2022年初中数学知识点.pdf

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1、圆第一节圆和圆的基本性质1.圆的定义a)在一个平面内， 绕固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆。固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。b)圆上各点到定点的距离都等于定长（半径r）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。c)圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长的点的集合。2.有关概念a)弦：连接圆上任意两点的线段b)直径：经过圆心的弦c)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称为弧d)等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧e)优弧：大于半圆的弧（用三个点表示）f)劣弧：小于半圆的弧g)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆h)等

2、圆：能够重合的两个圆。半径相等的两个圆（同圆或等圆的半径相等）i)弦心距：j)同圆：k)同心圆：3.“三点定圆”定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。4.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直与弦，并且平分弦所对的两条弧。5.“等对等”定理及其推论在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。6.确定条件：圆心确定位置，半径确定大小7.圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的

3、对称轴。中心对称图形，对称中心是圆心8.点与圆的位置关系设圆的半径为R，一点到圆心的距离为d，点在圆外Rd；点在圆上Rd；点在圆内Rd。第二节直线和园的位置关系1. 三种位置及判定与性质：5、直线和圆的位置关系及其数量特征：dR d=R dR 直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 直 线 和 圆的位置相交相切相离D 与 r 的关系dr 公 共 点 个数2 1 0 公 共 点 名称交点切点无直线名称割线

4、切线无6、有关定理和概念切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直与这条半径的直径是圆的切线切线的性质定理：圆的切线垂直与过切点的半径推论：切线长定理： 从园外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。三角形的内切圆和内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。第三节与圆有关的角与圆有关的角：圆心角：顶点在圆心的角圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。（在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等

5、。）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90o的圆周角所对的弦是直径。（与圆心角的关系）弦切角定义（弦切角定理）圆心角定理，圆周角定理，弦切角定理，（4）圆内接四边形定理以及相关概念，圆内接多边形： 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。圆内接四边形的对角互补。（5）如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。与圆有关的比例线段与圆有关的比例线段1.相交弦定理2.切割线定理1、和圆有关的线段间的比例关系可列表如下：相 交 弦 定 理 及 推论 1 切割线定理及推论2 条弦弦CDPT 是PAB 、精品资料

6、- - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 件AB,CD相交于 P点直径AB交于 P 点O的 切线，PAB是 O的割线PCD 均为 O的割线图形图 80401 图80402 图 80403 图80404 结论PA PB=PC PD PC2=PAPB PT2=PAPB PA PB=PCPD 2、 可深化得出的结论： PA PB 为常数。设 O 的半径为R， 对于相交弦则有PA PBR2-OP2,对于切割线则有PAPBOP2- R2。3、解题方法：直接应用

7、相交弦定理，切割线定理及其推论；找相似三角形，当不能直接运用定理和推论时，通常用添加辅助线的方式以证明三角形相似得证。第四节圆和圆的位置关系1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切 ) 2.相切（交）两圆连心线的性质定理3.两圆的公切线：定义性质1、五种位置关系及其数量特征（注意“数形结合”） 。两圆位置关系相交相切相离外切内切外离内含d 与 R、r 的关系R-rdr) d= R+r d= R-r (Rr) d R+r dr) dR+r d=R+r R-rdR+r d=R-r dR-r 外离外切相交内切内含精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载

8、名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 公共点个数2 1 1 0 0 外公切线条数2 2 1 2 0 内公切线条数0 1 0 2 0 公切线条数2 3 1 4 0 2、有关定理：连心线的性质：当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆相切时，连心线过切点；当两圆外离时，连心线过内（外） 公切线的交点且连心线平分两条公切线的夹角；当两圆内含时，连心线是对称轴。公切线的性质：两圆的两条外（内）公切线的长相等；两条外（内）公切线的交点在连心线上且夹角被连心线平分。公切线长的计算公式：l 外公切线 = d2-(R-r)2l 内公切

9、线 =d2-(Rr)2. 两个圆是轴对称图形，两圆的连心线是它的对称轴。3、思想方法：（1）抓住“切点” ，明辨圆与圆的相切及圆与直线的相切，并充分、合理地运用有关“切”的定理。（2）全面思考问题：如两圆无公共点，则为外离或内含；相切分“外切”和“内切”；两个圆心可在公共弦和同侧或异侧。（3）发现和建立两圆之间的联系，注意有些线段或角具有双重身份，应灵活使用。第五节正多边形和圆正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。1.圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）2.

10、三角形的外接圆、内切圆及性质经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点。3.圆的外切四边形、内接四边形的性质4.正多边形及计算中心角：)(2360右图nn内角的一半：21180)2(nn(右图 ) O A B M 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - （解 RtOAM 可求出相关元素,nS、nP等）5、一组计算公式（1）圆周长公式（2）圆面积公式（3）扇形面积公式（4）弧长

11、公式（5）弓形面积的计算方法（6）圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算1、任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，而且是同心圆。2、一个正 n 边形，当 n 为奇数时，它是一个轴对称图形，且有n 条对称轴；当n 为偶数时，它同时也是一个中心对称图形，其对称中心为其外（内）心。3、弧长公式l 弧 AB=n180R 。4、扇形面积公式：S 扇形 =n360R2=12l R 。5、弓形面积公式：6、正 n 边形：7、立体图形圆柱和圆锥，可将它们转化为平面图形进行研究。要掌握圆柱和圆锥转化成相关平面图形的特征，以及与圆柱和圆锥的联系。圆柱与它相关平面图形的关系圆柱可以看成是由旋转得到的图形，圆柱沿轴的

12、剖面图是矩形，圆柱的侧面展开图是矩形。设圆柱的母线长为l，底面圆半径为R,圆柱与它的旋转面、轴剖面、侧面展开图元素间的关系如下表：圆柱旋转面（矩形）轴剖面（矩形）侧面展开图 （矩形）母 线长（高） l 轴上的边l 平行轴的边 l 一边长 l；底面圆半径 R 垂直于轴的边 2R 垂直轴的边 2R 另一边长2R 圆锥与它相关平面图形的关系圆锥可以看成是直角三角形旋转得到的图形，圆锥沿轴的剖面图是等腰三角形，圆锥的侧面展开图是扇形。 设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，锥角为 a,高为 h，圆锥与它的旋转面、轴剖面、侧面展开图元素间的关系如下表：圆锥旋转面（直角三角形轴 剖 面（ 等 腰三角形侧面展

13、开图（扇形母线长 l 斜边长 l 腰长 l 半径 l 底 面 圆半径 r 垂直轴的直角边 r 底 边 长2r 弧长 2r 锥角 a 斜边与轴上的直角边夹角12a 顶角 a 圆心角360sina2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 高 h 轴上的直角边 h 底 边 上的高 h _ 8、边数 n 内角中心角半径Rn 边长an 边心距rn 周长Pn 面积Sn 3 1 4 1 6 1 9、结论及方法：（1）正 n边形的半径和边心距把正n 边形

14、分成 2n 个全等的直角三角形。（2）正多边形的有关计算问题，常转化为解直角三角形的问题来研究。（3）常用“隔离法”来按各元素之间的数量关系。（4）求阴影部分面积常转化为规则图形来求，或采用“重叠法”及“代数法”。第七节轨迹和作图一、点的轨迹六条基本轨迹二、有关作图1.作三角形的外接圆、内切圆2.平分已知弧3.作已知两线段的比例中项4.等分圆周： 4、8;6、3 等分1、 轨迹：条件F图形 C 2、 五条基本轨迹：圆：到定点距离等于定长的点的轨迹。中垂线：到线段两个端点距离相等的点的轨迹。角平分线： 到角的两边距离相等的点轨迹。平行线： 到一直线距离为定值的点的轨迹是一条到该直线距离为定值的平行线。平行线： 到两平行线距离相等的点的轨迹是平行与两条直线且到两直线距离相等的直线。3、 相切在作图中应用直线和圆弧在切点处连接；圆弧与圆弧在切点处外连接和内连接。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -