2022年初中数学论文中考数学“新定义”试题浅析.pdf

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1、中考数学“新定义”试题浅析随着新课改的深入，中考试题中考查学生的学习能力，促进学生发展的创新型试题不断地涌现。而“新定义”试题是创新型试题的主要表现之一，也是2009 年中考数学试题中的一个热点。“新定义”试题具有新颖公平的问题背景，且与已学数学知识密切关联的知识基础，能有效考查学生的数学阅读理解能力和运用已学知识分析问题、解决问题的综合能力，在中考试题中有较好地效度。现举例说明如下：考点一：利用“新定义”构建数、式模型例 1、 （2009 年绍兴市）李老师从油条的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1 的对应点的线段AB，对折后（点A与B重合）再均匀地拉成1个单位长度

2、的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB上的14，34均变成12，12变成 1，等） 那么在线段AB上（除A，B）的点中，在第二次操作后，恰好被拉到与1 重合的点所对应的数之和是_解：在第一次操作后，原线段AB上的14，34均变成12，12变成 1， 在第二次操作后，原线段AB上的14，34均变成 1，点所对应的数之和是13144。【剖析】 本题是一道PISA 型试题，以学生已学的数轴和已有的生活经验为基础，对某种操作进行了新的定义。解答本题，关键是要读懂新定义中“一次操作”的真正含义：先对折再拉长到与原线段长度相等的线段即为1 个单位长度。第一次操作后，在12处为对折点，均

3、匀拉长后12变成 1，原线段 AB 上的14，34均变成12，这在题目中已有提示。第二次操作后，在线段12处有两个数14和34为对折点，均匀拉长后这两个数都江堰市变为1，根据题意，在第二次操作后，恰好被拉到与1 重合的点对应的数为14和34，这样马上可以得出结论。解：13144。本题是对学生的抽象概括、空间想象能力要求较高。例 2、 （2009 年台州市）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式321 0123 4567 89 10 11 12A 0121B （例 3 图）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

4、- - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 为完全对称式，如abc就是完全对称式. 下列三个代数式：2)(ba；abbcca；222a bb cc a其中是完全对称式的是( A ) ABC D解：由新定义 “完全对称式” 知，22abba，所以是完全对称式；若将a、b字母交换，则abbcca变为baacbc，abbcca=baacbc，是完全对称 式 ； 若 将a、b字 母 交 换 ， 则222a bb cc a变 为222b aa cc b， 222a bb cc a222b aa cc b，不是完全对称式。所以答案应选择为（A）【剖析】 本

5、题是以已学的整式的乘除、乘法公式为知识为基础，对代数式的变换进行了新的定义。解答本题，关键是要读懂新定义中数学的本质含义，在理解“新定义”的基础上，再进行具体的代入、计算、判断，就能把问题解决。考点二：利用“新定义”构建方程、函数模型例 3、 （2009 年孝感）对于任意两个实数对（a，b）和（ c，d） ，规定：当且仅当ac 且 bd 时， （a，b）=（c，d） 定义运算 “” ： （a，b）（ c，d）=（acbd，adbc） 若（1，2）（p，q）=（5，0） ，则 p， q解：由新定义“”运算规定得：（a，b）（c，d）=（acbd，adbc） ，（1，2）（p，q）=2 ,2pq

6、qp，2 ,25,0pq qp2520pqqp，解得：12pq，所以答案为： 1， 2; 【剖析】 本题是以学生已学的实数运算和二元一次方程组为知识基础，给出了一个新定义的运算法则， 学生在阅读和理解新运算的基础上，来解决与新运算有关的问题。这类试题考查了学生的逻辑推理能力，由一般到特殊地读懂新运算的本质，关键是要准确理解新符号的数学意义。例 4、 （2009 年杭州市）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第 k 棵树种植在点)(kkkyxP，处，其中11x，11y，当 k2 时，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名

7、师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 5251)5251(5111kkyykkxxkkkk，a表示非负实数a的整数部分，例如2.6=2 ，0.2=0 。按此方案，第2009 棵树种植点的坐标为A.（5，2009）B.（6，2010）C.（3，401）D（4，402）解：从特殊点的坐标出发，来探求它的变化周期性，从而来得出一般性的结论。2101 1 525 0255x，210110155y，11,1p3212135 0355x，321110155y，22,1P同理可得：33,1P，44,1P，55,1P，61,2P，72,2

8、P，83,2P，94,2P，105,2P，111,3P，得出五个数的循环。所以2009 54014，所以200944xx，20094011402y，因此得结论20094,402P。【剖析】 本题是一道探索性试题，以学生已学的点的坐标和已有的探究经验为基础，对a的数学符号进行了新的定义, 即： a表示非负实数a的整数部分。解答本题，关键是要读懂新定义中“a”的真正含义，先通过对特殊和简单数的探索对折再拉长到与原线段长度相等的线段即为1 个单位长度。第一次操作后，在12处为对折点，均例 5、 （2009 年义乌市）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形ABCD

9、 （A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。例如：如图，正方形ABCD是一次函数1yx图像的其中一个伴侣正方形。（1）若某函数是一次函数1yx，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数(0)kykx，他的图像的伴侣正方形为ABCD ，点 D （2，m ）（m 2）在反比例函数图像上，求m的值及反比例函数解析式；（3）若某函数是二次函数2(0)yaxc a，它的图像的伴侣正方形为ABCD ，C、 D 中的一个点坐标为（3，4）. 写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标，写出符合题意的其中一条抛物线解析式， 并判断你写出的抛物线的伴侣正方

10、形的个数是奇数还是偶数？。( 本小题只需直接写出答案) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 简解：（1）如图（ 1） ，正方形边长为123；（2）如图（2） ， ADE BAD CBF ，解得反比例函数为2yx；（3）1,3，7, 3，4,7，4,1对应的函数为212388yx，272234040yx，23177yx，235577yx。【剖析】 本题以正方形和一次函数、反比例函数、二次函数为知识基础和问题背景，给出了“函数图像的伴侣正

11、方形”的新定义，解答本题，关键是读懂“新定义”，看懂函数图象。 本题主要考查了全等三角形、点坐标、 函数图象等相关知识和数形结合思想的运用，考查学生综合运用知识的能力。例 6、 （2009 年益阳市）阅读材料：如图 1，过ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC 的“水平宽” (a)，中间的这条直线在ABC 内部线段的长度叫 ABC 的“铅垂高(h)” .我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ahSABC21，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

12、 - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 解答下列问题：如图 2，抛物线顶点坐标为点C( 1, 4), 交 x 轴于点 A( 3, 0) ，交 y轴于点 B.（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）点 P 是抛物线 (在第一象限内 )上的一个动点，连结PA，PB，当 P 点运动到顶点C时，求 CAB 的铅垂高 CD 及CABS；（3）是否存在一点P，使 SPAB=89SCAB，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由 .简解：解： (1)324)1(221xxxy32xy(2) CD4-22 32321CABS(平方单位 )(3)

13、假设存在符合条件的点P，设 P 点的横坐标为x，PAB 的铅垂高为h，则铅垂高xxxxxyyh3)3()32(2221由 SPAB=89SCAB，得：389)3(3212xx化简得：091242xx，解得，23x将23x代入3221xxy中，解得 P 点坐标为)415,23(【剖析】 本题以阅读材料的形式提出了新定义：ABC 的“水平宽”、 “铅垂高 (h)”，从而得出一种计算三角形面积的新方法：ahSABC21，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 . 运用新定义中的新方法，可解答一类在以抛物线为背景下的斜三角形的最大面积问题，解答本题，关键是读懂“新定义”和理解运用新公式。本题主要考查

14、学生阅读理x C O y A B D 1 1 B C 铅垂高水平宽h a 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 解能力和数形结合思想的运用。以考点三：利用“新定义”构建四边形、相似形模型例 7、 （2009 年台州市）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点如图 1，PHPJ，PIPG，则点P就是四边形ABCD的准内点（1）如图 2，AFD与DEC的角平分线,FP EP相交于点P求证：点P是四边形A

15、BCD的准内点（2）分别画出图3 平行四边形和图4 梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”任意凸四边形一定存在准内点（）任意凸四边形一定只有一个准内点（）若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PDPCPBPA或PDPBPCPA( ) 简解：（1）如图 2，过点P作ADPJCDPIBCPHABPG,，EP平分DEC， PHPJ同理PIPG，P是四边形ABCD的准内点（2）平行四边形对角线BDAC,的交点1P就是准内点，如图3（1）. 或者取平行四边形两对边中点连线的交点1P就是准内点，如图3（2） ；梯形两腰夹角的平分线与梯形中

16、位线的交点2P就是准内点如图4. （3）真；真；假【剖析】 本题以四边形、特殊四边和角平分线的性质为知识基础，给出了“四边形ABCD的准内点”的新定义， 解答本题， 关键是读懂“新定义”和看懂几何图形， 理解点到直线的距离和（第 23 题）图 3 图 2 图 4 F E D C B A P G H J I 图 1 B J I H G D C A P 图 3（1）图 4 图 3（2）DCBAABCDGDCBAFEEGHF1P1P2P精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - -

17、- - - - - - - - 角平分线的性质是解题的关键。本题主要考查学生的数学阅读理解能力、逻辑推理能力和画图操作能力。例 8、 （2009 年绍兴市）若从矩形一边上的点到对边的视角是直角，则称该点为直角点例如，如图的矩形ABCD中，点M在CD边上，连AM，90BMAMB，则点M为直角点（1） 若矩形ABCD一边CD上的直角点M为中点，问该矩形的邻边具有何种数量关系？并说明理由；（2）若点MN，分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，且43ABBC，求MN的长解： （1）AB=2AD ，如图（ 1） 直角点 M为 CD边的中点， MD=MC ，AD=BC ， D=C=Rt, ADM AD

18、M ， AMD= BMC AMB=Rt , AMD+ BMC=90 AMD= BMC=45 ， AD=DM ， AB=2AD 如图（ 2） ，作 MH AB 于点 H，连结 MN ， AMB=90 ， AMD+ BMC=90 ， AMD+ DAM=90 ， DAM= BMC ，又 D=C， ADM MCB ，ADDMMCBC，既343MCMC，1MC或3。当1MC时，1AN，2NH。22222327MNMHNH7MN当3MC时，3MNBC【剖析】 本题以全等三角形、矩形和相似三角形为知识基础，给出了“直角点”的新定义，解答本题，关键是读懂“新定义”和看懂几何中的基本图形。本题主要考查学生逻辑推

19、理能力和分类讨论思想的运用，以及解方程和计算能力。解答本题，可从不同角度和思路来解答，是一道解法多样性的试题。例9 、（2009年 湖 州 市） 若P为ABC所在平 面上 一点，且120APBBPCCPA，则点P叫做ABC的费马点 . （1）若点P为锐角ABC的费马点，且60ABCPAPC ，3，4，则PB的值为 _；A C B B第（ 25）题D B C A M （例 8 图）(1)MCBDA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - （2

20、）如图，在锐角ABC外侧作等边ACB连结BB. 求证：BB过ABC的费马点P，且BB=PAPBPC. 25 （1）23. （2）证明：在BB上取点P，使120BPC，连结AP，再在PB上截取PEPC，连结CE120BPC ，60EPCPCE为正三角形，60PCCEPCECEB， ，=120，ACB为正三角形，ACB CACB，=60，PCAACEACEECB=60，PCAECB，ACPBCEAPCB120CEPAEB ，120APBAPCBPC，为ABC的费马点，BB过ABC的费马点P，且BB=EB+PBPEPAPBPC 2 分【剖析】 本题有一定的难度和能力要求较高，它以特殊三角形和全等三角形为知识基础，给出了“ABC的费马点”的新定义， 解答本题， 关键是读懂“新定义”和添加辅助线， 并运用特殊三角形和全等三角形的有关知识来解决。本题主要考查学生逻辑推理能力和综合运用知识的能力。A C B P E 例 9 题B精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -