2022年初中数学轴对称图形知识点加习题总结.pdf

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1、知识点 1 轴对称图形如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴; 这时, 我们也说这个图形关于这条直线的轴对称。知识点 2 对称轴的性质1.对称轴是一条直线。2.在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等。3.在轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合。4.图形对称例1下面哪些图形是轴对称图形？画出轴对称图形的对称轴。例2. 推理游戏：下面应该是什么图形？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - -

2、 - - - - - - - 知识点 3 线段垂直平分线定义及其性质定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。性质 1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。例3如图，直线CD 是线段 AB 的垂直平分线，P为直线 CD 上的一点，已知线段PA=6，则线段 PB 的长度为（）A3 B5 C6 D8 解析：直线CD是线段 AB的垂直平分线，PB=PA ，PA=6 ，PB=6 答案 C

3、 例4如图所示， DE 是线段 AB 的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）AED=CD BDAC= B CC2B 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - DB+ADE=90 分析： DE 是线段 AB的垂直平分线，AD=BD B=BAD ，ADE= BDE B+ADE=90 答案 D 课堂练习 1 1点 A，B 关于直线 a对称， P 是直线 a上的任意一点，下列说法不正确的是（）A直线 AB 与直线 a垂直B直线 a 是点 A 和点

4、 B 的对称轴C线段 PA 与线段 PB 相等D若 PA=PB，则点 P 是线段 AB 的中点2.三角形中到三边的距离相等的点是（）A三条边的垂直平分线的交点B三条高的交点C三条中线的交点D三条角平分线的交点3.已知 A 和 B 两点在线段EF 的中垂线上，且EAF=100 ， EBF=70,则 AEB 等于( ) A、95B、15C、95或15D、170或 304.已知：如图，线段AB 垂直平分线段CD 则 AC。若线段 AB,CD 互相垂直平分，则 AC= 。ABCODOABDC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -

5、- - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 第四题第五题5已知：如图，O=34,BD 垂直平分 AO ，求 ABC的度数 . 6.已知：如图， AC=BC,AD=BD ，求证： AE=BE 知识点 1 画轴对称图形例 1 已知直线 AB 和直线 l，要画出 AB 关于 l 的对称图形只需要在直线AB 上选两个不同的点，这两点关于 l 的对称点就可以确定直线AB 的对称图形 CD。 点构成线，线构成面，类似的，作出构成这个平面图形的直线的轴对称图形即可确定这个平面的对称图形。例2 ABC在平面直角坐标 系中如图所示，（1）作出 ABC 关于 x 轴 对

6、 称 的图形A1B1C1；若 P（a，b）是 ABC内一点，请用a，b表 示 出点 P关于 x 轴 对 称 的点 P1的坐 标 ；EABDC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - （2）作出 ABC 关于原点对称的图形A2B2C2，写出点C2的坐 标 （3）A2B2C2能否由A1B1C1通过某种变换而得到？若能，请指出是何种变换分 析 ：（ 1） 根 据 网 格 结 构 找 出 点 A、 B、 C 关 于 x 轴 的 对 称 点 A1、

7、 B1、 C1的 位 置 ， 然 后 顺次 连 接 即 可 ， 根 据 关 于 x 轴 对 称 的 点 的 横 坐 标 相 同 ， 纵 坐 标 互 为 相 反 数 写 出 点 P1的 坐 标 ；（ 2）根 据 网 格 结 构 找 出 点 A、 B、C 关 于 原 点 对 称 的 点 A2、B2、C2的 位 置 ，然 后 顺 次 连 接即 可 ， 再 根 据 平 面 直 角 坐 标 系 写 出 点 C2的 坐 标 ；（ 3） 观 察 图 形 可 知 关 于 y 轴 对 称 解 ： （ 1） A1B1C1如 图 所 示 ， 点 P1的 坐 标 为 （ a， -b ） ；（ 2） A2B2C2如 图

8、 所 示 ， 点 C2的 坐 标 （ 2， 0） ；（ 3） A2B2C2能 由 A1B1C1通 过 变 换 得 到 ， 是 关 于 y 轴 对 称 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 知识点 3 用坐标表示轴对称坐标轴对称点 P（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标是（ x，-y ）点 P（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标是（ -x ，y）原点对称点 P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x ，-y ）坐标轴夹角平分线对称点 P

9、 （x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x 对称的点的坐标是 （y，x）点 P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x 对称的点的坐标是（-y ，-x ）例3在平面直角坐标 系中， A点的坐 标 （-4 ，3）（1）求出点 A关于 y 轴 对 称 的点 B的坐 标 ；答案（ 1） A点的坐标（ -4 ，3） ，B与 A关于 y 轴对称，二者纵坐标相同，横坐标互为相反数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 故 B点坐

10、标为 B（4，3） ；课堂练习 2 1 点 A（-3 ，2）关于 y 轴对称点的坐标是( ) A （-3 ，-2） B （3 ，2） C （-3 ，2） D （2 ， -3）2点 P（a，b）关于 x 轴的对称点为P （ 1，-6 ），则 A、B的值分别为 ( ) A 1 ，6 B -1 ，-6 C -1 ，6 D 1 ，-6 3. 点 P 关于 x 轴对称点 P的坐标为（ 4，-5 ）, 那么点P 关于 y 轴对称点P 的坐标为： A (-4 ，5) B (4 ，-5) C (-4，-5) D (-5，-4) 4. 已知 A、B两点的坐标分别是(-2 ，3)和(2 ，3） ，则下面四个结论：

11、A、B关于 x 轴对称； A、B关于 y 轴对称； A、B关于原点对称；A、B之间的距离为 4，其中正确的有 ( ) A.1个B.2个C.3个D.4 个5. 已知 M(0，2) 关于 x 轴对称的点为N，线段 MN 的中点坐标是( ) A.(0， -2) B.(0， 0) C.(-2，0) D.(0 ，4) 6. 平面内点 A(-1 ，2)和点 B(-1 ，6) 的对称轴是 ( ) A.x轴B.y轴C. 直 线y=4 D.直线 x=-1 7. 下列关于直线 x=1 对称的点是 ( ) A 点（ 0 ，-3）与点（ -2 ，-3 ）B 点（ 2 ，3）与点（ -2 ， 3） C 点（ 2 ，3）

12、与点（ 0 ，3）D 点（ 2 ，3）与点（ 2 ，-3 ) 二、填空题 : 8. 已知 A(-1 ，-2) 和 B(1，3） ，将点 A 向_平移 _个单位长度后得到的点与点B关于 y 轴对称9. 一个点的纵坐标不变，把横坐标乘以-1，得到的点与原来的点的关系是_10. 点 M(-2 ， 1)关于 x 轴对称的点 N的坐标是 _， 直线 MN 与 x?轴的位置关系是_11. 如下图：若正方形 ABCD 关于 x 轴与 y 轴均成轴对称图形，点 A的坐标为（ 2，1），标出点 B 、C 、D 的坐标分别为：B( ， )，C( ， )，D( ， )。12. 若 A（m-1，2n+3）与 B（n-

13、1，2m+1）关于 y 轴对称，则m= ,n= 13. 已知 a0，那么点 P（-a2-2，2-a ）关于 x 轴对称的对应点P在第象限三、解答题14. 已知点 M（1-a ，2a+2 ），若点M 关于 x 轴的对称点在第三象限，求a 的取值范围？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 15. 已知点 A 的坐标为（ 2x+y-3 ，x-2y ）。它关于x 轴对称的点A的坐标为（ x+3 ，y-4 ），求点 A 关于 y 轴对称的点的坐

14、标。知识点 1 等腰三角形有两边相等的三角形叫等腰三角形。等腰三角形中， 相等的两个边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。知识点 2 等腰三角形的性质1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角 ”） 。2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线， 底边上的高重合 （简写成“ 等腰三角形的三线合一 ”） 。3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

15、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。8.等腰三角形中腰大于高知识点 3 等腰三角形的判定定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边） 。例1 如图， ABC 中，点 D在边 AC上，且 A=36 ，DBC=36 ，C=72

16、 ，（1）找出图中图中所有的等腰三角形：（2）请在你第（ 1）小题所找的三角形中，说明它是等腰三角形的理由解： （1）A=36 ，C=72 ，ABC=180 - 36- 72=72，AB=AC ，ABC是等腰三角形，DBC=36 ，C=72 ，BDC=72 ，DB=CB ，DBC 是等腰三角形，BDC=72 ，ABD=36 ，AD=DB ，ABD是等腰三角形，故答案为： ABC ，DAB ，BCD ；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - -

17、- 知识点 4 等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。（注意： 若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形） 。知识点 5 等边三角形的性质等边三角形的内角都相等，且均为60度。等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。知识点 6 等边三角形的判定三边相等的三角形是等边三角形（定义）。三个内角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是 60度的等腰三角形是等边三角形。 有两个角等于60度的三角形是

18、等边三角形。例2 如图：ABC和ADE是等 边 三 角 形证 明：BD=CE 证明： ABC和ADE是等边三角形（已知） ，AB=AC ，AD=AE ，BAC= DAE=60 （等边三角形的性质） BAD= CAE （等式的性质）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 在BAD与CAE中， ABAC ， BAD CAE ，ADAE ，BAD CAE （ SAS ） BD=CE （全等三角形的对应边相等） 知识点 7 含30o角的直角三

19、角形的性质在直角三角形中，有一个锐角是30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。例3如果直角三角形的一个锐角为30，而斜边与较短的直角边之和为18cm，那么斜边长为（）A6cm B9cm C12cm D14cm 解析：设直角三角形的 30角对的边为a，另一直角边为b，斜边为 2a，由题意知， 3a=18，a=6， 2a=12cm. 答案 C 课堂练习 3 1已知等腰三角形一个内角的度数为30，那么它的底角的度数是_2等腰三角形的顶角的度数是底角的4 倍，则它的顶角是_3等腰三角形的两边长分别为3 厘米和 6 厘米，这个三角形的周长为_4如图，在中，平分，则 D点到 AB的距离为 _5如图，在中，

20、平分，若，则6如图，AB的垂直平分线交AC于D，则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 7.等边三角形是轴对称图形，它有_条对称轴。8.等边三角形两个内角的平分线所成的钝角的度数是_. 9.若一个三角形有两个外角都是120，则这个三角形是_三角形。10. 等边三角形的两条中线相交所成的锐角的度数是_。11. 若等腰三角形腰上的中线垂直于腰，则这个三角形是_三角形。12. 若右图所示，已知点D在 BC上，点 E在 AD上， BE=AE

21、=CE, 并且 1=2=60. 求证：ABC是等边三角形。13.如右图所示，在等边三角形ABC 的边 AB 、AC 上分别截出AD=AE ， ADE是等边三角形吗？说明理由。课后作业1下列命题中：两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；等腰三角形的对称轴是底边上的中线；等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；一条线段可以看着精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（）个A1 个B

22、2 个C3 个D4 个2下列图形中：平行四边形；有一个角是30 的直角三角形；长方形；等腰三角形. 其中是轴对称图形有（）个A1 个B2 个C3 个D4 个3已知 AOB 30 ，点 P在 AOB 的内部， P1与 P 关于 OA 对称， P2与 P 关于 OB 对称，则 P1OP2是（）A含 30 角的直角三角形；B顶角是 30 的等腰三角形；C等边三角形D等腰直角三角形. 4如图：等边三角形ABC 中，BD CE，AD 与 BE 相交于点P，则APE 的度数是（）A45B55C60D755. 等腰梯形两底长为4cm 和 10cm，面积为 21cm2，则这个梯形较小的底角是（）度 . A45

23、B30C60D906已知点 P 在线段 AB 的中垂线上，点Q 在线段 AB 的中垂线外，则（）APA+PBQA+QB BPA+PBQA+QB DPA+PBQA+QB D不能确定7已知 ABC 与A1B1C1关于直线 MN 对称，且 BC 与 B1C1交与直线MN 上一点 O，则（）A点 O 是 BC 的中点B点 O 是 B1C1的中点C线段 OA 与 OA1关于直线MN 对称D以上都不对8如图：已知 AOP= BOP=15 ，PCOA，PDOA，若 PC=4，则 PD=（）A4 B3 C2 D1 9 AOB 的平分线上一点P 到 OA 的距离为 5，Q 是 OB 上任一点，则（）APQ5 B

24、PQ 5 CPQ5 DPQ 510等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm则该等腰三角形的底长为（）A3cm 或 5cm B3cm 或 7cm C3cm D5cm 11线段轴是对称图形，它有_条对称轴12等腰 ABC 中，若 A=30 ，则 B=_ 13在 RtABC 中， C=90 ，AD 平分 BAC 交 BC 于 D，若 CD=4 ，则点 D 到 AB 的距离是 _14等腰 ABC 中，AB=AC=10 ， A=30 ，则腰 AB 上的高等于 _15如图：等腰梯形ABCD 中， AD BC，AB=6 ，AD=5 ，BC=8 ，且 AB DE，则 DEC的周长是 _16等腰梯形的腰长

25、为2，上、下底之和为10 且有一底角为B A D P O C PAECBD B E C D A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 60 ，则它的两底长分别为_17若 D 为 ABC 的边 BC 上一点，且 AD=BD ，AB=AC=CD ，则 BAC=_ 18 ABC中， AB 、AC的垂直平分线分别交BC 于点E、 F，若 BAC=115，则EAF=_ 19如图：已知 AOB 和 C、D 两点，求作一点P，使 PC=PD，且 P 到 AOB 两边的距离相等20如图： AD 为 ABC 的高， B=2C，用轴对称图形说明： CD=AB+BD 21有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD=30cm,BE=20cm ， BEG=60 ，求折痕 EF的长A C D B A C D O B 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -