数值分析公式大全(共8页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上数值分析，第一章1， 相对误差和绝对误差e*= x*-x;er*=(x*-x)x估计值(x*-x)x*2， 误差限和相对误差限*x*-xr*=*x*3， 有效数字官方定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零有效数字共有n位，就说x*有n位有效数字。表示为：x*=10m（a1+a210-1+a310-2+an10-（n-1）=a1. a2a3an。其中ai为0至9中之一，a1不为0，m，n都是整数。公式：*=x-x*1210m-n+1相对误差限公式x*具有n为有效数字，r*12a110-（n-1）。若r*12（a1+1）10-（n-1），则x

2、*至少具有n为有效数字。4， 病态问题的条件数，相对误差比值x的扰动x=x-x*，误差为xx，函数值f（x*）的相对误差= f（x）-f（x*）f（x）相对误差比值为：f（x）-f（x*）f（x）/xxxf（x）f（x）=Cp（也称为条件数）第二章：插值法1， 多项式插值P（x）为n阶多项式，P（x）=a0+a1x+a2x2+anxn，ai为实数。解法：a解方程组：Aa=y，其中A=1x0x0n1x1x1n1xnxnn，a=a0a1an，y=y0y1yn2， 拉格朗日插值【1】 线性插值L1=yklk+yk+1lk+1插值基函数lk=x-xk+1xk-xk+1，lk+1=x-xkxk+1-xk

3、【2】 抛物线插值L2=yklk+yk+1lk+1+yk+2lk+2插值基函数lk=(x-xk+1)(x-xk+2)(xk-xk+1)(xk-xk+2)，lk+1=(x-xk)(x-xk+2)(xk+1-xk)(xk+1-xk+2)，lk+2=(x-xk)(x-xk+1)(xk+2-xk)(xk+2-xk+1)【3】 N次插值多项式（通解）Ln=y0l0+y1l1+y2l2+ynlnlk=x-x0x-xk-1x-xk+1(x-xn)(xk-x0)(xk-xk-1)(xk-xk+1)(xk-xn)设n+1（x）=x-x0x-xk-1x-xk+1(x-xn)有n+1（xk）=(xk-x0)(xk-

4、xk-1)(xk-xk+1)(xk-xn)有Ln（x）=k=0nykn+1（x）(x-xk)n+1（xk）余项公式N次插值多项式的余项形式Rn=f（x）-Ln（x）=fn+1()n+1!n+1（x）=K(x) n+1（x）, (a,b)的位置未知，但有截断误差限：Rn(x)Mn+1n+1!n+1(x),Mn+1=maxaxbfn+1(x)3， 均差（差商）一阶均差；fx0，xk=fxk-f(x0)xk-x0二阶均差：fx0,，x1，xk=fx0，x1-fx0，xkxk-x1高阶均差：fx0,，x1，xk=fx0，x1，xk-1-fx0，xk-2，xkxk-xk-1性质：1，k阶均差可表示为函数

5、值f（x0），f（x1），f（xn）的线性组合 2，对称性，与节点次序无关 3，【前后项】fx0,，x1，xk=fx1，xk-fx0，xk-1xk-x0 4，n阶均差与导数的关系：fx0,，x1，xk=fn()n!，a，b。 4， 牛顿插值多项式逐次生成的插值多项式Pn（x）=a0+a1（x-x0）+a2（x-x0）（x-x1）+an（x-x0）（x-xn-1）a0=f（x0），a1=fx0，x1，a2=fx0，x1，x2，an=fx0，x1，xn【余项】Rn= fx，x0，x1，xnn+1（x）估计截断误差限Rn(x)Mn+1n+1!n+1(x)5， 差分等距离节点xk=x0+kh，k=0，

6、1，n；fk=f（xk）xk处的一阶向前差分：fk=fk-+1-fk，xk处的二阶向前差分：2fk=fk-+1-fk；xk处的n阶差分：nfk=n-1fk-+1-n-1fk【差分与差商的关系】fxk,xk+1=fxk+1-f(xk)xk+1-xk=fkh，一般的fxk,xk+1, xk+m= mfkm!hm【差分与导数的关系】mfk=hmf（m）（）差分表（fk=fk-fk-1）差分多项式：Pn（x0+th）=f0+tf0+ t(t-1)2!2f0+ tt-1(t-n+1)n!nf0前插余项Rn= tt-1(t-n)（n+1）!hn+1f（n+1）（）截断误差：Rn（x）Mn+1n+1!n+1

7、（x）6， 埃米尔特插值要求导数值也相等一个均差的性质：【n阶差商】fx0,，x0，x0 =1n!f(n)(x0)重要情况：n+1个节点ax0x1x2xnb，满足f（xi）=fi，f（xi）=fI，求不超过2n+1次的多项式H2n+1（xi）=fi，H2n+1（xi）=fi，i=0，1，2，n。插值基函数j（x）、j（x）都是2n+1次多项式，j=0，1，n。满足j（xk）=jk ;j（xk）=jkj（x）=jk ;j（x）=jk(j,k=0,1,n)则H2n+1（x）=j=0n(fjaj(x)+fjj(x)第三章公式：1，伯恩斯多项式Bn=k=0nfknpk(x);pk=Cnkxk(1-x)

8、n-k2，函数范数f(x)=maxaxbf(x)f(x)1=abf(x)dxf(x)2=abf2xdx123，斯密特正交多项式：ix= xi - j=0i-1(xi，jx)(jx，jx)jx4，其他多项式：(1) 勒让德多项式，要求区间-1，1，权函数为1，有P0=1，P1=x，P2=32x2-12，P3=52x3-32x；递推关系：（n+1）Pn-1=（2n+1）xPn-nPn-1(2) 切比雪夫多项式：要求区间-1，1权函数为11-x2，有T0=1，T1=x，T2=2x2-1，T3=4x3-3x；递推关系：Tn-1=2xTn-Tn-1注意：（Pi，Pi）=22i+1；（Ti，Ti）=2（i

9、不等于0）或（i等于0）（Tn=cos(narccosx)）5，最佳平方逼近Ga=dS*(x)=a00+a22+annG=（j（x），k（x）（j，k=0，1，2，）d=（f，j（x）T（j=0，1，2，）特殊：为勒让德多项式时，ak=2k+12-11f(x)k(x)dx6，内积公式连续函数f（x），g（x）在a,b上的带权内积：ab(x)f(x)g(x)dx；离散点m个xi，f(xi)，g（xi）的带权内积：i=0mi f(xi) g（xi）。7，曲线拟合G=（j（x），k（x），（j（x），k（x）=i=0mi j（xi）k（xi）d=（f，j（x）T，（f，j（x）=i=0mi f（xi

10、）j（xi）8，误差均方误差：22=i=0myi-yi*2最大误差：=max丨f(x)- S*(x)丨平方逼近误差：22=f(x)22-S*(x)9，最佳一致逼近（低次代高次）利用切比雪夫多项式，f（x）与T（x）在最高次项相同次数情况下相减得到的多项式P*（x）即为最佳一致逼近函数，注意变换区间，令x=12（b-a）t+a+b,t-1，1。第四章公式1，梯形公式，辛普森公式abfxdx=Tn=b-a2fa+f(b Rn=-h2(b-a)12 f，a，babfxdx=Sn=b-a6fa+fa+b2+fbRn=-(b-a)180 (h2)4f(4)，a，b2，复合梯形公式，辛普森公式Tn=h2f

11、a+2i=1n-1fxk+f(b)Rn=-1nk=0n-1fk ，k（xk，xk+1）Sn=h6fa+4k=0n-1fxk+12+2k=1n-1fxk+f(b)Rn=-h180 (h2)4k=0n-1f(4)k，k（xk，xk+1）3，机械求积公式abfxdx=k=0mAkf(xk)，代数精度为m，高斯求积公式为2m+1前提：xk为高斯点。充要条件：m+1（x）=（x-x0）（x-xm）与任意不高于m次的多项式正交。余项Rn=f2n+22n+2!2n+1(x)4，高斯-勒让德求积公式-11fxdx=k=0nAkf(xk)，其中高斯点为Pn+1（x）=0的解，将xk代入高斯公式所得的方程组中可求

12、AkRn=f2n+22n+2!P2n+1(x)5，高斯-切比雪夫求积公式-1111-x2fxdx=k=0nAkf(xk)，其中高斯点为Tn+1（x）=0的解，xk=cos(2k+12n+2)k=0，1，n。Ak=n+1也可写为-1111-x2fxdx=nk=1nf(xk)，xk=cos(2k-1)2n，k=1，2，n第五章解线性方程组的直接方法：去除矩阵论部分的基本知识点，剩余内容有;1， 高斯消去法Ax=b将A按行化简为三角矩阵（等同于做多次消元过程）最后解简单方程组A（n）x=b（n）2， 高斯主元素消去法列主元素消去法：若出现akk（k）=0B=Ab在A的第一列中选择绝对值最大元素做为主

13、元素，如丨ai1，1丨=max1in丨ai1丨然后交换B的第一行与第i1行，AbA(2)b(2)重复n-1次，得到A(n)b(n)此时Aa11a12a1na22a2nannxn=bnannxi=bi-j=i+1naijxjaii,i=n-1,n-2,，13， 三角分解法A=LU，Lux=b，则Ly=b，Ux=y。【L，U为独立特利分解：U1i=a1i，Li1=ai1/U11，Uri=ari-k=1r-1lrkUki，Lir=（air-k=1r-1likUkr）/Urr；L的主对角线为1】y1=b1yi=bi-k=1i-1likyk,i=2,3,，nxn=ynUnnxi=yi-k=i+1nUij

14、xkUii,i=n-1,n-2,，14， 考虑主元素的三角分解法Urr为0或很小的值时三角分解法中断，此时分解残留A的右下角arrarnanrann，按计算Uir的方法把arranr全部算出比较大小，将最大值取Urr并将此行与r行交换。5， 误差分析矩阵条件数Ax=b，b的扰动b使x的解为x+x，有A（x+x）=b+bx=A-1bx=A-1bA-1b又因为b=AxAx，则1xAb乘到一块：xxAA-1bb定义cond（A）v=A-1vAv(v为某范数)【任何非奇异A都有condA1】【cond(A)2=max(ATA)min(AAT)】事后误差估计：x为线性方程Ax=b的近似解，余量r=b-A

15、x，用公式xxcondAbb，x-xxcondArb第六章公式1，一阶定常迭代Ax=bx=Bx+f，x（k+1）=Bx（k）+f，k=0，1，2，n。（B与k无关）收敛：B（k）0，（k）此时B（k）=Bk，则Bk0的充要条件：（B）1，至少存在一种范数小于1。分裂法构造B：A=M-N（其中M非奇异），则x=M-1Nx+ M-1b =M-1（M-A）x+ M-1b=（I-M-1A）x+M-1b。收敛速度：平均收敛速度：Rk（B）= - lnBk1k渐进收敛速度：Rk（B）= - ln(B)2，雅可比迭代法A=D-L-U，D为A的对角元素，L是A的对角线下面的元素的相反数，R是对角线上面元素的相

16、反数。B= D-1（L+U），f=D-1b。雅可比迭代法的收敛条件：（1） (B)1（2） B1（3） A为严格对角占优：丨aii丨j=1jin丨 aij丨（设A为nn阶方阵）（4） A为弱对角占优且不可约：丨aii丨j=1jin丨 aij丨且至少一个丨aii丨j=1jin丨 aij丨成立，【弱对角占优】；能使PTAP=A11A120A22（其中A11和A22为方阵）的P不存在。【不可约】（5） A为主对角线元素都大于0的对称阵时，A和2D-A均正定。【各阶主子式大于0】3，高斯塞德尔迭代法A=D-L-U，B=（D-L）-1U，f= D-L）-1b。收敛条件：（1） (B)1（2） B1（3）

17、 A为严格对角占优（4） A为弱对角占优且不可约（5） A为主对角线元素都大于0的对称阵时，A为正定阵。4，超松弛迭代法：（SOR）分裂矩阵M为带参数的下三角矩阵，M=1D-L其中0为松弛因子M-1= D-L-1，B=L=（I-M-1A）=I- D-L-1A=D-L-1D-L- A= D-L-1（1-）D+U）x=Lx+f，f= M-1b= D-L-1b；当1时称为超松弛迭代法。收敛性：当02时Ax=b的SOR法收敛（必要条件）（当A为正定矩阵时02为充要条件） 当A严格对角占优或弱对角占优不可约时，01。则SOR收敛。注：【雅可比法的原理】x11=1a11(b1-i=2na1i)xii=1a

18、ii(bi-j=1ijnaij)【高斯塞德尔法的原理】xi(k+1)=1aii(bi-j=1i-1aijxjk+1-j=i+1naijxjk)【超松弛法的原理】xi(k+1)=xi(k)+aii(bi-j=1i-1aijxjk+1-j=i+1naijxjk)第七章公式：1，不动点迭代法【收敛速度慢】y=f（x*）=0x*=（x*）xi+1=（xi）【f（x*）=（x*），x*为不动点】局部收敛：x0R=x丨x-x*经过xi+1=（xi）产生的xk收敛到x*。等价于：（x），不动点x*，（x）在某领域连续，且丨（x）丨1，则局部收敛。P阶收敛：当k时迭代误差ek=xk-x*满足ek+1ek(p)

19、C,C0。等价于：（n）（x）在x*2，牛顿法【非线性线性】f（x）=0用泰勒公式在xk点展开，有f（xk）+f（xk）（x-xk）=0xk+1=xk - f(xk)f(xk)，k=0，1，。【牛顿简化法】：（平行弦法，用C=1/f（ x0）xk+1=xk-Cf（xk），C0，k=0，1，。【牛顿下山法】：（x0位置与敛散性）保证丨f（ xk+1）丨丨f（ xk）丨的前提下，引入下山因子（01），xk+1=xk-f(xk)f(xk)，从1开始逐次减半。3，弦截法：【利用已知f（xk），f（xk-1）代替f（ xk）】xk+1=xk+fxkfxk - f (x0) （xk - x0）xk+1=xk+fxkfxk - f (xk-1) （xk - xk-1）专心-专注-专业