复数的基本概念和几何意义(共7页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上 复数一、 考点、热点回顾1.复数的有关概念（1）复数定义：形如abi（a，bR）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i21.表示方法：复数通常用字母z表示，即zabi（a，bR），这一表示形式叫做复数的代数形式.a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.注意：复数mni的实部、虚部不一定是m、n，只有当mR，nR时，m、n才是该复数的实部、虚部.（2）复数集定义：全体复数所成的集合叫做复数集.表示：通常用大写字母C表示.2.复数的分类（1）复数zabi（a，bR）（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系3.复数相等的充要条件设a、b、c、d都是实数，则abi

2、cdiac且bd，abi0ab0.注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为zabi（a，bR）的形式，即分离实部和虚部.（2）只有当ac且bd的时候才有abicdi，ac和bd有一个不成立时，就有abicdi.（3）由abi0，a，bR，可得a0且b0.4.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.5.复数的两种几何意义（1）复数zabi（a，bR）复平面内的点Z（a，b）.（2）复数zabi（a，bR）平面向量.6.复数的模复数zabi（a，bR）对应的向量为，则的模叫做复数z的模

3、，记作|z|，且|z| .注意：复数abi（a，bR）的模|abi|，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小.二、典型例题考点一、复数的概念例1、下列命题：若aR，则（a1）i是纯虚数；若a，bR，且ab，则aibi；若（x24）（x23x2）i是纯虚数，则实数x2；实数集是复数集的真子集.其中正确的是（）A.B. C. D.【解析】对于复数abi（a，bR），当a0且b0时，为纯虚数.对于，若a1，则（a1）i不是纯虚数，即错误.两个虚数不能比较大小，则错误.对于，若x2，则x240，x23x20，此时（x24）（x23x2）i0，不是纯虚数，则错误.显然，正确.故选D.【答

4、案】D变式训练1、1.对于复数abi（a，bR），下列说法正确的是（）A.若a0，则abi为纯虚数B.若a（b1）i32i，则a3，b2C.若b0，则abi为实数D.i的平方等于1解析：选C.对于A，当a0时，abi也可能为实数；对于B，若a（b1）i32i，则a3，b1；对于D，i的平方为1.故选C.2.若43aa2ia24ai，则实数a的值为（）A.1 B.1或4C.4 D.0或4解析：选C.易知解得a4.考点二、复数的分类例2、已知mR，复数z（m22m3）i，当m为何值时，（1）z为实数？（2）z为虚数？（3）z为纯虚数？【解】（1）要使z为实数，m需满足m22m30，且有意义，即m1

5、0，解得m3.（2）要使z为虚数，m需满足m22m30，且有意义，即m10，解得m1且m3.（3）要使z为纯虚数，m需满足0，且m22m30，解得m0或2.变式训练2、当实数m为何值时，复数lg（m22m7）（m25m6）i是（1）纯虚数；（2）实数.解：（1）复数lg（m22m7）（m25m6）i是纯虚数，则解得m4.（2）复数lg（m22m7）（m25m6）i是实数，则解得m2或m3.考点三、复数相等例3、（1）若（xy）yi（x1）i，求实数x，y的值；（2）已知a2（m2i）a2mi0（mR）成立，求实数a的值；（3）若关于x的方程3x2x1（10x2x2）i有实根，求实数a的值.【解

6、】（1）由复数相等的充要条件，得解得（2）因为a，mR，所以由a2am2（2am）i0，可得解得或所以a.（3）设方程的实根为xm，则原方程可变为3m2m1（10m2m2）i，所以解得a11或.变式训练3、已知A1，2，a23a1（a25a6）i，B1，3，AB3，求实数a的值.解：由题意知，a23a1（a25a6）i3（aR），所以即所以a1.考点四、复数与复平面内的点例4、已知复数z（a21）（2a1）i，其中aR.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值（或取值范围）.（1）在实轴上；（2）在第三象限.【解】（1）若对应的点在实轴上，则有2a10，解得a.（2）若z对应的点在

7、第三象限，则有解得1a.故a的取值范围是.变式训练4、求实数a取什么值时，复平面内表示复数za2a2（a23a2）i的点（1）位于第二象限；（2）位于直线yx上.解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数za2a2（a23a2）i的点就是点Z（a2a2，a23a2）.（1）由点Z位于第二象限，得解得2a1.故满足条件的实数a的取值范围为（2，1）.（2）由点Z位于直线yx上，得a2a2a23a2，解得a1.故满足条件的实数a的值为1.考点五、复数与复平面内的向量例5、（1）已知M（1，3），N（4，1），P（0，2），Q（4，0），O为复平面的原点，试写出，所表示的复数；（2）已知复数1，1

8、2i，3i，67i，在复平面内画出这些复数对应的向量；（3）在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是23i，32i，23i，求点D对应的复数.【解】（1）表示的复数为13i；表示的复数为4i；表示的复数为2i；表示的复数为4.（2）复数1对应的向量为，其中A（1，0）；复数12i对应的向量为，其中B（1，2）；复数3i对应的向量为，其中C（0，3）；复数67i对应的向量为，其中D（6，7）.如图所示.（3）记O为复平面的原点，由题意得（2，3），（3，2），（2，3）.设（x，y），则（x2，y3），（5，5）.由题知，所以即故点D对应的复数为32i.变式训练5、在

9、复平面内，把复数3i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是_.解析：3i对应向量为（3，），与x轴正半轴夹角为30，顺时针旋转60后所得向量终点在y轴负半轴上，且模为2.故所得向量对应的复数是2i.答案：2i考点六、复数的模例6、（1）设（1i）x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|（）A.1B.C. D.2（2）已知复数z满足z|z|28i，求复数z.【解】（1）选B.因为xxi1yi，所以xy1，所以|xyi|1i|.（2）法一：设zabi（a，bR），则|z|，代入原方程得abi28i，根据复数相等的充要条件，得解得所以z158i.法二：由原方程得z2|z|8i（*）.因为|

10、z|R，所以2|z|为z的实部，故|z|，即|z|244|z|z|264，得|z|17.将|z|17代入（*）式得z158i.变式训练6、已知复数z3ai（aR），且|z|4，求实数a的取值范围.解：法一：因为z3ai（aR），所以|z|，由已知得32a242，所以a27，所以a（，）.法二：由|z|4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内（不包括边界），由z3ai知z对应的点在直线x3上，所以线段AB（除去端点）为动点Z（3，a）的集合，由图可知a.三、课后练习1.若(x+y)i=x-1(x,yR),则2x+y的值为()A.B.2C.0D.1解析:由复数相等的充要条件知,x+

11、y，故x+y=0.故2x+y=20=1.答案:D2.已知集合M=1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i,N=-1,3,且MN=3,则实数m的值为()A.4B.-1C.-1或4D.-1或6解析:由于MN=3,故3M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,所以得m=-1.答案:B3.给出下列复数:-2i,3+,8i2,isin,4+i;其中表示实数的有(填上序号) _.解析:为实数;8i2=-8为实数;isin=0i=0为实数,其余为虚数.答案:4.下列复数模大于3,且对应的点位于第三象限的为()A.z=-2-iB.z=2-3iC.z=3+2iD.z=-3-2i解析:A中|z|=

12、3.答案:D5.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为()A.一个圆B.线段C.两点D.两个圆解析:|z|2-2|z|-3=0,(|z|-3)(|z|+1)=0,|z|=3,表示一个圆,故选A.答案:A6.已知在ABC中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为_.解析:因为对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2),=(-2,-3).又=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.答案:-1-5i7.在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的对应点,(1)在虚轴上,求复数z;(2)在实轴

13、负半轴上,求复数z.答案:(1)若复数z的对应点在虚轴上,则m2-m-2=0,所以m=-1或m=2.此时z=6i或z=0.(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上,则m2-3m+2=0，m2-m-20).|z|=1,a2=.而a0,a=.z=答案:z=11.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=_.解析:设z=a+bi(a,bR),则|z|=,代入方程得,a+bi+=2+8i,解得a=-15z=-15+8i.答案:-15+8i12.已知M=1,(m2-2m)+(m2+m-2)i,P=-1,1,4i,若MP=P,求实数m的值.解析:MP=P,MP,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或

14、(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,解得m=2.综上可知m=1或m=2.答案:m=1或m=213.已知复数z=2+cos+(1+sin)i(R),试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线.解析:设复数z=2+cos+(1+sin)i对应的点为Z(x,y),则x=2+cos,y=1+sin即cos=x-2,sin=y-1所以(x-2)2+(y-1)2=1.所以复数z在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆.答案:复数z在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆.14 已知复数zm(m1)(m22m3)i(mR)(1)若z是实数，求m的值；(2)若z是纯虚数，求m的值；(3)若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围答案: (1)z为实数，m22m30，解得m3或m1.(2)z为纯虚数，解得m0.(3)z所对应的点在第四象限，解得3m0.专心-专注-专业