高等代数习题(共58页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上高等代数习题第一章 基本概念 1.1 集合 1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合Z是不是X的子集？ 2、设a是集A的一个元素。记号a表示什么？ a A是否正确？ 3、设 写出 和 . 4、写出含有四个元素的集合 的一切子集 5、设A是含有n个元素的集合A中含有k个元素的子集共有多少个？ 6、下列论断那些是对的，那些是错的？错的举出反例，并且进行改正 (i) (ii) (iii) (iv) 7证明下列等式： (i) (ii) (iii) 1.2映射 1、设A是前100个正整数所成的集合找一个A到自身的映射，但不是满射 2、找一个全体实数集到全体正实数

2、集的双射 3、 是不是全体实数集到自身的映射？ 4设f定义如下： f是不是R到R的映射？是不是单射？是不是满射？ 5、令A=1,2,3.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射？ 6、设a ,b是任意两个实数且ab.试找出一个0,1到a ,b的双射. 7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，fg与gf一般不相等。 8、设A是全体正实数所成的集合。令 (i)g是不是A到A的双射？ (ii)g是不是f的逆映射？ (iii)如果g有逆映射，g的逆映射是什么？ 9、设 是映射，又令 ，证明 (i)如果 是单射，那么 也是单射； (ii)如果 是满射，那么 也是满射； (iii)如

3、果 都是双射，那么 也是双射，并且 10判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算: 集 合 A 规 则 1 2 3 4 全体整数 全体整数 全体有理数 全体实数 1.3数学归纳法 1、证明: 2、设是一个正整数.证明 , 是任意自然数. 3、证明二项式定理:这里 ， 是 个元素中取 个的组合数. 4、证明第二数学归纳法原理. 5、证明,含有 个元素的集合的一切子集的个数等于。1.4整数的一些整除性质 1、对于下列的整数 ,分别求出以 除 所得的商和余数: ; ; ; . 2、设是整数且不全为0,而 , , .证明, 的一个最大公因数必要且只要 . 3、设是不等于零的整数.满足下列两个条件的正整

4、数叫做与的最小公倍数: ; 如果 且 ,则 .证明: 任意两个不等于零的整数 都有唯一的最小公倍数; 令 是 与 的最小公倍数而 ,则 . 4、设是一个大于1的整数且具有以下性质:对于任意整数 ,如果 ,则 或 .证明, 是一个素数(定理1.4.5的逆命题). 5、设是两两不相同的素数,而 . 证明 ; 利用 证明,素数有无限多个 1.5数环和数域 1证明,如果一个数环 那么 含有无限多个数 2证明, 是数域 3证明, 是一个数环, 是不是数域? 4证明,两个数环的交还是一个数环;两个数域的交还是一个数域.两个数环的并是不是数环? 5设是一整数,令 由例1, 是一个数环.设 ,记 证明: 是一

5、个数环 ,这里 是 与 的最大公因数 第二章 多项式 2.1一元多项式的定义和运算 1设 和 是实数域上的多项式证明：若是 (6) ，那么 2求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式 和 3证明： 2.2 多项式的整除性 1求 被 除所得的商式和余式： ( i ) (ii) 2证明： 必要且只要 3令 都是数域F上的多项式，其中 且 证明： 4实数 满足什么条件时，多项式 能够整除多项式 5设F是一个数域， 证明： 整除 6考虑有理数域上多项式 这里 和 都是非负整数证明： 7证明： 整除 必要且只要 整除 2.3 多项式的最大公因式 1. 计算以下各组多项式的最大公因式： ( i ) (i

6、i) 2. 设 证明：若 且 和 不全为零，则 反之，若 则 是 与 的一个最大公因式 3. 令 与 是 的多项式，而 是 中的数，并且 证明： 4 证明： （i） 是 和 的最大公因式； （ii） 此处 等都是 的多项式。 5 设 都是有理数域Q上的多项式。求 使得 6 设 令 是任意正整数，证明： 由此进一步证明，对于任意正整数 ，都有 7 设 证明： 8 证明：对于任意正整数 都有 9 证明：若是 与 互素，并且 与 的次数都大于0，那么定理 里的 与 可以如此选取，使得 的次数低于 的次数， 的次数低于 的次数，并且这样的 与 是唯一的。 10 决定 ，使 与 的最大公因式是一次的。

7、11 证明：如果 那么对于任意正整数 ， 12 设 是数域F上的多项式。 与 的最小公倍式指的是Fx中满足以下条件的一个多项式 ：且 ； 如果 Fx且 ，那么 证明：Fx中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的。 设 都是最高次项系数是1的多项式，令 表示 和 的最高次项系数是1的那个最小公倍式。证明 13 设 并且 证明： 14 设 证明： 互素的充要条件是存在多项式 使得 15 设 令 比照定理1.4.2，证明： 有最大公因式提示：如果 不全为零，取 是I中次数最低的一个多项式，则 就是 的一个最大公因式 2.4 多项式的分解 1. 在有理数域上分解以下多项

8、式为不可约多项式的乘积： 2. 分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式 为不可约因式的乘积. 3. 证明： 当且仅当 4. 求 在 内的典型分解式； 求 在 内的典型分解式 5.证明：数域F上一个次数大于零的多项式 是 中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意 或者 或者存在一个正整数 使得 6设 是 中一个次数大于零的多项式.如果对于任意 只要 就有 或 那么 不可约. 2.5 重因式 1. 证明下列关于多项式的导数的公式： 2. 设 是 的导数 的 重因式.证明： 未必是 的 重因式； 是 的 重因式的充分且必要条件是 3. 证明有理系数多项式 没有重因式. 4. 应该满足什么

9、条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？ 5. 证明：数域F上的一个 次多项式 能被它的导数整除的充分且必要条件是 ， 这里的 是F中的数 。2.6 多项式函数 多项式的根 1设 ,求 . 2数环R的一个数 说是 的一个 重根,如果 可以被 整除,但不能被 整除.判断5是不是多项式 的根.如果是的话,是几重根? 3设 求 提示:应用综合除法 4将下列多项式 表成 的多项式. ; . 5求一个次数小于4的多项式 ,使 6求一个2次多项式,使它在 处与函数 有相同的值. 7令 是两个多项式,并且 可以被 整除. 证明 8令 是一个复数,并且是 中一个非零多项式的根,令 证明: 在J中存在唯一的最高

10、次项系数是1的多项式 ,使得 中每一多项式 都可以写成 的形式,这里 .在 中不可约. 如果 ,求上述的 提示:取 是J中次数最低的、最高次项系数是1的多项式. 9设 中多项式 且 , 是一个大于1的整数. 证明: 的根只能是零或单位根. 提示:如果 是 的根,那么 都是 的根. 2.7 复数和实数域上多项式 1设 次多项式 的根是 .求 以 为根的多项式,这里 是一个数。 （ii）以,(假定 都不等于零)为根的多项式.2设 是一个多项式,用 表示把 的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明: 若是g ,那么 ; 若是 是 和 的一个最大公因式,并且 的最高次项系数是1,那么 是一个实系数

11、多项式). 3给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式. 4在复数和实数域上,分解 为不可约因式的乘积. 5证明:数域F上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根. 2.8 有理数域上多项式1证明以下多项式在有理数域上不可约: ; ; . 2利用艾森斯坦判断法,证明:若是 是 个不相同的素数而 是一个大于1的整数,那么 是一个无理数. 3设 是一个整系数多项式.证明:若是 和 都是奇数,那么 不能有整数根.4求以下多项式的有理根: ; ; . 第三章 行列式3.1 线性方程组和行列式 3.2 排列1计算下列排列的反序数： ； 2假设n个数码的排列 的反序数是k,那么排列 的反序数是

12、多少？ 3写出4个数码的一切排列 3.3 阶行列式 1确定六阶行列式 D= 中以下各乘积的符号： 2写出下列四阶行列式 中一切带有负号且含元素 的项。 3证明： 阶行列式 4考察下列行列式： ， ， 其中 是 这 个数码的一个排列。这两个行列式间有什么关系？ 5计算 阶行列式 6计算行列式 7证明：行列式 8设在 阶行列式 中，3.4 子式和代数余式 行列式的依行依列展开 1把行列式 依第三行展开，然后加以计算 2计算以下行列式: 提示：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和。 3令 计算行列式 。 3.5 克拉默规则 1解以下线性方程组： 2设 是 个不同的数, 是任意

13、个数,而多项式 有以下性质: , .用线性方程组的理论证明, 的系数 是唯一确定的,并且对 的情形导出拉格朗日插值公式. 3设 .用线性方程组的理论证明,若是 有 个不同的根,那么 是零多项式. 第四章 线性方程组4.1 消元法 1解以下线性方程组： 2证明：对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行若干次第二和第三种行初等变换。 3设 阶行列式 0. 证明：用行初等变换能把 行 列矩阵 化为 。 4证明：在前一题的假设下，可以通过若干次第三种初等变换把 化为 4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 1对第一和第二种行初等变换证明定理4.2.1 2利用初等变换求下列矩阵的秩： 3证明：一个

14、线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大1 4证明：含有 个未知量 个方程的线性方程组 有解的必要条件是行列式 这个条件不是充分的，试举一反例 5 有解？ 6 取怎样的数值时，线性方程组 有唯一解，没有解，有无穷多解？ 4.3 线性方程组的公式解 1考虑线性方程组：这里 2 3设线性方程组： （9） 有解，并且添加一个方程： 于方程组（9）所得的方程组与（9）同解证明：添加的方程是（9）中 个方程的结果 4设齐次线性方程组 的系数行列式 ，而 中某一元素 的代数余子式 证明：这个方程组的解都可以写成 的形式,此处k是任意数. 5设行列式 令 是元素 的代数余子式.证明:矩阵 的秩 第五章

15、矩 阵 5.1 矩阵的运算 1计算 ； ； ； ； 2证明，两个矩阵A与B的乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B，第j列等于B的第j列左乘以A 3可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结合律： (i) 设B=( )是一个n p矩阵令 = 是B的第j列，j=1,2,p又设 是任意一个p 1矩阵证明：B = (ii)设A是一个m n矩阵利用(i)及习题2的结果，证明： A(B )=(AB) (iii)设C是一个pxq矩阵利用(ii)，证明： A(BC)=(AB)C 4设 A= 证明：当且仅当 B= 时，AB=BA。 5令 是第i 行第j列的元素是1而其余元素都是零的n阶矩阵求 6求满足以下条件的所有n

16、阶矩阵A (i) i,j=1,2,n, (ii)AB=BA ；这里B是任意n阶矩阵。 7举例证明，当AB=AC时，未必B=C 8证明，对任意n阶矩阵A和B，都有AB-BAI提示，考虑AB-BA的主对角线上的元素的和 9令A是任意n阶矩阵，而I是n阶单位矩阵，证明： ( )( )= 10.对任意n阶矩阵A，必有n阶矩阵B和C，使A=B+C，并且 5.2 可逆矩阵矩阵乘积的行列式 1设对5阶矩阵实行以下两个初等变换：把第二行的3倍加到第三行，把第二列的3倍加到第三列，相当于这两个初等变换的初等矩阵是什么？ 2证明：一个可逆矩阵可以通过列初等变换化为单位矩阵 3求下列矩阵的逆矩阵： 4设 A是一个n

17、阶矩阵，并且存在一个正整数m使得 (i) 证明 可逆，并且 (ii)求下列矩阵的逆矩阵 。 5设 证明， 总可以表成 和 型初等矩阵的乘积 6令 是n阶矩阵 的伴随矩阵，证明 (区别detA0和detA=0两种情形) 7设A和B都是n阶矩阵证明，若AB可逆,则A和B都可逆 8设A和B都是n阶矩阵证明，若AB=I,则A和B互为逆矩阵 9证明，一个n阶矩阵A的秩1必要且只要A可以表为一个n 1矩阵和一个1 n矩阵的乘积 10.证明：一个秩为r的矩阵总可以表为r个秩为1的矩阵的和 11设A是一个n n矩阵， 都是n 1矩阵用记号 表示以 代替A的第i列后所得到的 矩阵 (i)线性方程组 可以改写成

18、I是n阶单位矩阵 (ii)当detA0时，对(i)中的矩阵等式两端取行列式，证明克拉默规则 5.3 矩阵的分块 1求下面矩阵的逆矩阵2设A，B都是n阶矩阵，I是n阶单位矩阵，证明 3设 都是n=r+s阶矩阵，而 是一个n阶矩阵，并且与S,T有相同的分法求SA,AS,TA和AT.由此能得出什么规律？ 4证明，2n阶矩阵 总可以写成几个形如 的矩阵的乘积 5设 是一个对角线分块矩阵证明: 6证明，n阶矩阵 的行列式等于(detA)(detB) 7设A,B,C,D都是n阶矩阵，其中detA0并且AC=CA，证明 第六章 向量空间 6.1 定义和例子 1令F是一个数域，在F3里计算 （i） （2，0，

19、-1）+（-1，-1，2）+ （0，1，-1）； （ii）5（0，1，-1）-3（1， ，2）+（1，-3，1） 2证明：如果 a（2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-1，4）=（0，0，0）， 那么a = b = c = 0 3找出不全为零的三个有理数a，b，c（即a，b，c中至少有一个不是0），使得 a (1，2，2) + b（3，0，4）+ c (5，-2，6) = （0，0，0） 4令 1 = （1，0，0）， 2 = （0，1，0）， 3 =（0，0，1）证明，R3中每个向量 可以唯一地表示为 = a1 1 + a2 2 + a3 3 的形式，这里a1，a2，a3 R 5证

20、明，在数域F上向量空间V里，以下算律成立： （i）a ( ) = a - a ； (ii) (a- b) = a - b , 这里a，b F ， , V 6证明：数域F上一个向量空间如果含有一个非零向量，那么它一定含有无限多个向量 7证明，对于任意正整数n 和任意向量 ，都有 n = + 8证明，向量空间定义中条件3，8）不能由其余条件推出 9验证本节最后的等式： （ 1， n）(AB) =（ 1， n）A）B 6.2子空间 1判断R n中下列子集哪些是子空间： (i) （a1，0，0，an）| a1，an R； (ii) （a1 ，a2 ，an ）| ai =0； (iii) （a1 ，a2

21、 ，an ）| ai =1； (iv) （a1 ，a2 ，an ）| ai Z ，i = 1，n. 2Mn (F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间（参看6.1，例2）令 S= A Mn (F) |A= A， T= A Mn (F) |A= A 证明，S和T都是 Mn (F)的子空间，并且 Mn(F) = S + T，S T=0 3设W1，W2是向量空间V的子空间，证明：如果V的一个子空间既包含W1又包含W2 ，那么它一定包W1 +W2 在这个意义下，W1+W2是V的既含W1又含W2的最小子空间 4设V是一个向量空间，且V 0证明：V不可能表成它的两个真子空间的并集 5设W，W1，W2都

22、是向量空间V的子空间，其中W1 W2且W W1=W W2， W + W1=W + W2 .证明：W1=W2 6设W1，W 2是数域F上向量空间V的两个子空间， , 是V的两个向量，其中 W2，但 W1，又 W2，证明： （i） 对于任意k F, +k W2 ； （ii） 至多有一个k F，使得 +k W1 7设W1，W2 ，Wr 是向量空间V的子空间，且Wi V，i=1，r. 证明：存在一个向量 V，使得 Wi， i=1，r提示：对r作数学归纳法并且利用第6题的结果 6.3 向量的线性相关性 1.下列向量组是否线性相关: (i)（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）；(ii) （2

23、，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1）；(iii) （2，-1，3，2），（-1，2，2，3），（3，-1，2，2），（2，-1，3，2）2证明，在一个向量组 里，如果有两个向量 与 成比例，即 =k ， ，那么 线性相关3令 。证明 线性相关必要且只要行列式 = 04设 ，线性无关对每一个 任意添上p个数，得到 的m个向量 证明 1 ， 2 ， m也线性无关5设 线性无关，证明 也线性无关6设向量组 ( 线性无关，任取 证明，向量组 线性无关7下列论断哪些是对的，哪些是错的，如果是对的，证明；如果是错的，举出反例： (i) 如果当 ，那么 线性无关(ii) 如果 线性无关，而 不能由

24、 线性表示，那么 ， 也线性无关(iii) 如果 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合 (iv) 如果 线性相关，那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合8设向量 可以由 表示，但不能由 线性表示证明，向量组 与向量组 ， 等价9设向量组 中 并且每一 都不能表成它的前 个向量 的线性组合证明 线性无关10设向量 线性无关，而 ， ， 线性相关，证明，或者 与 中至少有一个可以由 线性表示，或者向量组 ， 与 ， 等价 6.4 基和维数 1令Fn x表示数域F上一切次数 n的多项式连同零多项式所组成的向量空间这个向量空间的维数是几？下列向量组是不是F3 x的基： (i)x3+1

25、，x+1，x2+x，x3+x2+2x+2； (ii)x-1，1-x2，x2+2x-2，x3. 2求下列子空间的维数： （i）L ( (2，-3，1)，（1，4，2），（5，-2，4）) R3 (ii) L(x-1，1-x2，x2-x) Fx； (iii) L(ex，e2x，e3x) C a，b. 3把向量组（2，1，-1，3），（-1，0，1，2）扩充为R4的一个基 4令S是数域F上一切满足条件A=A的n阶矩阵A所成的向量空间，求S的维数 5证明，复数域C作为实数域R上向量空间，维数是2如果C看成它本身上的向量空间的话，维数是几？ 6证明定理6.4.2的逆定理：如果向量空间V的每一个向量都可以

26、唯一地表成V中向量 的线性组合，那么dimV = n. 7设W是R n 的一个非零子空间，而对于W的每一个向量（a1，a2，an）来说，要么a1 = a2= = an = 0，要么每一个ai 都不等于零，证明dimW = 1 8设W是n维向量空间V的一个子空间，且0 dimW 2，那么存在可逆实矩阵T，使得 T-1AT = 这里 且 ，1，-1 (ii) 如果| trA | = 2且A ，那么存在可逆实矩阵T，使得 T-1AT = 或 .(iii) 如果| trA | 2则存在可逆实矩阵T及 ，使得 T-1AT = 提示 在(iii)，A有非实共轭复特征根 =1.将 写成三角形式令 是A的属于

27、 的一个特征向量，计算A 和A 4设a，b，c 令 A= ，B= ，C= (i) 证明，A，B，C彼此相似； (ii) 如果BC=CB，那么A，B，C的特征根至少有两个等于零 5设A是复数域C上一个n阶矩阵 (i) 证明：存在C上n阶可逆矩阵T使得 T-1AT = (ii) 对n作数学归纳法证明，复数域C上任意一个n阶矩阵都与一个“上三角形”矩阵 相似，这里主对角线以下的元素都是零 6设A是复数域C上一个n阶矩阵， 是A的全部特征根（重根按重数计算） (i) 如果f (x)是C上任意一个次数大于零的多项式，那么f ( 是f(A)的全部特征根 (ii) 如果A可逆，那么 ，并且 是A-1的全部特

28、征根 7令 A = 是一个n阶矩阵。 (i) 计算 (ii) 求A的全部特征根 8 是任意复数，行列式 D = 叫做一个循环行列式，证明： D = ， 这里 ，而 是全部n次单位根提示：利用6.7两题的结果 9设A，B是复数域上n阶矩阵证明，AB与BA有相同的特征根，并且对应的特征根的重数也相同提示：参看5.3习题2 7.6 可以对角化的矩阵 1检验7.5习题1中的矩阵哪些可以对角化如果可以对角化，求出过渡矩阵T 2设 ， 求A10 3设 是数域F上n维向量空间V的一个线性变换令 是 的两两不同的本征值， 是属于本征值 的本征子空间证明，子空间的和 是直和，并在 之下不变 4数域F上n维向量空

29、间V的一个线性变换 叫做一个对合变换，如果 2 =,是单位变换，设 是V的一个对合变换，证明: (i) 的本征值只能是 ； (ii) V = V1 ，这里V1是 的属于本征值1的本征子空间，V 是 的属于本征值 1 的本征子空间提示：设 5数域F上一个n 阶矩阵A叫做一个幂等矩阵，如果 ,设A是一个幂等矩阵.证明： (i)I + A 可逆，并且求 (ii)秩A + 秩 提示：利用7.4，习题3 (ii) 6数域F上n维向量空间V的一个线性变换 叫做幂零的，如果存在一个自然数m使 m = 0.证明： (i) 是幂零变换当且仅当它的特征多项式的根都是零； (ii) 如果一个幂零变换 可以对角化，那么 一定是零变换 7设V是复数域上一个n维向量空间，S是V的某些线性变换所成的集合，而 是V的一个线性变换，并且 与S中每一线性变换可交换，证明，如果S不可约 (参看7.4，习题5)，那么 一定是一个位似 提示：令 是 的一个本征值，考虑 的属于 的本征子空间，并且利用7.4，习题5的结果 8设 是数域F上n维向量空间V的一个可以对角化的线性变换，令 是 的全部本征值证明，存在V的线性变换 ，使得