托勒密定理塞瓦定理梅涅劳斯定理西姆松定理(共3页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上托勒密定理内容：指圆内接两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。证明：在ABCD中(如右图)，作ABE使BAE=CAD ABE= ACD,连接DE. 则ABEACD BE/CD=AB/AC,即BEAC=ABCD (1) 由ABEACD得AD/AC=AE/AB,又BAC=EAD, ABCAED. BC/ED=AC/AD,即EDAC=BCAD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=ABCD+ADBC 又BE+EDBDABCD+ADBCACBD塞瓦定理在ABC内任取一点O， 直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB

2、)=1因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=1所以CD、AE、BF交于一点用同一法证点D,E,F分别为三角形ABC三边BC,AC,AB上的点，若AF/BF*BD/DC*CE/AE=1，则AD,BE,CF三点共线逆命题证明证明：设BE,CF交与点O，AO交BC于点P。则由赛瓦定理可知，AF/BF*BP/PC*CE/AE=1。由已知AF/BF*BD/DC*CE/AE=1知，AF/BF*BP/PC*CE/AE=1=AF/BF*BD/DC*CE/AE。推出BP/PC=BD/DC,所以BD/BC=BP/BC,故BD=BP。所以D点与P点重合。则AD,BE,CF三点共线，命题得证。梅涅劳斯定

3、理如果一条直线与ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 或：设X、Y、Z分别在ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。西姆松定理（1）称三角形的为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在上。 （2）两点的西姆松线的交角等于该两点的。 （3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。 （4）从一点向的三边所引垂线的垂足共线的是该点落在三角形的外接圆上。 (5)过三角形垂心的任意直线都是三角形的的西姆松线。专心-专注-专业