8、 个2、二次函数cbxxy2的图像向右平移3 个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为122xxy，则b与c分别等于（） A、6、4 B、8、 14 C、4、6 D、8、 14 3、如图，已知ABC中，BC8，BC 边上的高4h，D 为 BC上一点， EF BC交 AB于 E，交 AC于 F（EF不过 A、B） ，设 E到BC致的距离为x，DEF的面积为y，那么y关于x的函数图像大是（）xy2442Oxy3 题图2442Oxy2442Oxy3 题图2442O A B C D 4、若抛物线2axy与四条直线1x，2x，1y，2y围成的正方形有公共点，则a的取值范围是（） A、41a1

9、B、21a2 C、21a1 D、41a2 5、如图，一次函数bkxy与二次函数cbxaxy2的大致图像是（）xy3 题图Oxy3 题图Oxy3 题图Oxy3 题图O A B C D 二、填空题：1、若抛物线232)1(2mmxxmy的最低点在x轴上，则m的值为。2、二次函数542mxxy，当2x时，y随x的增大而减小；当2x时，y随x的增大而增大。则当1x时，y的值是。第 3 题图FEDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习

10、资料收集于网络，仅供参考学习资料3、已知二次函数的图像过点（0，3） ，图像向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移1 个单位后与x轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为。4、 已 知 抛 物 线nmxxmy4)2(22的 对 称 轴 是2x， 且 它 的 最 高 点 在 直 线121xy上，则它的顶点为，n。三、解答题：1、已知函数mxmxy)2(2的图像过点（1，15） ，设其图像与x轴交于点A、B，点 C在图像上，且1ABCS，求点 C的坐标。2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元

11、）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系） 。根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30 万元；（3）求第 8 个月公司所获利润是多少万元？tS3 4 5 6 -1 -2 -3 月O 4 32 1 1 2 OO第 2 题图（月）（万元）xy第 4 题图ODCBA3、抛物线2xy，221xy和直线ax（a0）分别交于A、B两点，已知 AOB900。（1）求过原点O，把 AOB面积两等分的直线解析式；（2）为使直线bxy2与线段 AB相交，那么b值应是怎样

12、的范围才适合？4、如图，抛物线taxaxy42与x轴的一个交点为A（ 1，0） 。（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点， C 是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为 9，求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为52 的点，如果点E在（ 2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。参考答案精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

13、- -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料一、选择题： BCDDC 二、填空题：1、2；2、7；3、1)2(212xy；4、 （2，2） ，2n；三、解答题：1、C（23，1）或（23，1） 、 （3， 1）2、 （1）ttS2212； （2）10 月； （3）5. 5 万元3、 （1）xy42； （ 2）3b0 4、 （1）B（ 3，0） ； （2）342xxy或342xxy；（3）在抛物线的对称轴上存在点P（ 2，21） ，使 APE的周长最小。中考数学精选例题解析函数与一元二次方程知识考点：1、理解二次函数与一元二次方程之

14、间的关系；2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况；3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。精典例题：【例 1】已抛物线1)2()1(2xmxmy（m为实数）。（1）m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？（2）如果抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且 ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。分析： 抛物线与x轴有两个交点， 则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m应满足的条件。略解： （ 1）由已知有0012mm，解得0m且1m（2）由0 x得 C（0， 1）又1mmaAB2112121mmOCABS

15、ABC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料34m或54m132312xxy或156512xxy【例 2】已知抛物线)6(2)8(222mxmxy。（1）求证：不论m为任何实数，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个点都在x轴的正半轴上；（2）设抛物线与y轴交于点A，与x轴交于 B、C 两点，当 ABC的面积为48 平方单位时，求m的值。（3）在（ 2）的条件下，以BC为直径作 M ，问 M是否经过

16、抛物线的顶点P？解析： （1）0)4(22m，由08221mxx，0)6(2221mxx可得证。（2）)6( 8) 8(4)(2222122121mmxxxxxxBC42m)6(22mOA又48ABCS48)6(2)4(2122mm解得22m或122m（舍去）2m（3）16102xxy，顶点（ 5， 9） ，6BC69 M不经过抛物线的顶点P。评注： 二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此， 善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。探索与创新：【问题】如图，抛物线4)(22cxbaxy，其中a、b、c分别是 ABC的 A、B、 C的对边。（1）求证：该抛物线与

17、x轴必有两个交点；（2）设有直线bcaxy与抛物线交于点E 、F，与y轴交于点 M ，抛物线与y轴交于点 N，若抛物线的对称轴为ax，yx问题图EQFPMON精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料MNE 与 MNF 的面积之比为51，求证： ABC是等边三角形；（2）当3ABCS时，设抛物线与x轴交于点P、Q ，问是否存在过P、Q两点且与y轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；若不存在，请说明

18、理由。解析： （ 1）)()(22cbacbacba0cba，0cba0（2）由aba2得ba由bcaxycxbaxy4)(22得：0432accaxx设 E（1x，1y） ，F（2x，2y） ，那么：axx321，accxx4221由MNESMNFS51 得：215 xx215xx或215xx由021xx知215xx应舍去。由212153xxaxx解得22axacca42522，即04522cacaca或05ca（舍去）cba ABC是等边三角形。（3）3ABCS，即3432a2a或2a（舍去）2cba，此时抛物线142xxy的对称轴是2x，与x轴的两交点坐标为 P（32，0） ，Q（32，

19、0）设过 P、Q两点的圆与y轴的切点坐标为（0，t） ，由切割线定理有：OQOPt21t故所求圆的圆心坐标为（2， 1）或（ 2，1）yx问题图EQFPMON精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料评注：本题（ 1） （2）问与函数图像无关，而第（3）问需要用前两问的结论，解题时千万要认真分析前因后果。同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题

20、，也是得分的一种策略。跟踪训练：一、选择题：1、已知抛物线mxmxy)1(52与x轴两交点在y轴同侧，它们的距离的平方等于2549，则m的值为（） A、 2 B、12 C、24 D、 2 或 24 2、已知二次函数cbxaxy21（a0）与一次函数mkxy2（k0）的图像交于点 A（2，4） ，B （8，2） ，如图所示，则能使21yy成立的x的取值范围是（） A、2x B、8x C、82x D、2x或8xyx第 2 题图BAOyx第 3 题图EBAOyx第 4 题图BAO3、如图，抛物线cbxaxy2与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且 ABE是等腰直角三角形， AE BE ，则下列关系：0

21、ca；0b；1ac；2cSABE其中正确的有（） A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个4、设函数1)1(22mxmxy的图像如图所示，它与x轴交于 A、B两点，线段OA与 OB的比为 13，则m的值为（） A、31或 2 B、31 C、1 D、 2 二、填空题：1、已知抛物线23)1(2kxkxy与x轴交于两点A（，0） ， B（， 0） ，且1722，则k。2、抛物线mxmxy2)12(2与x轴的两交点坐标分别是A（1x， 0） ，B（2x，0） ，且121xx，则m的值为。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - -

22、- - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料3、若抛物线1212mmxxy交x轴于 A、 B 两点，交y轴于点C，且 ACB 900，则m。4、已知二次函数1)12(2xkkxy与x轴交点的横坐标为1x、2x)(21xx，则对于下列结论： 当2x时，1y；当2xx时，0y；方程1)12(2xkkx0 有两个不相等的实数根1x、2x；11x，12x；kkxx21241，其中所有正确的结论是（只填写顺号） 。三、解答题：1、已知二次函数cbxaxy2（a0）的图像过点E（2，3） ，对称轴为1x，它的图像与x轴交于

23、两点A（1x，0） ， B（2x，0） ，且21xx，102221xx。（1）求这个二次函数的解析式；（2）在（ 1）中抛物线上是否存在点P，使 POA的面积等于EOB的面积？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由。2、已知抛物线42)4(2mxmxy与x轴交于点A（1x，0） ，B （2x，0）两点，与y轴交于点 C，且21xx，0221xx，若点 A关于y轴的对称点是点D。（1）求过点 C、B、D的抛物线解析式；（2）若 P是（1）中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点， 且 HBD与 CBD的面积相等，求直线PH的解析式；3、已知抛物线mmxxy223212交x轴于

24、点 A （1x，0） ，B（2x，0）两点，交y轴于点 C，且210 xx，112)(2COBOAO。（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点，使APB为锐角、钝角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。参考答案一、选择题： CDBD 二、填空题：1、2；2、21；3、3；4、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料三、解答题：1、 （1）322xxy； （ 2）存在， P（131， 9）或（131， 9）2、 （1）862xxy； （2）103xy3、 （1）223212xxy； （2）当30Px时 APB 为锐角，当01Px或43Px时 APB为钝角。聚能教育精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -